初中数学八年级三角形专题练习

初中数学八年级三角形专题练习三角形，作为平面几何的基石，贯穿了整个初中乃至高中的数学学习。八年级的三角形学习，不仅是对先前知识的深化，更是后续复杂图形研究的起点。掌握三角形的性质、判定及应用，对于培养逻辑推理能力和空间想象能力至关重要。本专题练习旨在帮助同学们梳理核心知识点，通过典型例题的剖析与针对性训练，巩固所学，提升解题技能。一、核心知识回顾与梳理在开始练习之前，让我们简要回顾一下八年级阶段学习的与三角形相关的核心知识点，确保我们在同一起跑线上。1.三角形的基本概念与性质*定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。*构成元素：三个顶点、三条边、三个内角。*三角形的分类：*按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。*按边分：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。*三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。这是解决角度计算问题的“金钥匙”。*三角形外角性质：*三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。*三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。*三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。判断三条线段能否组成三角形，以及求第三边取值范围，都依赖于此。2.三角形中的重要线段*中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。三角形的三条中线交于一点，称为重心。重心将每条中线分成2:1的两段。*角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。三角形的三条角平分线交于一点，称为内心，内心到三角形三边距离相等。*高线：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。三角形的三条高线（或其延长线）交于一点，称为垂心。注意钝角三角形的高线位置。二、专题练习（一）夯实基础——概念与性质的直接应用例1：在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求△ABC各内角的度数，并判断△ABC的形状。思路点拨：已知三个内角的比例关系，可设每份为x，然后根据三角形内角和定理列出方程求解。解析：设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x。根据三角形内角和定理，有2x+3x+4x=180°解得9x=180°，x=20°因此，∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°。因为三个角都小于90°，所以△ABC是锐角三角形。练习1：在△ABC中，若∠A=50°，∠B=∠C，求∠B的度数。例2：下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A.1,2,3B.2,3,4C.2,3,5D.2,3,6思路点拨：利用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”进行判断。简便方法是：将较短的两条线段长度相加，看是否大于最长的线段长度。解析：A选项：1+2=3，不大于3，不能组成。B选项：2+3=5>4，能组成。C选项：2+3=5，不大于5，不能组成。D选项：2+3=5<6，不能组成。故答案选B。练习2：若三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长x的取值范围是。（二）能力提升——性质综合与简单推理例3：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°，求∠BCD的度数。思路点拨：在直角三角形中，两锐角互余。观察图形，∠BCD与∠A是否存在某种关系？可以通过∠B作为中间量进行转化。解析：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，所以∠B=90°-∠A=60°。因为CD是AB边上的高，所以∠CDB=90°。在Rt△CDB中，∠BCD=90°-∠B=90°-60°=30°。（另解：∠BCD=∠A=30°，思考为什么？）练习3：如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD是∠BAC的平分线，求∠ADC的度数。（请自行画出图形辅助理解）例4：已知一个等腰三角形的两边长分别为4和9，求它的周长。思路点拨：等腰三角形两腰相等，但题目未明确哪条边是腰，哪条是底，因此需要分类讨论。同时，要注意三边关系的制约。解析：情况一：若腰长为4，底边长为9。则三边长分别为4,4,9。因为4+4=8<9，不满足三角形三边关系，故此种情况不成立。情况二：若腰长为9，底边长为4。则三边长分别为9,9,4。因为9+4=13>9，9+9=18>4，满足三边关系。所以其周长为9+9+4=22。练习4：一个等腰三角形的周长为18，其中一边长为5，求其他两边的长。（三）探索与思考——动手操作与规律发现例5：如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，若∠A=70°，求∠BOC的度数。思路点拨：要求∠BOC，可在△BOC中利用内角和定理。∠OBC和∠OCB分别是∠ABC和∠ACB的一半，因此需要先求出∠ABC+∠ACB的度数，再求其一半。解析：在△ABC中，∠A=70°，所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°。因为BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，所以∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB。因此，∠OBC+∠OCB=1/2(∠ABC+∠ACB)=1/2×110°=55°。在△BOC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-55°=125°。练习5：通过例5的解答，你能否总结出∠BOC与∠A之间的数量关系？若∠A=n°，则∠BOC=°。（用含n的代数式表示）三、解题方法与技巧总结1.数形结合：三角形问题往往需要结合图形进行分析。画图是解决几何问题的第一步，要养成规范作图的习惯，图形能帮助我们直观地发现已知与未知之间的联系。2.方程思想：在求角度、边长等问题时，若已知量与未知量之间存在明显的等量关系（如内角和定理、三边关系），可以通过设未知数，列方程求解。3.分类讨论：涉及等腰三角形的边长、高的位置等问题时，常常需要考虑不同情况，进行分类讨论，避免漏解或错解。4.转化思想：将未知的、复杂的问题转化为已知的、简单的问题。例如，利用外角性质将外角与内角联系起来，利用角平分线性质将角进行等分。5.从特殊到一般：对于一些规律性探究的题目，可以先从特殊情况入手，发现规律，再尝试推广到一般情况。四、自我检测与反馈（此处可根据实际情况设置5-8道综合性练习题，涵盖选择、填空、解答等题型，难度适中，旨在检验学习效果。）说明：自我检测题的答案及部分提示将在文末给出，但建议同学们先独立完成，再进行核对。遇到困难时，不要急于看答案，回顾前面的知识点和例题，尝试独立攻克。---练习参考答案与提示：（一）夯实基础练习1：∠B=(180°-50°)÷2=65°练习2：5-3<x<5+3，即2<x<8（二）能力提升练习3：提示：先求∠BAC=180°-40°-60°=80°，因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=40°。在△ABD中，∠ADC是外角，∠ADC=∠B+∠BAD=40°+40°=80°。（或在△ADC中求）练习4：情况一：底边长为5，则腰长为(18-5)÷2=6.5，其他两边为6.5,6.5。情况二：腰长为5，则底边长为18-5×2=8，其他两边为5,8。均需检验三边关系，两种情况均成立。（三）探索与思考练习5：∠BOC=90°+1/2n°---写在最后：三角形的知识体系是平面几何的入门，也是后续学