2025年精算师考试真题解析+答案

2025年精算师考试练习题解析+答案一、金融数学部分（一）题目1：某保险公司发行一款5年期变额年金产品，首年年初支付10万元，之后每年支付额比前一年增加5%。假设年实际利率为3%，计算该年金在第0年末的现值。解析：变额年金现值计算需考虑支付额的增长模式与利率的关系。本题中支付额呈5%的几何增长，属于递增型年金。设第t年初支付额为C_t，则C_1=10万，C_t=10×(1+5%)^(t-1)（t=1,2,3,4,5）。年金现值PV=Σ[C_t/(1+i)^t]（t=1到5）。计算过程：第1年现值：10/(1.03)^1≈9.7087万第2年现值：10×1.05/(1.03)^2≈10.5/1.0609≈9.8973万第3年现值：10×(1.05)^2/(1.03)^3≈11.025/1.0927≈10.0897万第4年现值：10×(1.05)^3/(1.03)^4≈11.57625/1.1255≈10.2859万第5年现值：10×(1.05)^4/(1.03)^5≈12.15506/1.1593≈10.4857万现值合计≈9.7087+9.8973+10.0897+10.2859+10.4857≈50.4673万答案：约50.47万元（二）题目2：某债券面值1000元，票面利率4%（半年付息），剩余期限3年，当前市场报价980元。计算该债券的年实际到期收益率（精确到0.01%）。解析：债券定价公式为P=Σ[C/(1+r/2)^t]+F/(1+r/2)^n，其中C=1000×4%/2=20元，n=6期，P=980元，F=1000元。需通过试错法或牛顿迭代法求解半年收益率r/2，再转换为年实际收益率(1+r/2)^2-1。试算：假设r/2=2.2%，则现值=20×[1-(1.022)^-6]/0.022+1000/(1.022)^6≈20×5.5027+1000×0.8772≈110.05+877.2=987.25>980假设r/2=2.3%，现值=20×[1-(1.023)^-6]/0.023+1000/(1.023)^6≈20×5.4162+1000×0.8706≈108.32+870.6=978.92≈980插值法计算：r/2=2.3%(978.92-980)/(978.92-987.25)×(2.3%-2.2%)≈2.3%+1.08/8.33×0.1%≈2.313%年实际收益率=(1+0.02313)^2-1≈4.68%答案：约4.68%二、寿险精算部分（一）题目3：已知某生命表中，x岁的死亡率q_x=0.02，x+1岁的死亡率q_{x+1}=0.03，利息力δ=0.05。计算(x)投保的2年期定期寿险的趸缴纯保费（保额1000元，死亡年末赔付）。解析：定期寿险趸缴保费为保额×Σ[v^t×t-1|q_x]（t=1,2），其中v=e^-δ≈0.9512，1|q_x=p_x×q_{x+1}=(1-q_x)×q_{x+1}=0.98×0.03=0.0294。计算：第1年赔付现值：1000×v^1×q_x=1000×0.9512×0.02=19.024元第2年赔付现值：1000×v^2×1|q_x=1000×(0.9512)^2×0.0294≈1000×0.9048×0.0294≈26.50元总保费≈19.024+26.50≈45.52元答案：约45.52元（二）题目4：某完全离散型终身寿险保单，保额10万元，投保年龄30岁，预定死亡率遵循CL1（2010-2013）非养老金业务表，预定利率3.5%。已知30岁的终身寿险纯保费P=0.0125，第5年末的责任准备金V=1200元。若第6年实际死亡率为q_35^实=0.0015（表定q_35=0.0012），实际投资收益率为4%，计算第6年的死差益和利差益。解析：死差益=（预定死亡率-实际死亡率）×有效保额×年初责任准备金对应的风险保额；利差益=（实际利率-预定利率）×（年初责任准备金+当年纯保费）。风险保额=保额-年初责任准备金=100000-1200=98800元死差益=（q_35q_35^实）×风险保额=（0.0012-0.0015）×98800=-29.64元（负为死差损）年初责任准备金V5=1200元，当年纯保费P=100000×0.0125=1250元利差益=（实际收益率-预定利率）×（V5+P）=（4%-3.5%）×(1200+1250)=0.5%×2450=12.25元答案：死差损29.64元，利差益12.25元三、非寿险精算部分（一）题目5：某车险保单组合分为A、B两类，A类占比60%，B类占比40%。A类保单年平均赔款额为2000元，方差为1000000；B类保单年平均赔款额为3500元，方差为2500000。假设两类保单赔款额独立，计算该组合的信度保费（使用有限波动信度，要求信度因子k=0.05，α=0.95对应的Z值=1.96）。解析：有限波动信度中，信度因子n0=(Z/α)^2×(σ^2/μ^2)，其中μ为总体期望，σ^2为总体方差。首先计算组合的期望μ和方差σ^2。μ=0.6×2000+0.4×3500=1200+1400=2600元σ^2=0.6×(1000000+2000^2)+0.4×(2500000+3500^2)μ^2=0.6×(1000000+4000000)+0.4×(2500000+12250000)2600^2=0.6×5000000+0.4×147500006760000=3000000+5900000-6760000=2140000n0=(1.96/0.05)^2×(2140000/2600^2)=(39.2)^2×(2140000/6760000)≈1536.64×0.3166≈486.3信度保费=Z×(σ/√n0)+μ（当n≥n0时信度为1，否则为n/n0×样本均值+(1-n/n0)×μ），本题未给样本量，假设n≥n0，则信度保费=μ=2600元（若n<n0需调整，此处默认充分信度）答案：2600元（假设充分信度）（二）题目6：某财产险公司使用Bühlmann信度模型厘定费率，已知某风险类别的先验均值μ=800元，先验方差τ^2=150000，过程方差的期望v=200000。现有该类别下3个保单的观测赔款：1000元、900元、700元。计算信度保费。解析：Bühlmann信度因子Z=n/(n+k)，k=v/τ^2=200000/150000≈1.3333，n=3。样本均值x̄=(1000+900+700)/3=866.67元。信度保费=Z×x̄+(1-Z)×μ。Z=3/(3+1.3333)=3/4.3333≈0.6923信度保费=0.6923×866.67+(1-0.6923)×800≈600+246.16≈846.16元答案：约846.16元四、精算模型部分题目7：某保险公司承保的医疗费用保险，单个保单的赔款额X服从参数λ=0.001的指数分布（单位：元）。为控制风险，公司设置绝对免赔额d=500元，最高赔付限额L=10000元。计算单个保单的期望赔付额E[min(max(X-d,0),L)]。解析：指数分布的概率密度函数f(x)=λe^-λx（x≥0），分布函数F(x)=1-e^-λx。期望赔付额=∫(d到d+L)(x-d)f(x)dx+L×P(X≥d+L)计算：∫(d到d+L)(x-d)λe^-λxdx=∫(0到L)yλe^-λ(y+d)dy（令y=x-d）=λe^-λd∫(0到L)ye^-λydy=λe^-λd[(1/λ^2)(1e^-λL(1+λL))]（利用指数分布积分公式∫ye^-λydy=(1/λ^2)(1e^-λy(1+λy))）L×P(X≥d+L)=L×e^-λ(d+L)代入λ=0.001，d=500，L=10000：λd=0.5，λL=10，e^-0.5≈0.6065，e^-10≈4.53999×10^-5第一部分=0.001×0.6065×[1/0.001^2×(1e^-10×(1+10))]≈0.001×0.6065×[1000000×(14.54×10^-5×11)]≈0.001×0.6065×1000000×0.9995≈606.2元第二部分=10000×e^-0.001×10500=10000×e^-10.5≈10000×2.95×10^-5≈0.295元总期望赔付≈606.2+0.295≈606.495元答案：约606.50元五、综合应用题题目8：某保险公司2024年末有效寿险保单10万件，件均保额20万元，预定死亡率q=0.001，预定利率3%，附加费用率15%（按保费比例收取）。2025年实际死亡人数120人，实际投资收益率4%，费用率12%。假设所有保单为1年期定期寿险（死亡年末赔付），计算：（1）2025年预定保费收入；（2）死差益；（3）利差益；（4）费差益。解析：（1）预定保费收入=（保额×预定死亡率×v）/(1-附加费用率)×保单数，v=1/1.03≈0.9709。纯保费=200000×0.001×0.9709≈194.18元毛保费=194.18/(1-15%)≈228.45元保费收入=100000×228.45≈22,845,000元（2）死差益=（预定死亡人数-实际死亡人数）×（保额×v纯保费）预定死亡人数=100000×0.001=100人风险保额=200000×v纯保费=200000×0.9709194.18≈194180194.18≈193985.82元（此处更准确的计算应为：死差益=（qq实）×保额×v×保单数，因纯保费已包含q×保额×v）死差益=(0.001120/100000)×200000×0.9709×100000=(0.001-0.0012)×200000×0.9709×100000=(-0.0002)×19418000000≈-3,883,600元（死差损）（3）利差益=（实际利率-预定利率）×（年初责任准备金+保费收入×(1-费用