人教版高一数学必修一第五单元《三角函数》单元练习题

人教版高一数学必修一第五单元《三角函数》单元练习题三角函数作为高中数学的重要基石，不仅是解决几何问题的有力工具，也是后续学习物理、工程等学科的基础。本单元我们系统学习了任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数定义、同角三角函数基本关系、诱导公式，以及正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质。为了帮助同学们巩固所学知识，查漏补缺，提升综合运用能力，特编写本套单元练习题。希望同学们能认真对待，独立思考，在练习中深化理解，熟练掌握。一、基础巩固（一）选择题(每小题只有一个正确选项)1.下列说法中，正确的是（）A.第一象限角一定是锐角B.终边相同的角一定相等C.小于90°的角一定是锐角D.钝角的终边在第二象限2.若角α的终边经过点P(-3,4)，则sinα的值为（）A.-3/5B.4/5C.-4/3D.3/43.已知sinα=1/2，且α为第二象限角，则cosα的值为（）A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/24.函数y=sinx的最小正周期是（）A.π/2B.πC.2πD.4π5.下列函数中，在区间(π/2,π)上为增函数的是（）A.y=sinxB.y=cosxC.y=tanxD.y=-sinx（二）填空题6.将-150°化为弧度制是___________。7.已知扇形的半径为2，圆心角为π/3，则该扇形的弧长为___________，面积为___________。8.若cosθ=-3/5，且θ是第三象限角，则sinθ=___________，tanθ=___________。9.函数y=2sin(3x-π/4)的最小正周期是___________，最大值是___________。10.化简：sin(π-α)cos(-α)tan(π+α)=___________。（三）解答题11.已知tanα=2，求下列各式的值：（1）(sinα+cosα)/(sinα-cosα)；（2）sin²α-2sinαcosα+3cos²α。12.利用“五点法”画出函数y=sinx+1在[0,2π]上的简图，并根据图像写出该函数的最大值、最小值以及单调递增区间。二、能力提升13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的部分图像如图所示（此处假设有图，实际答题时根据所给图像信息），求函数f(x)的解析式。14.求函数y=sin²x+√3sinxcosx+2cos²x的最小正周期和单调递减区间。15.已知α、β为锐角，cosα=3/5，cos(α+β)=-5/13，求cosβ的值。16.设函数f(x)=sin(2x+π/3)+2sin²x。（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求函数f(x)在区间[0,π/2]上的最大值和最小值。参考答案与解析一、基础巩固（一）选择题1.D解析：锐角是(0°,90°)内的角，第一象限角可以是正角、负角或大于360°的角，故A错；终边相同的角相差360°的整数倍，不一定相等，故B错；负角小于90°但不是锐角，故C错；钝角是(90°,180°)的角，终边在第二象限，D正确。2.B解析：点P(-3,4)到原点的距离r=5，由正弦函数定义知sinα=y/r=4/5。3.B解析：由sin²α+cos²α=1，得cosα=±√(1-sin²α)=±√3/2，又α为第二象限角，cosα<0，故cosα=-√3/2。4.C解析：正弦函数y=sinx的最小正周期是2π。5.C解析：y=sinx在(π/2,π)上单调递减；y=cosx在(π/2,π)上单调递减；y=tanx在(-π/2+kπ,π/2+kπ)，k∈Z上单调递增，故在(π/2,π)上为增函数；y=-sinx在(π/2,π)上单调递增，但题目问的是“增函数”，C选项更直接。（二）填空题6.-5π/6解析：根据1°=π/180弧度，-150°=-150×π/180=-5π/6。7.2π/3，2π/3解析：弧长l=αr=(π/3)×2=2π/3；面积S=1/2αr²=1/2×(π/3)×2²=2π/3。8.-4/5，4/3解析：因为θ是第三象限角，所以sinθ<0，sinθ=-√(1-cos²θ)=-√(1-9/25)=-4/5；tanθ=sinθ/cosθ=(-4/5)/(-3/5)=4/3。9.2π/3，2解析：函数y=Asin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|，故T=2π/3；最大值为A=2。10.sin²α解析：sin(π-α)=sinα，cos(-α)=cosα，tan(π+α)=tanα=sinα/cosα，三者相乘得sinα×cosα×(sinα/cosα)=sin²α。（三）解答题11.解：（1）因为tanα=2，分子分母同除以cosα（cosα≠0），得(sinα+cosα)/(sinα-cosα)=(tanα+1)/(tanα-1)=(2+1)/(2-1)=3。（2）sin²α-2sinαcosα+3cos²α=(sin²α-2sinαcosα+3cos²α)/1=(sin²α-2sinαcosα+3cos²α)/(sin²α+cos²α)分子分母同除以cos²α，得(tan²α-2tanα+3)/(tan²α+1)=(4-4+3)/(4+1)=3/5。12.解：“五点法”列表：x0π/2π3π/22π------------------------------------sinx010-10y=sinx+112101描点连线，图像略。由图像可知，函数y=sinx+1在[0,2π]上的最大值为2，最小值为0。单调递增区间为[0,π/2]和[3π/2,2π]。二、能力提升13.解：（此处需根据实际图像信息作答，以下为常规思路）由图像可知振幅A=（最大值-最小值）/2。周期T可通过相邻两个最高点（或最低点）的横坐标之差求得，进而ω=2π/T。再将图像上一个已知点（非最值点为佳）的坐标代入y=Asin(ωx+φ)，结合|φ|<π/2，可求得φ的值。综上，即可得到函数f(x)的解析式。14.解：y=sin²x+√3sinxcosx+2cos²x=(sin²x+cos²x)+√3sinxcosx+cos²x=1+(√3/2)sin2x+(1+cos2x)/2=1+(√3/2)sin2x+1/2+(cos2x)/2=(√3/2sin2x+1/2cos2x)+3/2=sin(2x+π/6)+3/2。所以，函数的最小正周期T=2π/2=π。由π/2+2kπ≤2x+π/6≤3π/2+2kπ，k∈Z，得π/6+kπ≤x≤2π/3+kπ，k∈Z。故函数的单调递减区间为[π/6+kπ,2π/3+kπ]，k∈Z。15.解：因为α、β为锐角，所以α+β∈(0,π)。已知cosα=3/5，所以sinα=√(1-cos²α)=4/5。又cos(α+β)=-5/13，所以sin(α+β)=√(1-cos²(α+β))=12/13。则cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(-5/13)(3/5)+(12/13)(4/5)=(-15/65)+(48/65)=33/65。16.解：（1）f(x)=sin(2x+π/3)+2sin²x=sin2xcosπ/3+cos2xsinπ/3+1-cos2x=(1/2)sin2x+(√3/2)cos2x+1-cos2x=(1/2)sin2x+(√3/2-1)cos2x+1。（此处也可进一步合并为Asin(2x+φ)+1的形式，但不合并也可求周期）函数f(x)中，sin2x和cos2x的最小正周期都是π，故f(x)的最小正周期T=π。（2）由（1）f(x)=(1/2)sin2x-(1-√3/2)cos2x+1，为方便求最值，可将其化为一个角的三角函数形式（辅助角公式）：令A=√[(1/2)²+(1-√3/2)²]，φ为辅助角，则f(x)=Asin(2x+φ)+1。不过，在区间[0,π/2]上，2x∈[0,π]。令t=2x，则t∈[0,π]。f(x)=(1/2)sint+(√3/2-1)cost+1。对其求导或分析单调性较为繁琐，可分别计算端点及导数为零的点的值。当t=0（x=0）时，f(x)=0+(√3/2-1)×1+1=√3/2。当t=π/2（x=π/4）时，f(x)=(1/2)×1+(√3/2-1)×0+1=3/2。当t=π（x=π/2）时，f(x)=0+(√3/2-1)×(-1)+1=-√3/2+1+1=2-√3/2。比较√3/2≈0.866，3/2=1.5，2-√3/2≈2