理解算理掌握算法-《除数是整数的小数除法》第二课时：被除数位数不足与有余数添0继续除（五年级数学）

理解算理，掌握算法——《除数是整数的小数除法》第二课时：被除数位数不足与有余数添0继续除（五年级数学）一、教学内容分析  本节课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域“数与运算”主题，是小数除法运算规则构建的关键深化环节。从知识技能图谱看，学生在第一课时已掌握“商的小数点与被除数的小数点对齐”的基本算法，本课将直面计算过程中的两种特殊情境：一是除到被除数末尾仍有余数；二是整数部分除后有余数，需要继续除。这不仅是算法程序的完善（从“除尽”到“除不尽需补0继续除”），更是对小数意义和除法算理的深度理解，为后续学习除数是小数的除法（依据商不变性质转化）奠定坚实的算理基础。其过程方法路径强调在解决真实问题的过程中，经历“发现问题（余数怎么办）—提出猜想（可以添0）—验证猜想（依据小数的性质）—总结算法”的完整数学探究，渗透转化、归纳的数学思想。素养价值渗透上，本课着力发展学生的运算能力和推理意识。通过理解“为什么可以添0继续除”，引导学生从程序性操作走向概念性理解，培养其思维的严谨性与逻辑性；在解决“如何确定商的小数点位置”等问题中，强化数感，体验数学的确定性与简洁美。  学情诊断需基于“以学定教”原则。学生的已有基础是对整数除法竖式、小数的意义及性质（小数末尾添0，小数大小不变）较为熟悉，具备初步的类比迁移能力。然而，潜在障碍亦十分显著：首先，学生易受整数除法“余数即结果”的思维定势影响，难以自发产生“在余数后添0继续除”的需求；其次，“添0”这一操作易流于机械记忆，对其背后的算理——将余数转化为更低计数单位继续均分——理解模糊，导致在商的定位上出错。教学中的过程性评估将贯穿始终：例如，在导入环节通过关键提问“除到末尾还有余数，说明分完了吗？还能继续分吗？”探查学生的原始认知；在新授环节，观察学生独立尝试竖式计算时的“第一反应”和讨论中的发言，捕捉思维难点。基于此，教学调适应为不同层次学生提供差异化支架：对于基础薄弱者，借助货币单位（元角分）、长度单位（米分米厘米）等直观模型，将抽象的“1”拆解为10个0.1，化抽象为具体；对于学有余力者，则引导其摆脱模型，直接从数的组成和小数性质出发进行推理，并鼓励探究“商是纯小数”的更多变式。二、教学目标  知识目标：学生能准确解释在除数是整数的小数除法中，当除到被除数末尾仍有余数或整数部分有余数时，为什么可以在余数后面添0继续除，其算理依据是小数的基本性质；能清晰、规范地表述并执行“先点小数点，后添0继续除”的算法程序，正确完成相关竖式计算，理解商的小数点定位的必然性。  能力目标：学生能够独立、完整地完成包含“添0继续除”步骤的小数除法竖式计算流程；能运用生活情境（如元角分换算）或几何直观（如线段均分）来验证或解释计算结果的合理性，具备初步的验算意识和解决问题的能力；在小组讨论中，能用自己的语言向同伴说明计算步骤及其理由。  情感态度与价值观目标：学生在面对“除不尽”的计算困境时，表现出积极探究、不轻易放弃的学习态度；在小组合作验证算理的过程中，乐于倾听他人观点，并能友好地提出质疑或补充，感受数学探究的乐趣与合作的价值。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的运算推理能力和模型思想。通过将“余数添0”的操作与“将1个一转化为10个0.1”的数学本质相联结，建立具体情境与抽象算法之间的模型对应；通过对比整数除法与小数除法的异同，学会运用类比与转化的思维方法分析和解决问题。  评价与元认知目标：学生能够依据“计算步骤完整、书写格式规范、算理表述清晰”的简易量规，对同伴或自己的竖式计算过程进行初步评价；能在课堂小结环节，反思“本节课我最大的收获是什么？是如何解决‘余数’这个难题的？”，初步形成对学习策略的总结意识。三、教学重点与难点  教学重点：理解并掌握在除数是整数的小数除法中，当除到被除数末尾有余数时，需要添0继续除的算理与算法。确立此为重点，源于其在知识结构中的枢纽地位：从课程标准看，它直接关联“数的运算”核心要求中的“理解算理、掌握算法”，是小数除法运算能力形成的关键节点；从学业评价导向看，该知识点是后续复杂小数除法（如除数是小数、循环小数）理解的逻辑起点，且在各类检测中均为高频考查点，不仅考查计算技能，更通过填空、说理等形式考查对算理的理解深度。  教学难点：突破“余数添0继续除”的算理理解，特别是理解“所添的0”所对应的计数单位变化。预设此为难点的依据主要来自学情分析：首先，从整数除法到小数除法，学生的认知需实现从“余数为终”到“余数可续”的跨越，思维跨度大；其次，“添0”操作看似简单，但其背后涉及“将整数个‘1’（或高位单位）转化为小数个‘0.1’（或低位单位）”这一抽象的位值思想，学生容易仅记住操作步骤而不知其所以然，导致在商的小数部分补0时出现定位错误。突破方向在于强化直观模型支撑与算理语言表述的双重通道。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式多媒体课件，内含问题情境动画、动态竖式计算过程演示、分层练习题；实物投影仪。1.2学习材料：设计并印制分层学习任务单（含探究记录、分层练习）、元角分学具卡片（可选）。2.学生准备2.1知识预备：复习小数的意义和性质，回顾第一课时小数除法的基本方法。2.2学具准备：常规文具。3.环境布置3.1座位安排：便于四人小组讨论的布局。3.2板书规划：左侧预留核心算理区（如：1元=10角=100分），中间为主板书记录探究过程与算法总结，右侧为练习反馈区。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设，引发认知冲突：同学们，上节课我们学会了像“9.6÷3”这样的小数除法，算得又快又准。今天老师遇到了一个新问题，看谁能帮帮我？课件呈现：“王老师买了3本相同的笔记本，总共花了9.7元。每本笔记本多少钱？”我们一起来列式：9.7÷3。请大家在心里估一估，大概每本多少钱？对，3元多。那到底是多少呢？请大家试着在草稿本上用竖式算一算。  1.1暴露思维困境，提出核心问题：（巡视，选取典型做法投影）老师发现很多同学算到这儿就停住了：9除以3商3，落下7，7除以3商2余1。这个“1”怎么办？除法算完了吗？“每本3.2元余1元”？这听起来怪怪的，钱能这么表示吗？看来，这个多出来的“1”，就是我们今天要攻克的大boss！它到底意味着什么？我们能不能继续把它分下去？这节课，我们就来当一回“除法侦探”，专门破解“余数之谜”！  1.2明确探究路径：我们的破案路线图是这样的：首先，回到我们的老朋友“元角分”，看看这个“1元”在真实分钱的时候是怎么处理的；然后，把这种处理方法“翻译”成竖式的语言；最后，总结出这类除法的新规则。大家准备好了吗？第二、新授环节  本环节旨在通过系列任务，引导学生自主建构“添0继续除”的算理与算法。采用“情境建模—操作体验—算理抽象—算法归纳”的递进式支架。任务一：借助生活模型，理解“余数化整为零”教师活动：首先，聚焦导入问题中的“1元余数”。引导语：“这个‘1元’真的分不掉了吗？在生活中，如果你有1元整钱，要平均分给3个人，你会怎么做？”预设学生回答：换成角。教师追问：“对，把1元换成10角！这用我们学过的数学知识怎么解释？（1元=10角）。那么，在9.7元这个数里，这个‘7’原本是7角，现在加上换来的10角，一共是多少角？”（17角）。接着，教师用课件动态演示：在竖式余数“1”的后面闪现一个红色的“0”，同时旁白：“在竖式里，我们怎么表示把这个‘1元’变成了‘10角’呢？就是在余数1的后面，加上一个0！因为这个0代表了从元到角的转换，它是在十分位上，所以同时，我们得在商里点出小数点，然后在2的后面，准备接着除。”教师完整演示17÷3=5……2，得到3.25元。最后设问：“现在余数是2，表示2角，还能继续分吗？怎么分？”学生活动：聆听教师引导，积极回答生活化问题（换零钱）。观察课件动态演示，理解竖式中“添0”操作与生活实际（单位换算）的对应关系。尝试说出“把1元变成10角，和原来的7角合起来是17角”这一关键过程。思考教师最后的追问。即时评价标准：1.联系生活：能否用“换零钱”的生活经验解释如何处理余数。2.对应理解：能否说出竖式中所添的“0”对应的是把1元转化为10角。3.参与状态：是否专注观看演示并积极思考后续问题。形成知识、思维、方法清单：★核心算理：除到被除数末尾有余数时，可以在余数后面添0继续除。其依据是小数的基本性质（小数末尾添0，大小不变），本质是将余数单位转化为更小的计数单位（如元化角）。▲操作起点：添0的前提是已在商中正确点好了小数点，确保新旧余数能正确结合。思维方法：遇到数学难题时，可以联系熟悉的生活情境或直观模型（如元角分）来帮助理解抽象的算理。易错预警：添0后，原来的余数（如1）与所添0组成的数（如10），其位数和数值意义发生了变化，需在新的数位上继续除。任务二：抽象数学本质，规范竖式算法教师活动：脱离具体单位，抽象到一般数。出示例题：12.5÷5。引导语：“现在没有‘元角分’提示了，你能独立用竖式算一算吗？”（巡视，捕捉两种典型：正确添0的；算到余数2停止的）。请一位算对的学生上台板演并讲解。教师追问全体：“他为什么要在2后面添0？这个2表示2个什么？（2个0.1）添0后变成20个什么？（20个0.01）你是怎么知道的？”引导学生回答：因为被除数是12.5，5在十分位，所以余数2在十分位，表示0.2；添0后，数字变成20，但这个“20”是在百分位上，表示0.20。然后，教师呈现一道错例（未点小数点就直接添0除），组织讨论：“他这样做对吗？错在哪里？”（关键：小数点未点，导致数位混乱）。最后，教师与学生共同用规范数学语言总结算法步骤：“先按照整数除法的方法除；商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数末尾仍有余数，就在余数后面添0，再继续除。”学生活动：独立尝试计算12.5÷5。观察同学板演，聆听讲解。思考并回答教师关于余数计数单位的追问。参与错例辨析，指出错误根源。跟随教师一起总结算法步骤，并大声朗读或默记。即时评价标准：1.迁移能力：能否脱离具体情境，在纯数字计算中主动应用“添0继续除”。2.算理表述：能否用“几个十分之一”、“几个百分之一”解释余数添0前后的变化。3.辨析能力：能否发现错例中“小数点未对齐”这一关键错误。形成知识、思维、方法清单：★核心算法：除数是整数的小数除法，若除到被除数末尾有余数，先在商中点上小数点，然后在余数后面添0再继续除。★算理抽象：余数添0，本质是借助小数的性质，将余数扩大为原计数单位的10倍，从而用更小的计数单位继续均分。易错点：最容易遗漏或出错的一步是点小数点，务必在第一次落下被除数小数部分数字之前，或遇到余数时，首先确认小数点已对齐。书写规范：添0时，应紧挨余数书写，视为一个整体继续运算。任务三：探究整数部分有余数的情况教师活动：提升难度，引出新情境。出示例题：2.4÷5。引导语：“这道题和前面有什么不同？（被除数整数部分比除数小）整数部分2除以5，不够商1，怎么办？（商0，点上小数点）好，继续除，24个0.1除以5，商4个0.1，余……4个0.1？也就是0.4。现在又余下0.4，还能继续除吗？怎么除？”让学生小组讨论。请小组代表汇报，引导他们说出：可以把0.4看作40个0.01，也就是在余数4后面添0，变成40个0.01除以5。教师课件演示完整过程，强调：“看，无论是小数部分有余数，还是整数部分除完后小数部分有余数，处理办法是一样的——添0继续除。这就像剥洋葱，一层一层地分下去。”学生活动：观察新例题特点，回答教师初始提问。进行小组讨论，探讨“0.4”如何继续除。可能出现的思路：联系前面知识，想到添0；或使用乘法逆运算思考。聆听小组汇报和教师总结，观察课件演示，理解其普适性。即时评价标准：1.观察比较：能否敏锐发现新例题与之前例题在“整数部分商”上的区别。2.合作探究：在小组讨论中是否能贡献想法或倾听同伴。3.类比迁移：能否将“小数末尾余数添0”的方法迁移到“整数部分商后有余数”的新情境。形成知识、思维、方法清单：▲情况拓展：当整数部分不够除，商0点小数点后，继续除到后面仍有余数时，同样适用“添0继续除”的法则。★知识贯通：至此，除数是整数的小数除法所有情况（整数部分够除、不够除；能除尽、需补0除尽）的算法实现统一。思维提升：体会数学方法的普适性与简洁性，一个“添0继续除”的规则解决了多种情况下的计算问题。方法巩固：无论余数出现在哪一步，处理原则是：点对小数点，余数添0，转化为更低数位继续除。任务四：归纳与巩固，形成计算策略教师活动：组织“算法整理”活动。提问：“经过刚才的探索，谁能完整地说一说，做除数是整数的小数除法，我们的‘通关秘籍’是什么？”鼓励学生分步总结。教师在板书上形成结构化流程图：①按整数除法除；②商的小数点与被除数小数点对齐；③除到最后有余数？是→余数后添0，继续除；否→结束。随后，出示一道综合题：26÷8。让学生完整经历“整数部分有余数（26÷8=3…2）→点上小数点→余数2后添0变20个0.1→继续除”的全过程。巡视指导，特别关注学困生。学生活动：尝试用自己的语言概括计算步骤和注意事项。参与构建计算流程图。独立完成26÷8的计算，体验完整流程。与同桌互相检查计算过程和结果。即时评价标准：1.归纳能力：能否条理清晰、语言准确地进行算法总结。2.综合应用：能否在无任何情境提示的纯计算题中，完整、正确地执行包含“添0”步骤的运算流程。3.互助检查：同桌互查时能否发现并指出他人的错误。形成知识、思维、方法清单：★策略模型：形成清晰的除数是整数的小数除法心智计算模型，将操作步骤内化为程序性知识。元认知提示：计算完成后，养成回顾检查的习惯：一看商的小数点是否对齐；二看有无余数未处理；三看商的数位是否齐全。计算技巧：当需要多次添0时（如求多位小数），应耐心重复“余数添0再除”的步骤，直到除尽或达到要求精度。素养指向：通过完整流程的实践，巩固运算能力；通过总结归纳，提升数学表达的条理性。第三、当堂巩固训练  设计分层、变式练习，并提供即时反馈。  A层（基础应用，全员必做）：  1.竖式计算：①6.3÷2②14.4÷12③1.8÷12（设计意图：第①题能除尽，巩固基础；第②题涉及整数部分商后有余数需添0；第③题是整数部分不够除且需添0的典型。）  反馈方式：学生独立完成，投影展示一份标准答案和一份典型错例（如第③题小数点位置点错），集体评议，教师强调易错点。“看看这位同学的‘1.8÷12’，商的小数点是不是和被除数的小数点‘好朋友对齐’了？”  B层（综合辨析，大多数学生完成）：  2.判断改错：下面的计算对吗？如果不对，错在哪里？  3.9÷6=6.5（错，未点小数点）  2.7÷4=0.675（计算过程略，需判断其正确性，涉及两次添0）  3.解决问题：一根4.2米长的绳子，平均剪成6段，每段长多少米？  反馈方式：小组内交流判断结果和理由，派代表说明。解决问题后，提问：“如果绳子长4.3米呢？结果会是怎样？和4.2米的结果比，多出的0.1米在计算中是如何处理的？”引导学生联系算理。  C层（挑战拓展，学有余力选做）：  4.想一想：计算10÷8，当商写到1.25后余数为0。如果我还想继续除下去，会得到什么？动手试试看。（引导学生发现“添0”可以无限进行，为后续循环小数埋下伏笔，但不作深入要求）  反馈方式：请尝试完成的学生简要分享发现，教师给予肯定，并提问：“一直除下去，你发现了什么有趣的现象吗？”激发好奇心。第四、课堂小结  引导学生进行结构化总结与元认知反思。  1.知识整合：“同学们，这节课我们解决了除法王国里的一个‘余数’大麻烦。谁能用一幅简单的思维图或者几个关键词，来概括一下我们的战果？”请学生上台或在学习单上绘制，可能包括：“添0继续除”、“小数的性质”、“点对齐小数点”、“计数单位转化”等。教师完善板书结构。  2.方法提炼：“回顾一下，我们是怎么发现并理解‘添0继续除’这个方法的？”（从生活情境入手—建立模型—抽象到算理—总结算法）。强调这是一种重要的数学学习方法。  3.作业布置与延伸：  必做作业：完成练习册对应基础题；用竖式计算5.6÷16和28÷5，并任选一题，用画图或讲故事的方式向家人解释计算过程。  选做作业：探究题：计算1÷3，尽可能多除几步，观察商有什么特点？记录你的发现。  “今天我们把‘余数’变成了‘继续除’的动力。下节课，我们会遇到更狡猾的情况，比如除着除着，数字开始‘循环出现’，那又会是怎样的数学奥秘呢？让我们拭目以待。”六、作业设计基础性作业（必做）：1.完成课本第XX页“做一做”的全部竖式计算题。目的：巩固基本算法，确保每一位学生都能正确执行计算程序。2.填空：计算2.5÷4时，2除以4不够商1，要在个位上商（），点上（）；继续除，25个（）除以4；除到末尾有余数1，表示1个（），在后面添0变成10个（），再继续除。拓展性作业（建议大多数学生完成）：3.解决问题：一盒牛奶2.1升，小明家4天喝完，平均每天喝多少升？如果这盒牛奶是2.2升呢？请分别列式计算，并比较在计算2.2÷4时，你是如何处理余数的。4.数学小日记：以“小数除法中的‘零’角色”为题，写一篇简短的数学日记，说说今天学习的“添0”与以前学习的小数末尾“添0”有什么相同和不同的作用。探究性/创造性作业（选做）：5.创编题：请你当小老师，创编一道“需要添0两次才能除尽”的除数是整数的小数除法题，并给出完整的解答过程。6.微探究：使用计算器计算10÷3，58.6÷11，观察商的小数部分，你有什么猜想？尝试不用计算器，用竖式除到小数点后五位，验证你的猜想。七、本节知识清单及拓展★1.核心算理：余数添0继续除的依据。其根本在于小数的基本性质：在小数末尾添上0，小数的大小不变。在除法竖式中，余数后的“添0”操作，并非凭空增加数值，而是将被余下部分的计数单位进行细化（如将“几个一”转化为“几十个十分之一”），从而允许除法运算继续向下一个更小的数位进行。这体现了除法“尽可能均分”的本质。★2.关键算法：操作步骤。①按整数除法的方法去除；②商的小数点要和被除数的小数点对齐；③如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除。口诀：“点点对齐，有余添零。”▲3.情况扩展：整数部分商后有余数。当被除数整数部分除完后有余数（无论之前整数部分是够除还是不够除商0），需要落下小数部分数字继续除。若此后仍有余数，处理方法与上述第③步完全一致。这表明“添0继续除”是一个普适性规则。4.易错点警示：小数点定位先于添0。在余数后添0之前，必须确保商的小数点已经与被除数的小数点对齐。这是决定所添0的计数单位（是十分位、百分位还是……）的关键。顺序错误会导致整个计算的数位混乱。5.算理理解工具：生活模型（元角分）。将“1元余数转化为10角”是理解“余数1后面添0变成10”最直观的模型。类似地，长度单位（米、分米、厘米）、面积单位等均可作为辅助理解的工具，实现从具体到抽象的过渡。▲6.思维方法：转化与迁移。将小数除法中“有余数”的新问题，通过“添0”转化为已掌握的“整数除法”或“小数部分够除”的旧问题来解决。这体现了数学中重要的转化思想。7.书写规范要点。竖式中，所添的“0”应紧贴余数书写，视为一个整体被移除。商的结果中，哪一位不够商1，要用“0”占位，尤其是整数部分和小数部分首位。★8.与旧知的联系：小数的意义。深刻理解“添0继续除”，需要牢固掌握小数的意义。例如，余数2在十分位，表示0.2，即2个0.1；添一个0后，“20”在百分位，表示0.20，即20个0.01，它们的大小相等。9.验算方法推荐。完成计算后，可用“商×除数=被除数”进行验算，这是检验计算结果是否正确的有效方法。对于涉及添0的复杂计算，验算尤为重要。▲10.拓展视野：无限除下去的可能性。像10÷3这样的算式，使用“添0继续除”的规则可以永远进行下去，商会出现无限重复的数字序列，这为六年级学习“循环小数”奠定了最直接的感性经验。可以鼓励学有余力的学生进行初步尝试和观察。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析。从当堂巩固练习的完成情况来看，约85%的学生能正确完成A层基础计算，表明“掌握算法”这一知识技能目标基本达成。在B层综合辨析题中，关于错例的讨论，大部分学生能准确指出“小数点未对齐”的错误，说明对算法关键步骤的识别能力较强。然而，在让学生用自己的语言解释“为什么可以添0”时，仅有约半数学生能准确提及“小数的性质”或“计数单位转换”，更多学生仍停留在“老师教的”或“元变角”的具象层面。这表明，“理解算理”这一更高层次的目标，虽在课堂探究中有所突破，但完全内化为学生自身的数学理解，仍需后续练习和不同情境的反复强化。情感目标方面，学生在面对“9.7÷3”的困境时表现出的好奇与最终解决问题后的成就感是显而易见的，课堂氛围积极。  （二）核心环节有效性评估。“任务一：借助生活模型”是整个教学的基石，其有效性极高。当学生听到“把1元钱换成10角钱”时，眼中闪现的“恍然大悟”是真实的认知跨越。这个生活锚点成功地将抽象的数学操作具象化，为后续抽象推理搭建了坚实的跳板。“任务二：抽象数学本质”是难点突破的关键。部分学生在这里出现了“脱轨”，一旦脱离元角分情境，对余数“2”所代表的计数单位就模糊了。反思此环节，教师追问“这个2表示2个什么？”力度仍需加强，或许应在多个例题中反复进行“余数是多少个‘几分之一’”的快速问答训练，将位值意识刻入思维习惯。小组讨论在任务三中发挥了作用，学生之间的相互解释（“0.4就是40个0.01啊”）有时比教师讲解更能让同伴接受。  （三）差异化应对的深度剖析。本节课为学困生准备的“元角分”模型学具，在实际巡视中发现，部分学生过于依赖学具卡片进行实物摆放，而在脱离学具进行竖式抽象时存在困难。这提示我，模型是“拐杖”，但需设计明确的“