苏教版六年级数学上册第十周：分数除法实际问题精讲

苏教版六年级数学上册第十周：分数除法实际问题精讲一、教学内容分析  本节课位于苏教版六年级上册《分数除法》单元的纵深段。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，本课隶属于“数与代数”领域，核心要求是“能解决分数除法的简单实际问题”。其坐标意义在于：它不仅是分数除法运算规则（技能）的情境化应用与价值体现，更是串联“运算意义”、“数量关系”、“方程思想”及“模型意识”的关键节点，为后续学习比、百分数及更复杂的分数、百分数问题奠定坚实的思维模型基础。知识技能图谱上，学生需在已掌握“分数除以整数”、“整数除以分数”、“分数除以分数”计算法则的基础上，转向对“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”这类实际问题的结构化理解与求解。这要求从单纯的计算程序上升至对抽象数量关系的分析与建模。过程方法路径上，课标强调“模型意识”与“几何直观”。本课需引导学生经历“情境识别—关系抽象—模型构建—求解验证”的完整探究过程，将生活语言转化为数学语言（等量关系），并用方程或算术方法求解，此乃数学建模的雏形。素养价值渗透上，通过解决贴近生活的实际问题，培养学生用数学眼光观察现实世界（发现数学关系）、用数学思维思考现实世界（逻辑推理与建模）、用数学语言表达现实世界（列式表述）的核心素养，同时体会数学的实用价值与严谨性。  学情诊断与对策方面，学生已有基础是理解了分数乘法的意义并能解决“求一个数的几分之几是多少”的问题，同时掌握了分数除法的计算方法。可能的认知障碍在于：其一，思维定式，容易将此类问题与分数乘法问题混淆；其二，对抽象的数量关系，尤其是单位“1”未知时的理解存在困难；其三，虽然学习了方程，但主动设未知数、列方程解决问题的意识尚弱。对策上，教学将采用对比策略，将乘、除法两类问题并置，引发认知冲突，“大家看看，这两道题长得像，但为什么解法完全不同呢？”动态评估将贯穿于探究任务的讨论、板演及随堂练习中，及时捕捉典型思路与错误。针对不同层次学生，提供差异化支持：为理解吃力者提供线段图、实物图等直观“脚手架”，引导其分步说出数量关系；为思维较快者，则鼓励其探究多种解法（方程与算术）、并思考其内在联系，或尝试改编题目。二、教学目标  知识目标：学生能准确辨析“求一个数的几分之几是多少”（乘法模型）与“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”（除法模型）两类问题的本质区别；能清晰表述“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”这类问题的数量关系，理解单位“1”未知的特征；掌握用方程或算术方法解决此类问题的规范步骤，并能进行正确计算与检验。  能力目标：学生能够从实际情境中抽取出“一个数×几分之几=已知量”的核心等量关系，并据此构建数学模型（方程）；具备运用线段图等直观手段辅助分析、表征复杂数量关系的能力；在小组讨论与对比分析中，发展逻辑推理与数学表达能力。  情感态度与价值观目标：在解决实际问题的过程中，增强数学应用意识，获得运用知识解决问题的成就感；在小组合作探究中，乐于分享自己的思路，并能认真倾听、理性辨析他人的观点，培养合作交流的素养。  科学（学科）思维目标：重点发展模型思想与方程思想。通过将实际问题“数学化”的过程，体验从具体到抽象、从特殊到一般的模型建构思维；通过设未知数、列方程、解方程的过程，强化运用代数方法解决问题的思维路径，体会其顺向思维的优越性。  评价与元认知目标：学生能够依据“关系清晰、解答完整、检验有效”的标准，对解题过程进行自我评价与同伴互评；能在学习小结时，反思对比算术解与方程解在思维路径上的异同，初步形成根据问题特点灵活选择策略的意识。三、教学重点与难点  教学重点：分析“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”实际问题的数量关系，并掌握用方程解决的方法。确立依据在于：从课程标准看，此问题是分数除法单元的核心“大概念”，是分数意义、运算意义与数量关系的综合体现；从能力立意看，分析数量关系、建立等量关系式是解决所有分数、百分数、比应用题的通用关键能力，是后续学习的基石。  教学难点：准确识别问题中的单位“1”（未知），并正确建立等量关系式。预设难点成因：问题情境的叙述方式可能多样化，单位“1”被隐含；学生易受之前乘法问题思维定势干扰，误将已知量作为单位“1”去乘分率。突破方向：强化线段图这一直观工具的教学，通过画图将抽象关系可视化；设计对比性强的题组练习，在辨析中深化理解，“别急着算，先比比看，这两题谁是谁的几分之几，这个‘谁’找到了吗？”四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：教学课件（含对比问题情境、动态线段图绘制过程、分层练习题）；实物投影仪。1.2学习材料：分层学习任务单（含探究引导、分层练习区）；小组讨论记录卡。2.学生准备2.1知识准备：复习分数乘法的意义及简单应用；熟练掌握分数除法计算方法。2.2学具准备：直尺、铅笔。3.环境布置3.1座位安排：四人小组合作式就座，便于讨论与互评。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与冲突激发：1.1呈现对比情境。情境A（旧知）：“六(1)班美术小组有男生15人，女生人数是男生的2/3，女生有多少人？”情境B（新知）：“六(1)班美术小组有女生10人，是男生人数的2/3，男生有多少人？”1.2请学生快速口答情境A，复习“求一个数的几分之几用乘法”。接着抛出情境B：“男生人数变了，条件也调了个个儿，还能直接用乘法吗？大家帮这位小设计师算算看。”学生尝试解答，预设会出现不同答案，引发争议。2.核心问题提出与路径规划：2.1揭示核心问题：“当单位‘1’（男生人数）未知时，如何根据‘女生是男生的2/3’这个关系求出男生人数？这就是我们今天要攻克的核心堡垒。”2.2勾勒学习路线：“我们将通过‘画图理关系’、‘列式表模型’、‘对比明区别’、‘灵活解问题’四步来探寻答案。先请出我们的好帮手——线段图。”第二、新授环节任务一：直观感知，线段图破冰教师活动：教师同步示范画线段图。首先引导学生确定单位“1”：“在‘女生是男生的2/3’这句话里，是把谁看作单位‘1’？”（男生）。然后用一条线段表示男生人数，标上“？人”。接着提问：“女生人数该怎么表示？”引导学生说出将代表男生的线段平均分成3份，取其中的2份表示女生，并标上“10人”和“占男生的2/3”。画完后追问：“从图上，你能一眼看出男生人数和女生10人之间的数量关系吗？”鼓励学生用语言描述。学生活动：学生跟随教师引导，在任务单上独立绘制线段图。观察线段图，尝试用语言描述数量关系，如“男生人数的2/3等于女生人数（10人）”。小组内交流各自的画法和发现。即时评价标准：1.线段图是否清晰标注出单位“1”（男生）为未知量，已知量（女生10人）与其分率（2/3）的对应关系。2.描述数量关系时，语言是否准确、完整，能否紧扣“谁的几分之几是谁”。形成知识、思维、方法清单：★核心方法：线段图辅助分析法。遇到分数实际问题，当关系不明确时，第一时间画线段图，将文字转化为图形，直观揭示数量间的倍比关系。▲关键概念：单位‘1’与对应关系。线段图的核心是标出谁是单位“1”，以及已知的具体量对应的是单位“1”的几分之几。★易错警示：画图时必须先确定单位“1”，再据此表示其他量，顺序不能颠倒。任务二：关系抽象，等量关系建模教师活动：教师引导学生将线段图揭示的直观关系转化为数学表达式。“谁能用一个等式来表示‘男生人数的2/3等于10人’？”板书学生提出的等式：男生人数×2/3=10。明确这就是本题的等量关系式。接着提问：“在这个等式中，什么已知？什么未知？”（2/3和10已知，男生人数未知）。“求未知的男生人数，就是求‘一个数’乘2/3等于10，这个数是多少。这促使我们思考新的解题策略。”学生活动：学生根据线段图和教师引导，尝试写出等量关系式。理解等量关系式中各部分的含义，明确未知量是什么。感受从图形表征到符号表征的抽象过程。即时评价标准：1.写出的等量关系式是否与线段图表示的数量关系完全一致。2.能否清晰指出等量关系式中的已知量、未知量及运算关系。形成知识、思维、方法清单：★核心概念：等量关系式。它是连接实际问题与数学模型的桥梁，形式为：单位“1”的量×对应分率=对应量。★学科思维：方程思想萌芽。当单位“1”未知时，将其设为未知数x，代入等量关系式即得到一个方程（x×2/3=10），这是用代数方法解决问题的开端，思维是顺向的。▲认知提示：列出等量关系式是解题最关键的一步，务必确保分率与对应量匹配。任务三：策略生成，方程法初探教师活动：教师引出方程解法：“既然男生人数未知，我们不妨请字母‘x’来帮忙。设男生有x人。”将等量关系式“男生人数×2/3=10”改写为方程“x×2/3=10”。提问：“这个方程怎么解？依据是什么？”引导学生回忆“因数=积÷另一个因数”或“等式的性质”求解。教师规范板书解方程的全过程，并强调最后要检验。“把解出的x值代回原题，看看男生的2/3是不是等于10人，养成验算的好习惯。”学生活动：学习设未知数x，列出方程。独立或同桌合作解方程。跟随教师进行口头或书面检验，确认答案的合理性。即时评价标准：1.设未知数是否规范（解：设…为x）。2.解方程过程是否清晰、计算是否正确。3.是否有检验的意识和行动。形成知识、思维、方法清单：★核心技能：列方程解题步骤。①审题画图（找关系）；②设未知数为x；③据等量关系列方程；④解方程；⑤检验作答。★算法依据：解x×2/3=10，既可根据乘法各部分关系（x=10÷2/3），也可根据等式性质（两边同时除以2/3或乘3/2），结果一致，体现了知识间的连通。▲方法优势：方程法思维直接，避免了算术法需要逆向思考“已知部分和分率求整体”的困难。任务四：追溯本源，沟通算术解法教师活动：教师不满足于方程法，继续追问：“如果不列方程，根据我们刚才列出的等量关系式‘男生人数×2/3=10’，你能直接推导出一个算术算式吗？”启发学生将等量关系式看作一个乘法算式，求其中一个因数，用积除以另一个因数，得到：男生人数=10÷2/3。板书算术解法。“请大家算一算，结果和方程解一样吗？果然，殊途同归！那这个算式的意义是什么？”引导学生解释：10÷2/3表示“已知一个数（男生）的2/3是10，求这个数”，即分数除法的意义。学生活动：根据等量关系式，尝试推导出算术算式10÷2/3。进行计算验证。思考并讨论“10÷2/3”在这个具体情境中的实际含义。即时评价标准：1.能否从等量关系式正确推导出算术算式。2.能否结合情境，用自己的话解释算术算式的意义。形成知识、思维、方法清单：★核心原理：分数除法意义的应用。“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”用除法计算，其算理依据源于乘除法的互逆关系。★思维对比：算术解与方程解。算术解（10÷2/3）是逆向思维，直接从问题出发进行逆向运算；方程解是顺向思维，通过设元列式将未知转化为已知参与运算。▲策略选择：对于复杂关系，方程法往往更直观、易于构建。鼓励学生掌握两种方法，体会其联系。任务五：对比辨析，固化模型结构教师活动：教师将导入时的情境A（乘法问题）与情境B（除法问题）的线段图、等量关系式、解法并列呈现。组织小组讨论：“这两类问题，在结构上有什么相同点和不同点？解题的关键分别是什么？”教师巡视，听取讨论，最后引导总结：相同点是都涉及“一个数×几分之几=另一个数”的关系；不同点在于已知和未知的对象互换。乘法问题已知单位“1”求对应量；除法问题已知对应量和分率求单位“1”。关键分别是找准单位“1”和对应分率。学生活动：小组合作，对比观察两个问题的全套分析过程，寻找异同。派代表发言，阐述小组发现。在教师指导下，形成结构化的认知。即时评价标准：1.对比分析是否全面，能否抓住“已知与未知的对象不同”这一本质区别。2.小组讨论是否人人参与，结论表述是否清晰。形成知识、思维、方法清单：★大概念：分数乘、除法应用题的对比模型。这是本课知识结构的升华。通过对比，学生能更深刻地理解分数乘、除法的意义与应用场景。★解题关键点总结：无论是乘法还是除法问题，第一步永远是分析数量关系，找准单位“1”和与已知量对应的分率。▲认知结构化：将新学习的除法问题纳入到原有的乘法问题认知框架中，通过对比形成更高层次的知识网络。第三、当堂巩固训练  设计分层训练题，学生根据自身情况至少完成两个层次。1.基础层（直接应用模型）：教材对应基础练习题。如：“小华体重30千克，是爸爸体重的3/7，爸爸体重多少千克？”要求画简单线段图、写出等量关系式并解答。2.综合层（情境稍复杂或需要判断）：①条件变式：“果园里有桃树120棵，比梨树棵数少1/4，梨树有多少棵？”（提示：“比…少”如何转化为分率？）②看图列式并解答（提供线段图，标出部分量和分率，要求补全信息和解答）。3.挑战层（开放或联系实际）：“根据‘已经修了一段路的3/5’这个信息，你能提出一个用今天所学知识解决的问题吗？并解答。”或“举例说明生活中哪些问题可以用‘已知一个数的几分之几是多少，求这个数’的模型来解决。”  反馈机制：基础层题目通过实物投影展示学生作品，重点讲评等量关系式的规范书写和检验习惯。“看这位同学的等量关系式，写得像公式一样清晰，值得我们学习！”综合层题目小组互议后，教师针对共性难点（如“比…少1/4”的理解）集中剖析。挑战层答案进行课堂分享，拓宽思维。第四、课堂小结  引导学生进行结构化总结与元认知反思。1.知识整合：请学生用思维导图或关键词的形式，梳理本节课的核心知识点（问题类型、关键步骤、两种解法等）。邀请一位学生上台展示并讲解其结构。2.方法提炼：“回顾一下，我们今天是怎么一步步把生活问题变成数学问题并解决的？”师生共同回顾：画图（转化）→找关系（抽象）→列式（建模）→解答（运算）→检验（反思）。3.作业布置与延伸：必做作业：（1）完成学习任务单上的基础与综合层练习题。（2）整理本节课的错题，并写出错误原因。选做作业：寻找一道生活中或课外资料中复杂的分数除法问题，尝试用方程和算术两种方法解决，并对比哪种方法更便捷。延伸思考：“如果已知的不是‘一个数的几分之几’，而是‘比一个数多（或少）几分之几’，又该如何解决呢？同学们可以提前想一想。”六、作业设计基础性作业：1.列方程解答：（1）一瓶果汁喝了3/8，正好是450毫升，这瓶果汁原有多少毫升？（2）一本故事书，小明第一天看了全书的1/4，第二天看了全书的1/3，两天一共看了140页。这本书共有多少页？（提示：先求两天看的分率和）2.只列式不计算：学校舞蹈队有女生24人，占总人数的3/5。舞蹈队总人数是多少？拓展性作业（情境化应用）：3.工程队修一条公路，已经修了全长的2/5，离中点还有12千米。这条公路全长多少千米？（提示：“中点”意味着什么？画图是关键）探究性/创造性作业：4.微型项目：“家庭用电调查”。了解你家上月电费金额，假设峰时电费占总电费的2/3（或根据实际分时电价比例），尝试推算出你家上月总用电量（或总电费）是多少？并写一份简单的推算过程报告。（注：数据可做合理假设，重点考察建模过程）七、本节知识清单及拓展1.★核心问题模型：“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”。本质是已知部分量及其对应分率，求作为单位“1”的总量。2.★单位‘1’的判定：在含有分率的语句中，“是”、“比”、“占”、“相当于”等词后面的量通常是单位“1”。在本课模型中，单位“1”是未知的。3.★基本等量关系式：单位“1”的量×对应分率=对应量（已知）。这是所有解题步骤的出发点。4.★线段图工具：直观化工具。绘制步骤：先画单位“1”（标“？”），再根据分率分割，标出已知的对应量和分率。5.★方程解法：首选推荐方法。步骤：设单位“1”为x→代入等量关系式得方程→解方程→检验。思维顺向，易于理解。6.★算术解法：根据乘除法关系，由等量关系式变形得到：单位“1”的量=对应量÷对应分率。体现了分数除法的应用意义。7.▲解法联系：方程解法中的“x=对应量÷对应分率”即为算术解法，两者本质相通。8.★检验方法：将求得的结果作为单位“1”，计算其对应分率下的量，看是否等于题中已知的对应量。9.▲易混淆点对比（vs.乘法问题）：乘法问题：单位“1”已知，求它的几分之几是多少（用乘法）。除法问题：单位“1”未知，已知它的几分之几是多少（用除法或方程）。核心区别在于已知与未知的对象。10.▲分率与量的对应：必须确保所使用的分率与已知的具体量是相互对应的部分与整体的关系，这是列式的生命线。11.▲复杂情境转化：如“比…多1/5”，则分率为(1+1/5)；“比…少1/4”，则分率为(11/4)。需先转化为“是…的几分之几”的标准形式。12.★建模思想：解决实际问题的过程，就是将现实情境抽象成数学模型（等量关系式）并求解的过程，这是数学核心素养的体现。八、教学反思  （一）目标达成度证据分析  从当堂巩固训练与随机提问反馈看，约85%的学生能独立完成基础层题目，并规范使用线段图辅助分析、列出等量关系式，表明知识目标基本达成。在综合层问题讨论中，超过70%的小组能有效辨析“比…少几分之几”这类变式，并将其转化为正确分率，展现了初步的模型应用与迁移能力，能力目标初步实现。小组合作环节，大部分学生能围绕对比任务展开交流，但部分小组的讨论深度有待引导，情感合作目标的培养需长期浸润。  （二）环节有效性评估  导入环节的对比情境成功制造了认知冲突，有效激发了探究欲，“为什么不能直接用乘法了？”成为了驱动整堂课的核心问题。新授环节的五个任务形成了流畅的认知阶梯：任务一（画图）提供了直观支柱，尤其照顾了空间思维较弱的学生；任务二（抽象关系）是关键一跃，部分学生在此处显露出困难，需要教师更多个别的引导，那句“别怕说错，把你的想法用等式‘翻译’出来”鼓励了多名学生尝试；任务三（方程法）与任务四（算术法）的衔接自然，沟通了新旧知识，但时间分配上，方程法的讲解与练习可更充分，它是打破算术逆向思维惯性的利器；任务五（对比辨析）是画龙点睛之笔，将零散知识点整合成清晰的认知结构，效果显著。  （三）学生表现的深度剖析  在分层任务中，基础薄弱的学生在线段图绘制和寻找等量关系上花费了较多时间，他们更需要教师巡视时的即时肯定与步骤拆解，“对，先画这条线代表男生，标上问号，这就成功了第一步！”对于学有余力的学生，他们在完成基础任务后，自发地探讨不同解法的优劣，甚至对挑战层问题提出了富有创意的情境设想。差异主要体现在思维的速度、抽象概括的深度以及迁移能力的灵活性上。一个深刻体会是：提供清晰的学习路径（如任务单上的引导问题）和可视化工具（线段图），能有效缩小不同起点学生间的“操作距离”，让他