三年级数学下册：两位数除法的算理探究与应用

三年级数学下册：两位数除法的算理探究与应用一、教学内容分析  本课内容隶属于“数与运算”领域，是沪教版三年级数学下册“用两位数乘除”单元的核心关键。从课标维度解构，其知识技能图谱清晰：学生已在前期掌握了一位数除两、三位数及整十数除两、三位数的算法，本课需在此基础上，将除数从“整十数”拓展至“一般的两位数”，完成除法竖式算法模型的完整建构，认知要求从理解迈向熟练应用。它在整个小学整数除法知识链中起着承上启下的枢纽作用，是后续学习多位数除法、小数除法乃至分数意义的算理基础。过程方法上，课标强调在探索算法中感悟算理，发展运算能力和推理意识。因此，本课的设计路径应是引导学生通过操作、猜想、验证、对比，亲身经历“如何试商”、“为什么这样试商”的完整探究过程，将抽象的算法具象化，内化为可迁移的数学思维模型。其素养价值渗透于探究全程：对算理严谨性的追求蕴含理性精神；在试商调整中锻炼思维的灵活性与策略性；解决真实问题则关联模型意识与应用意识，实现知识学习向素养发展的自然升华。  基于“以学定教”原则进行学情研判：学生已有表内乘法、除法竖式格式及“除数整十”的试商经验作为正迁移基础。然而，障碍同样明显：首次面对非整十的两位数除数，试商过程从“直接看”变为“估算试”，思维跨度大，易产生畏难情绪；同时，“商的位置”判断和余数必须比除数小的算理巩固，仍是易错点。教学过程中，将通过前测性提问、关键环节的小组讨论与代表性板演，动态评估学生对算理的理解深度与算法掌握的熟练度。针对学情多样性，教学调适策略如下：为思维较快者提供多元试商策略（如“四舍五入”试商法）的探究空间与更复杂的变式题；为需要支持者搭建直观操作支架（如小棒图、方格模型）和“试商口诀”记忆卡，并通过同伴互助与教师巡回个别指导，确保每个学生都能在自身认知起点上获得发展。二、教学目标  知识目标：学生能理解并阐述两位数除两、三位数（商是一位数或两位数）的基本算理，即“被除数里包含几个除数”；能规范、熟练地掌握除法竖式的书写格式与计算步骤，特别是试商、乘、减、比、落的完整过程，并能在具体情境中正确应用。  能力目标：学生能独立、准确完成两位数除两、三位数的笔算，具备初步的估算能力以辅助试商；能运用所学知识解决简单的两步实际问题，并能有条理地解释自己的解题思路，发展数学语言表达能力。  情感态度与价值观目标：在探究试商方法的过程中，学生能体验克服困难、调整策略的乐趣，养成耐心、细致的计算习惯和勇于尝试、合作交流的学习态度。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的运算能力与推理意识。通过将未知的除数转化为已知的整十数进行试商的思维过程，学生能初步感知“转化”的数学思想；在试商、调商的过程中，锻炼其基于算理的合情推理与批判性调整能力。  评价与元认知目标：学生能依据“计算步骤完整、书写规范、结果正确”的量规，对自我或同伴的竖式计算进行初步评价；能在学习小结时，反思自己试商策略的选择与调整过程，说出“我最容易在哪个步骤出错”及改进想法。三、教学重点与难点  教学重点：掌握两位数除两、三位数的笔算方法，理解并熟练运用“试商—乘—减—比”的计算过程。其确立依据源于课程标准对整数除法运算能力的基础性要求，以及该知识点在后续所有除法学习中的核心奠基作用。从评价导向看，它是学生必须掌握的底层运算技能，任何复杂运算都建立在此规范流程之上。  教学难点：灵活、准确地进行试商，特别是当初商偏大或偏小时，能理解原因并正确调整。预设难点成因在于：其一，试商过程需要综合运用估算、乘法心算、减法验证等多种子技能，思维链条长；其二，学生需克服“一次成功”的思维定势，理解“试”与“调”是算法本身的必要环节，具有挑战性。突破方向在于强化算理直观支撑，通过对比错例、归纳试商规律，化“机械试”为“有据调”。四、教学准备清单  1.教师准备  1.1媒体与教具：精心设计的多媒体课件，包含情境动画、分步演示的竖式流程图、对比辨析题组。板书预先规划左中右三区：左为情境与核心问题，中为算法探究主流程，右为关键要点与生成性资源。  1.2学习材料：分层学习任务单（含基础探究、巩固练习、挑战园地）、课堂即时评价卡片（“我明白了”/“我有疑问”双面卡）。  2.学生准备  2.1学具：数学书、练习本、文具。鼓励携带用于辅助思考的计数棒或方格纸。  2.2预习任务：回顾“整十数除两位数”的计算方法，并尝试用竖式计算一道如“84÷20”的题目，思考“如果除数不是整十数，比如21，该怎么想？”  3.环境布置  3.1座位安排：四人小组式就座，便于开展合作探究与讨论。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设与问题提出：“同学们，学校图书馆新进了一批共92本《科学探索》丛书，计划平均分给三年级4个班。管理员老师遇到了一个小麻烦，你能用除法帮他快速算出每个班大概能分到多少本吗？”（学生可能口算：92÷4）“真棒！这是我们已经学过的。但如果现在有92本书，要平均分给31个班级呢？还能一眼看出结果吗？”（学生面露难色）“看，当除数变成像31这样的两位数时，我们遇到了新挑战。今天，我们就化身‘计算小侦探’，一起攻克‘两位数除法’这个新堡垒！”  1.1唤醒旧知与明晰路径：首先，我们来激活一个老朋友：“如果除数是30，92÷30你会算吗？商是几？写在什么位置？”（复习整十数除法的试商和定位）。接着抛出核心驱动问题：“那么，当除数从‘30’变成‘31’，这个‘1’的变化，会给我们的计算带来哪些不同？我们又该如何应对？”今天，我们将通过三个闯关任务，从分小棒找算理，到列竖式学算法，最后挑战更复杂的算式，一步步找到答案。第二、新授环节任务一：动手操作，感知“包含除”算理  教师活动：出示问题：“92本图书，每班31本，可以分给几个班？还剩几本？”首先引导学生将问题转化为算式92÷31。不急于竖式，而是提供认知“脚手架”：“我们可以把每本书想象成一根小棒，这92根小棒，每31根捆成一捆，能捆几捆？还剩几根？请大家在任务单的图上圈一圈，或者用手中的学具摆一摆。”巡视指导，重点关注学生如何确定“捆”（即商）的数量。请不同结果的学生上台展示并说明。  学生活动：通过画图圈分或实物操作，直观感知“92里面有几个31”。尝试不同的分法，如先估2捆（62本），发现还剩30本不够再捆一捆，从而确定最多能捆2捆，剩余30本。用算式表达操作过程：31×2=62，9262=30。  即时评价标准：1.操作过程是否有序、合理。2.能否将操作结果与除法算式含义（求92里包含几个31）清晰对应。3.表达时能否使用“先分…，发现…，所以…”的逻辑语言。  形成知识、思维、方法清单：1.★除法本质再确认：两位数除法依然是求被除数中包含几个除数的“包含除”过程，这是所有除法运算的算理根基。2.▲估算的价值：在动手前，先估算“大概能分几份”，能指导我们的操作，这是试商的雏形。3.操作与算式的桥梁：分的过程（捆数）对应“商”，分掉的量（捆数×每捆数）对应“商乘除数”，剩下的对应“余数”。任务二：竖式建模，探索“试商”核心步骤  教师活动：“刚才我们动手分明白了，那怎么用竖式这位‘数学将军’来指挥这场计算战役呢？”引导学生将操作思维迁移至竖式：1.试商：“除数是31，不是整十数，我们怎么估计商？可以把31看作接近的几十？”（看作30）。“用30去试除92，想：92里有几个30？”（3个）。所以在个位上商“3”。关键提问：“这个‘3’一定对吗？我们需要做什么来检验？”2.乘与减：引导学生计算31×3=93，发现93>92。“孩子们，这说明什么？我们最初试的商3怎么样啦？”（太大了）。互动点评：“看来，把31看作30来试商，有时会‘看走眼’，因为实际的除数31比30大，所以我们用试的商去乘‘真实的’31，结果就可能超出被除数了。这就像试鞋子，看着合适，穿上才知道大小。”3.调商：“商3太大，怎么办？”（改小）。引导学生尝试商2，计算31×2=62，9262=30，余数30<31，合适。完整板书规范竖式过程。  学生活动：跟随教师引导，同步书写竖式。经历“看作接近整十数试商→用原除数乘初商验证→比较发现初商偏大→调小商再验证”的完整思维流程。关键处进行齐答或个别回答。理解“试商乘比调”的逻辑链。  即时评价标准：1.能否说出试商时把除数看作哪个整十数及理由。2.能否清晰解释为什么初商3需要调小。3.竖式书写格式是否规范（商的位置、数位对齐）。  形成知识、思维、方法清单：1.★核心步骤“试商”：把除数看作与它接近的整十数来试商，这是突破非整十除数的关键策略。2.★关键环节“调商”：试商后，必须用“试的商×原来的除数”进行验证。若积大于被除数，说明商大了，要调小；若余数大于等于除数，说明商小了，要调大。3.★算理巩固点：每一次乘减后的余数，必须比除数小，这是除法运算成立的根本法则。4.方法口诀化：“四舍看作整十试，相乘验证比大小，不对马上调一调。”帮助记忆。任务三：对比迁移，探究商是两位数的情形  教师活动：提升问题复杂度：“如果是192本书，每班31本，可以分给几个班？”列式192÷31。首先引导学生对比：“被除数变成了三位数，第一步我们该看被除数的前几位？为什么？”（前两位19不够除，要看前三位192）。亲切解说：“我们的除法大军，从‘两位战场’扩展到了‘三位战场’，但战术是一样的。”让学生尝试独立试商、计算。请一位学生板演。可能出现两种试商：看作30试商6（31×6=186），或试商5。组织讨论：“哪种试商更合理？为什么？”引导学生优化：192接近180，31×6=186更接近192且小于192，试商6更高效。强调当被除数前两位不够除时，要看前三位，商就写在个位上。  学生活动：独立思考并尝试计算192÷31。观察板演，参与讨论，比较不同试商策略的优劣。总结当被除数是三位数时的处理规则（看前三位，商在个位）。  即时评价标准：1.能否正确确定商的位数及书写位置。2.能否运用估算策略（如192≈180，180÷30=6）进行合理试商，而不仅仅是机械地“四舍”。3.计算过程是否完整、准确。  形成知识、思维、方法清单：1.★确定商的位置法则：从被除数的高位除起，先看前两位，如果前两位比除数小，就看前三位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面。2.▲试商策略优化：不仅要“四舍五入”看作整十数，还要结合被除数的数值特征进行估算，提高试商的一次成功率。3.知识关联：此处的算理与两位数除两位数完全一致，是方法的迁移与应用，体现了数学知识的结构性。第三、当堂巩固训练  构建分层、变式训练体系，限时8分钟完成。  基础层（全体必做）：完成竖式计算：①84÷21②68÷34③152÷19。聚焦基本算法流程的巩固。反馈机制：学生完成后，同桌交换，依据板书规范互评，用红笔圈出步骤是否完整（试、乘、减、比、落）。教师投影典型正确作业，强调规范。  综合层（多数学生挑战）：解决情境问题：“4千克苹果售价76元，平均每千克苹果多少元？”需要先提取数学信息（总价÷数量=单价），再列竖式计算76÷4？不对，是76÷4吗？仔细读题，是“4千克”吗？等等，题目是“4千克”吗？再读一遍：“4千克苹果售价76元”…哦，这里需要学生注意审题，明确除数是“每千克的价格”，需要计算的是76÷4？不对，总价76元，数量4千克，单价应是76÷4=19元。但为了衔接本课重点，可改为：“76元可以买4千克苹果，照这样计算，152元可以买多少千克？”变成两步计算，先求单价76÷4，再用152÷单价。调整后题目更综合。  挑战层（学有余力选做）：开放探究：“在算式□2÷32中，要使商是一位数，且没有余数，被除数方框里可以填几？”此题综合考查对除法算理的理解和数字推理能力。  训练后，教师集中讲评共性易错点，如基础层中84÷21的试商（21看作20，商4正好），并请做对挑战题的学生分享思路。第四、课堂小结  引导学生进行结构化总结与元认知反思。知识整合：“今天我们这场‘除法探险’收获了什么？谁能用思维导图的关键词来概括？”师生共同梳理：核心是“试商”（看作整十数）与“调商”（乘、比、调），关键是理解算理（包含除），注意格式（定位、比余数）。方法提炼：“我们用了哪些好方法来学习新知识？”（动手操作、竖式推理、对比迁移）。作业布置：公布分层作业：1.基础性作业：完成练习册指定基础题组。2.拓展性作业：（结合生活）计算一下你家每月平均用电量（总用电量÷月份）。3.探究性作业：研究“同头无除商八九”这类试商口诀是什么意思，并举例验证。最后，设下伏笔：“今天我们是把除数看作整十数来试商，如果除数个位是7、8、9，又该注意什么呢？我们下节课继续探究。”六、作业设计  基础性作业（必做）：1.竖式计算：96÷23、185÷37、272÷68。要求书写规范，步骤完整。2.判断改错：给出两道有典型错误的竖式（如商的位置写错、调商过程未体现），让学生诊断并改正。  拓展性作业（建议完成）：情境应用题：“学校合唱队有84人，如果站成每排21人的方阵，可以站成几排？如果每排站28人，最多能站几排？还剩几人？”此题需要学生根据不同除数灵活计算，并联系实际理解“最多”和余数的含义。  探究性/创造性作业（选做）：微型项目：“我是试商策略整理师”。请学生整理本周遇到的除法算式，尝试根据除数个位数字的特点（1、2、3与4、5、6与7、8、9），归纳不同情况下试商和调商的小窍门，并用实例说明，制作成一张策略小报。七、本节知识清单及拓展  1.★除法的核心算理：两位数除法依然是求“被除数中包含几个除数”的运算。这是理解一切除法计算的基础。  2.★试商基本方法：将除数看作与它最接近的整十数来试商。通常采用“四舍五入”法，如31看作30，57看作60。  3.★调商的必要性：试得的商是初步的，必须用“试商×原除数”进行验证。若积>被除数，商偏大，需调小；若余数≥除数，商偏小，需调大。  4.★除法竖式步骤口诀：“一看（除数是几，看作几十）、二试（估算试商）、三乘（商乘原除数）、四减、五比（余数比除数小）、六落（落下一位继续除）。”  5.★确定商的位数：从被除数高位除起，先看前两位。前两位≥除数，商是两位数；前两位<除数，商是一位数，要看前三位。  6.★书写规范：商写在正确的数位上，数位对齐；余数必须比除数小，写在最下方。  7.▲估算辅助试商：不仅看除数，也可结合被除数估算。如192÷31，想31×6=186接近192，可直接试商6。  8.▲常见错误类型：试商后忘记用原除数乘；余数比除数大时未调商；商的数位写错。  9.▲“同头无除商八九”：当被除数和除数的最高位数字相同（同头），但被除数前几位小于除数（无除）时，初商可能是8或9。例如，312÷39，被除数前两位31小于39，但31和3（39的最高位）？实际上是31和39比较，最高位都是3，但31<39，可试商8或9。这是一种提高试商速度的经验口诀，但需验证。  10.★算理与算法的关系：算法（竖式步骤）是算理（包含除）的程序化表达。理解算理能让算法掌握得更牢固，避免机械记忆。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析从假设的课堂实施来看，知识目标基本达成，大部分学生能复述步骤并完成基础计算。能力目标中，解决简单实际问题的达成度较高，但部分学生在解释为何调商时，语言仍停留在“因为乘起来太大了”的表面，未能深入关联“看作的整十数与实际除数的差异”这一本质，这表明算理的内化还需更多变式练习支撑。情感目标在小组操作和挑战成功时表现积极。元认知目标通过小结时的自我提问初步触及，但系统性的反思习惯培养非一日之功。  （二）各教学环节有效性评估导入环节的生活情境能快速引发共鸣，驱动性问题有效。新授环节的三大任务逻辑清晰：“任务一”的直观操作至关重要，它为后续抽象的试商提供了意义锚点，慢即是快。“任务二”是核心战场，师生对话中“试鞋子”的类比有效化解了调商的抽象性。但反思发现，对“为什么有时试商会偏大或偏小”的集体讨论时间可再延长，让更多学生举例说明，理解会更透彻。“任务三”的迁移设计成功，但部分中等生从两位数到三位数的跨度适应稍慢，需在巡视中给予更多个别关注。巩固环节的分层设计照顾了差异，但挑战题讲解时间稍显仓促