2025年弹性力学期末考试试题及答案

2025年弹性力学期末考试试题及答案试题部分一、选择题（每题3分，共15分）1.弹性力学中“连续性假设”的核心含义是（）A.物体内不存在任何缺陷B.物体内各点的力学性质相同C.物体内任意点附近的微小单元体可视为连续介质D.物体的变形是连续的2.对于平面应力问题，以下描述正确的是（）A.所有应力分量均与z坐标无关B.正应力σ_z=0，切应力τ_xz=τ_yz=0C.应变ε_z=0D.适用于厚度远大于其他尺寸的板件3.小变形假设在弹性力学中的主要作用是（）A.忽略变形引起的几何尺寸变化B.使应变分量与位移分量的关系线性化C.简化平衡微分方程的推导D.以上均正确4.应力状态的三个主应力σ₁≥σ₂≥σ₃，其对应的最大切应力为（）A.(σ₁-σ₂)/2B.(σ₂-σ₃)/2C.(σ₁-σ₃)/2D.(σ₁+σ₂+σ₃)/35.圣维南原理的适用条件是（）A.仅适用于静载荷B.替代的等效力系作用区域需为小边界C.必须保证应力分布完全相同D.仅适用于弹性体表面二、填空题（每空2分，共20分）1.弹性力学基本方程包括平衡微分方程、几何方程和________方程。2.平面问题中，应变协调方程的物理意义是保证变形后的物体________。3.空间问题的平衡微分方程共有________个独立方程。4.各向同性材料的广义胡克定律中，弹性常数E（杨氏模量）与G（剪切模量）、ν（泊松比）的关系为________。5.对于受均匀拉应力σ作用的薄板（平面应力问题），其z方向的应变为________（用σ、E、ν表示）。6.用逆解法求解弹性力学问题时，需先假设满足________的位移或应力函数，再验证是否满足边界条件。7.应力边界条件的数学表达式本质是________在边界上的投影平衡。8.轴对称平面问题中，径向正应力σ_r与环向正应力σ_θ满足的平衡微分方程为________。9.弹性体的应变能密度函数W与应力分量σ_ij、应变分量ε_ij的关系为________。10.对于纯弯曲梁（平面应力问题），其挠曲线微分方程可通过________原理推导。三、简答题（每题8分，共24分）1.简述弹性力学与材料力学在研究对象和方法上的主要区别。2.说明平面应力问题与平面应变问题的异同点，并各举一个工程实例。3.解释“应力集中”现象的产生原因及工程中减小应力集中的常用措施。四、计算题（共41分）1.（12分）如图1所示，厚度为t的矩形截面梁（宽度b，高度h）受均布载荷q作用，跨度为l。假设梁的位移分量为：u(x,y)=(q/(2EI))(l²xx³/3)y+(νq/(6EI))xy³+C₁x+C₂v(x,y)=(q/(24EI))(x⁴2l²x²+l⁴)(νq/(24EI))(3x²y²y⁴)+C₃y+C₄其中EI为梁的抗弯刚度，ν为泊松比。试通过几何方程推导应变分量ε_x、ε_y、γ_xy，并验证是否满足平面应力问题的应变协调方程（平面应力下，应变协调方程为∇⁴φ=0，其中φ为艾里应力函数）。2.（15分）如图2所示，内半径为a、外半径为b的厚壁圆筒受内压p作用（外压为0）。已知轴对称平面应变问题的应力解为：σ_r=(pa²)/(b²a²)(1b²/r²)σ_θ=(pa²)/(b²a²)(1+b²/r²)σ_z=ν(σ_r+σ_θ)（平面应变）（1）验证该应力解是否满足平衡微分方程；（2）计算内表面（r=a）和外表面（r=b）的径向正应力，验证是否满足边界条件；（3）若圆筒材料的许用应力为[σ]，试推导壁厚设计的强度条件（以b表示，假设a已知）。3.（14分）如图3所示，悬臂梁长度为L，自由端受集中力F作用，梁的截面为矩形（宽度b，高度h）。试用最小势能原理推导梁的挠曲线方程v(x)（假设挠曲线函数为v(x)=Ax³+Bx²+Cx+D，利用边界条件确定系数）。答案部分一、选择题1.C（连续性假设指物体可视为连续介质，微小单元体可代表宏观性质）2.B（平面应力问题中σ_z=0，τ_xz=τ_yz=0，应变ε_z≠0；适用于薄板）3.D（小变形假设同时简化几何关系、平衡方程和几何尺寸变化）4.C（最大切应力为(σ₁-σ₃)/2）5.B（圣维南原理适用于小边界上的等效力系替代）二、填空题1.物理（或本构）2.连续无裂纹（或变形协调）3.3（σ_x、σ_y、σ_z方向各1个）4.G=E/[2(1+ν)]5.ε_z=-νσ/E（平面应力下σ_z=0，由广义胡克定律得）6.基本方程（或平衡微分方程、几何方程、物理方程）7.面力与应力（或微元体边界应力与外载荷）8.rdσ_r/dr+σ_rσ_θ=0（轴对称平衡方程）9.W=½σ_ijε_ij（求和约定）10.虎克（或材料力学挠曲线与弯矩关系）三、简答题1.主要区别：（1）研究对象：材料力学主要研究杆类构件（拉、压、弯、扭），弹性力学研究任意形状的弹性体（如板、壳、块体）；（2）方法：材料力学采用“平截面假设”等简化，弹性力学直接从微元体出发，严格满足基本方程和边界条件；（3）精度：弹性力学解更精确，可揭示局部应力（如应力集中），材料力学解为近似。2.异同点：相同点：均简化为二维问题（应力或应变仅与x、y有关），采用相同的基本方程（平衡、几何、物理方程）。不同点：平面应力：σ_z=τ_xz=τ_yz=0，ε_z≠0，适用于薄板（如机械零件中的薄壁板）；平面应变：ε_z=τ_xz=τ_yz=0，σ_z≠0，适用于长柱体（如重力坝、隧道围岩）。3.应力集中原因：物体几何形状突变（如孔、槽、缺口）导致局部应力远高于平均应力，因变形协调要求突变区域应力重新分布。工程措施：（1）避免尖角，采用圆弧过渡；（2）减小缺口深度或宽度；（3）局部强化（如表面淬火）；（4）对称设计，避免单侧突变。四、计算题1.（1）由几何方程，应变分量：ε_x=∂u/∂x=(q/(2EI))(l²x²)y+(νq/(6EI))y³+C₁ε_y=∂v/∂y=(νq/(12EI))(6x²y4y³)+C₃=(νq/(2EI))x²y+(νq/(3EI))y³+C₃γ_xy=∂u/∂y+∂v/∂x=(q/(2EI))(l²xx³/3)+(νq/(2EI))xy²+(q/(6EI))(4x³4l²x)(νq/(4EI))(6xy²)化简γ_xy=[-q/(2EI)(l²xx³/3)+q/(6EI)(4x³4l²x)]+[νq/(2EI)xy²6νq/(4EI)xy²]=q/(6EI)(-3l²x+x³+4x³4l²x)+νq/(4EI)(2xy²6xy²)=q/(6EI)(5x³7l²x)νqxy²/EI（2）平面应力问题的应变协调方程为∂²ε_x/∂y²+∂²ε_y/∂x²=2∂²γ_xy/(2∂x∂y)（注：原题中∇⁴φ=0为应力函数形式，此处用应变形式验证）。计算∂²ε_x/∂y²=d²/dy²[(q/(2EI))(l²x²)y+(νq/(6EI))y³+C₁]=(νq/EI)y∂²ε_y/∂x²=d²/dx²[(νq/(2EI))x²y+(νq/(3EI))y³+C₃]=(νq/EI)y左边=(νq/EI)y(νq/EI)y=0右边=2∂²γ_xy/(2∂x∂y)=∂/∂x[∂γ_xy/∂y]=∂/∂x[-2νqxy/EI]=-2νqy/EI显然左边≠右边，说明假设的位移场不满足应变协调方程（可能因未考虑所有项或假设函数不精确）。2.（1）轴对称平衡微分方程为rdσ_r/dr+σ_rσ_θ=0。计算dσ_r/dr=(pa²)/(b²a²)(0+2b²/r³)=2pa²b²/[r³(b²a²)]代入左边：r(2pa²b²/[r³(b²a²)])+(pa²)/(b²a²)(1b²/r²)(pa²)/(b²a²)(1+b²/r²)=2pa²b²/[r²(b²a²)]+pa²/[b²a²][(1b²/r²)(1+b²/r²)]=2pa²b²/[r²(b²a²)]2pa²b²/[r²(b²a²)]=0，满足平衡方程。（2）内表面r=a：σ_r=(pa²)/(b²a²)(1b²/a²)=(pa²)/(b²a²)[(a²b²)/a²]=-p（压应力，与内压p平衡）；外表面r=b：σ_r=(pa²)/(b²a²)(1b²/b²)=0，满足外压为0的边界条件。（3）厚壁圆筒的最大应力为内表面环向应力σ_θ_max=(pa²)/(b²a²)(1+b²/a²)=p(b²+a²)/(b²a²)。强度条件：σ_θ_max≤[σ]，即p(b²+a²)/(b²a²)≤[σ]，解得b≥a√[(p+[σ])/([σ]p)]。3.（1）应变能U=½∫∫(σ_xε_x+σ_yε_y+τ_xyγ_xy)dAdx。平面应力下σ_y=τ_xy=0，σ_x=Eε_x=E∂u/∂x。但悬臂梁弯曲时u≈-ydv/dx（小变形），故ε_x=-yd²v/dx²，σ_x=-Eyd²v/dx²。应变能密度w=½σ_xε_x=½Ey²(d²v/dx²)²，总应变能U=½∫₀^L∫_AEy²(d²v/dx²)²dAdx=½EI∫₀^L(d²v/dx²)²dx（EI=∫_AEy²dA）。（2）外力势能V=-Fv(L)（自由端位移为v(L)）。（3）总势能Π=U+V=½EI∫₀^L(v''²)dxFv(L)。（4）假设v(x)=Ax³+Bx²+Cx+D，边界条件：固定端x=0：v(0)=0→D=0；v’(0)=0→C=0；