数的整除知识点总结

数的整除知识点总结数的整除是整数运算中的基础概念，贯穿于数学学习的多个阶段，也是解决许多数学问题的关键工具。掌握数的整除特征和性质，不仅能提高运算效率，更能培养逻辑思维和问题解决能力。本文将系统梳理数的整除相关知识点，力求专业严谨，兼顾实用性。一、整除的概念在整数范围内（通常不包含0作为除数），对于两个整数a和b（b≠0），如果存在一个整数q，使得等式a=b×q成立，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。此时，a称为b的倍数，b称为a的约数（或因数）。记作b|a。例如，6能被2整除，因为6=2×3，记作2|6。需要注意的是，整除与除尽是两个相关但不同的概念。除尽是指两个数相除，商是有限小数，而整除要求商必须是整数，且没有余数。因此，整除是除尽的一种特殊情况。例如，4÷2=2，是整除；4÷5=0.8，是除尽但非整除；而1÷3则是除不尽。二、整除的基本性质理解并运用整除的性质，是解决整除问题的重要前提。以下是一些基本性质：1.反身性：任何非零整数都能被自身整除，即a|a(a≠0)。2.对称性：若a|b且b|a，则a=±b。3.传递性：若a|b且b|c，则a|c。这条性质表明整除关系具有传递性，是进行链式推理的基础。4.和差的整除性：若a|b且a|c，则a|(b±c)。即一个数能整除两个数，那么它也能整除这两个数的和与差。5.积的整除性：若a|b，则a|(b×c)，其中c为任意整数。也就是说，如果一个数是另一个数的倍数，那么它也是这个数与任何整数乘积的倍数。6.因数的整除性：若a|(b×c)，且a与b互质（即a和b的最大公约数是1），则a|c。这条性质在分解因数和求最大公约数、最小公倍数时非常有用。7.多个数乘积的整除性：若a|b，c|d，则(a×c)|(b×d)。三、能被常见数字整除的数的特征判断一个数能否被另一个数整除，除了直接进行除法运算外，掌握一些特定数字的整除特征可以极大地提高效率。以下是一些常用的整除特征：（一）能被2、5、10整除的数的特征*能被2整除的数：个位上是0、2、4、6、8的整数。因为10能被2整除，所以一个数的大小主要由其个位决定其是否为2的倍数。例如，12、34、56、78、90均能被2整除。能被2整除的数称为偶数，不能被2整除的数称为奇数。*能被5整除的数：个位上是0或5的整数。同理，10能被5整除，所以个位是0或5的数必能被5整除。例如，15、20、35、50、105均能被5整除。*能被10整除的数：个位上是0的整数。因为10是2和5的最小公倍数，所以能同时被2和5整除的数就能被10整除。例如，10、20、100、1230均能被10整除。（二）能被4、8整除的数的特征*能被4整除的数：一个数的末两位数能被4整除，那么这个数就能被4整除。因为100能被4整除（100÷4=25），所以一个数的百位及以上部分都可以表示为100的倍数，自然能被4整除，只需看末两位数即可。例如，124：24÷4=6，所以124能被4整除；1234：34÷4=8.5，所以1234不能被4整除。*能被8整除的数：一个数的末三位数能被8整除，那么这个数就能被8整除。类似地，1000能被8整除（1000÷8=125），所以只需看末三位数。例如，1128：128÷8=16，所以1128能被8整除；____：345÷8=43.125，所以____不能被8整除。（三）能被3、9整除的数的特征*能被3整除的数：一个数的各个数位上的数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。例如，123：1+2+3=6，6能被3整除，所以123能被3整除；1234：1+2+3+4=10，10不能被3整除，所以1234不能被3整除。*能被9整除的数：一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。原理与能被3整除类似，因为9是3的倍数，其整除特征更为严格。例如，189：1+8+9=18，18能被9整除，所以189能被9整除；1233：1+2+3+3=9，所以1233也能被9整除。（四）能被7、11、13整除的数的特征这三个数的整除特征相对复杂一些，但在处理较大数字时非常有用。*能被7（或11、13）整除的数：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（或11、13）整除，那么这个数就能被7（或11、13）整除。这是因为7×11×13=1001，1001能被这三个数整除，利用这个特性可以将一个大数简化。*例如，判断____能否被7整除：末三位是456，末三位之前是123，456-123=333。333÷7=47余4，所以____不能被7整除。*判断1221能否被11整除：方法一（奇偶位差法）：这个方法更常用。把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么原来这个数就一定能被11整除。1221：奇位（从右数）1+2=3，偶位2+1=3，3-3=0，0能被11整除，所以1221能被11整除。*判断____能否被13整除：末三位是574，末三位之前是13，574-13=561。561÷13=43.153…，不能整除。换一种方式，561-13×43=561-559=2，所以不能被13整除。（五）能被6整除的数的特征能同时被2和3整除的数，即个位是偶数且各位数字之和能被3整除。因为6=2×3，且2和3互质，所以需同时满足被2和3整除的条件。例如，24：个位是4（偶），2+4=6（能被3整除），所以24能被6整除。（六）其他*能被17、19整除的数：对于更大的质数，其整除特征更为复杂，通常不常用，若需判断，可结合上述“截尾法”的变种或直接进行除法运算。四、整除特征的综合运用在实际问题中，我们常常需要判断一个数能否被多个数整除，或者根据整除特征来构造符合条件的数。这时，需要综合运用上述知识。例如，要判断一个数能否被12整除，由于12=3×4，且3和4互质，那么这个数需同时能被3和4整除。即：各位数字之和能被3整除，且末两位数能被4整除。又如，要找到一个四位数，使其能同时被2、3、5、7整除。首先，能同时被2、3、5整除，个位必为0，且各位数字之和能被3整除。然后在此基础上，再满足能被7整除的条件。五、总结数的整除是数学大厦中的一块基石，其概念、性质和特征在小学、中学乃至高等数学中都有着广泛的应用。熟练掌握这些知识