山东日照市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（试卷+解析）

2024级高二上学期期末考试数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，则的虚部是（）A B.2 C. D.2.已知向量且，则实数的值为（）A. B.0 C.4 D.83.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为（

）A. B. C.2 D.4.如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（）A.40 B.28 C.35 D.305.已知，则（）A. B. C. D.6.从平行六面体12条棱中随机选取两条，则选中的两条棱互相平行的概率为（）A. B. C. D.7.在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（）A B. C.1 D.8.若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，用一个不垂直于轴的平面截两个顶点相同、顶角相等、轴相同的圆锥面，则所得截口曲线（截面与圆锥面的交线）可能是（）A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆10.下列说法中，正确的是（）A.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程，若，，则B.线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C.已知随机变量，则D.已知随机变量，则11.如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（）A.存在点，使得B.直线与平面所成的最大角为C.若不共面，则四面体的体积的最大值为D.若，则点的轨迹的长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.展开式中，的系数是______．13.已知二面角的大小为，棱上有两点，线段和分别在面和内，且，．若，，则的长为___________．14.如图，双曲线的左右焦点分别为，过的直线与该双曲线的两支分别交于两点（在线段上），与分别为与的内切圆，其半径分别为，则的取值范围是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知动点到点的距离比它到直线的距离小1．（1）求动点的轨迹方程；（2）过点的直线与点的轨迹相交于两点，且的面积为4，求直线的方程．16.如图，在四棱锥中，平面，，，，点是棱上的一点，．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．17.球面三角学是研究球面三角形边角关系的一门学科．如图1，已知球的半径为点为球面上的三点，曲面（阴影部分）叫做球面三角形．若二面角，的大小分别为，则球面三角形的面积为．（1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；（2）从图1中截切得到四面体，其中，延长交球面于点，连接，所得空间几何体如图2所示．（i）证明：；（ii）若球的半径为，点分别是的中点，直线，与平面所成角分别为，求平面与平面所成角的余弦值．18.在阅读课上，有位同学围坐在有个桌位的圆桌前，每个桌位和桌中央各有一种不同的书（每种书足够多），每人每节课只能选一种书．（1）当时，若3人都不选桌中央的书，求每人都不选自己面前的书的概率；（2）规定每人只能从自己面前或桌中央随机选取一种书，将第个桌位上的这种书编号记为．用表示“编号为的书未被选”，表示“编号为的书被选”（i）求的分布列；（ii）第一节阅读课编号为的书被选择的情况取值为，第二节阅读课编号为的书被选择的情况取值为，记，求的分布列与数学期望．19.在中，，，的平分线交AB于点D，.平面α过直线AB，且与所在的平面垂直.（1）求直线CD与平面所成角的大小；（2）设点，且，记E的轨迹为曲线Γ.（i）判断Γ什么曲线，并说明理由；（ii）不与直线AB重合的直线l过点D且交Γ于P，Q两点，试问：在平面α内是否存在定点T，使得无论l绕点D如何转动，总有？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由.2024级高二上学期期末考试数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，则的虚部是（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据已知化简得出，再根据虚部定义得出虚部.【详解】由，化简得,得，故的虚部是.故选：A.2.已知向量且，则实数的值为（）A. B.0 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】由即可求解.【详解】因为向量且，所以，即，解得.故选:B.3.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为（

）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先通过双曲线的渐近线方程及已知直线求出斜率，再根据垂直关系进而得出与b的关系，最后利用离心率公式及计算离心率即可.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，因为直线，整理得，其斜率为，因为两直线垂直，所以，即，又因为，代入，得，所以,故离心率.故选：A.4.如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（）A.40 B.28 C.35 D.30【答案】C【解析】【分析】由椭圆的对称性结合椭圆定义即可分析求解.【详解】由题可得，为椭圆上顶点，则根据椭圆的对称性知，，，，∴.故选：C5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由全概率公式计算即可．【详解】．故选：D．6.从平行六面体的12条棱中随机选取两条，则选中的两条棱互相平行的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定出平行六面体中的平行直线，再应用古典概型及组合数计算求解．【详解】因为，，，所以这2条棱互相平行概率为．故选：C．7.在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】由线线平行得到线面平行，直线到平面的距离等于点到平面的距离，建立空间直角坐标系，得到平面法向量，得到点到平面的距离.【详解】因为，平面，平面，所以平面，因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，设点到平面的距离为，则，故直线到平面的距离为.故选：D8.若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】将题干条件，结合几何知识转化为圆心到直线的距离需满足，解该不等式即可求解．【详解】当直线与圆相交时，如图所示，若A、B离直线越近时，直至与直线和圆C的两交点重合，此时，若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合，此时，所以一定存在A、B及P，使得；当直线与圆相切时，同直线与圆相交分析可知，一定存在A、B及P，使得；当直线与圆没有公共点时，对直线上的任一点P，若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合时，仍有，另一方面，若PB与圆C相切于B，PA与圆C相切于A，此时必为该P点所能达到的最大情况，如图所示，由图可知，，CP最短时，即等于圆心C到直线的距离d，最大，也最大，同时最大，所以若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则必有，解得，又因为圆的半径，圆心到直线距离，所以，解得．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，用一个不垂直于轴的平面截两个顶点相同、顶角相等、轴相同的圆锥面，则所得截口曲线（截面与圆锥面的交线）可能是（）A椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆【答案】ABC【解析】【分析】利用圆锥曲线的意义判断即可.【详解】对于A，当截面与轴不垂直，且截面不与母线平行，且只与一个圆锥相交时，截面为椭圆，故A正确；对于B，当截面与轴平行，截面是双曲线，故B正确；对于C，当截面平行于圆锥的母线时，截面是抛物线，故C正确；对于D，截面与轴不垂直，故截面不可能为圆，故D错误.故选：ABC.10.下列说法中，正确的是（）A.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，则B.线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C.已知随机变量，则D.已知随机变量，则【答案】AC【解析】【分析】利用回归直线方程过样本中心点，可以求得回归常数的估计值，从而判定A正确；根据相关系数的意义可以判定B错误；由二项分布可得，再由期望的线性运算求解即可判断C；利用正态分布的对称性可以求得的值，进而判定D错误．【详解】对于A，已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，，则，故A正确；对于B，线性相关系数的范围在到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故B错误；对于C，，，，故C正确；对于D，已知随机变量服从正态分布，，则，所以，所以,所以，故D错误．故选：AC．11.如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（）A.存在点，使得B.直线与平面所成的最大角为C.若不共面，则四面体的体积的最大值为D.若，则点的轨迹的长为【答案】ACD【解析】【分析】对于A：当点为中点时，利用向量证明即可；对于B：当点位于点时，此时线面角为，大于；对于C：当点位于点（或棱上）时，体积最大，为；对于D：先判断出点的轨迹为四段圆弧，然后求出长度即可.【详解】对于选项A：当点为中点时，，所以，故A正确；对于选项B：当点位于点时，为直线与平面所成角，故B错误；对于选项C：当点位于点（或棱上）时，点到平面的距离最远，此时四面体的体积最大，以点为例，此时，故C正确；对于选项D：若，如图，在棱上取点，使，在棱上取点使，在棱上取中点，则，则点的轨迹由圆弧构成，且其所在圆的半径依次为，，圆心角依次为，圆弧的长分别为，故点的轨迹的长为，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.展开式中，的系数是______．【答案】【解析】【分析】由二项式展开式得，令，解得，再将代入计算即可．【详解】的展开式，当时，解得，则，所以展开式中，的系数是．故答案为：．13.已知二面角的大小为，棱上有两点，线段和分别在面和内，且，．若，，则的长为___________．【答案】【解析】【分析】由图得，再根据向量数量积的运算律和定义代入数据即可得到答案.【详解】因为，二面角的大小为，所以，．因为，由题意得，所以．所以，所以.故答案为：.14.如图，双曲线的左右焦点分别为，过的直线与该双曲线的两支分别交于两点（在线段上），与分别为与的内切圆，其半径分别为，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】设，则可表示出，进而可得，可求得，进而求得的范围即可求得答案．【详解】由题意得双曲线的焦距，实轴长，设，，，，则，在△与△中：，即：，，假设直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为，则，则，在△中：，则可得；假设直线l的斜率为0，此时，由此结合题意可得，则，．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知动点到点的距离比它到直线的距离小1．（1）求动点的轨迹方程；（2）过点的直线与点的轨迹相交于两点，且的面积为4，求直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义即可得到动点的轨迹方程；（2）设直线的方程为，，联立得到，进而得到及点到直线的距离，再根据建立方程求解即可．【小问1详解】已知动点到点的距离比它到直线的距离小1，则动点到点的距离等于它到直线的距离，即动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以动点的轨迹方程为；【小问2详解】设直线的方程为，，，，，，点到直线的距离，，解得，当时，直线的方程为，即，当时，直线的方程为，即，因此，直线的方程为或．16.如图，在四棱锥中，平面，，，，点是棱上的一点，．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，取中点F，连接，根据线面垂直的性质和判定定理推出平面，再根据面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）先确定，再以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式可求出结果．【小问1详解】连接，取中点F，连接，如图所示．

因为，，所以，，所以四边形为平行四边形．所以，则，所以，即．因为平面，平面，所以，，，平面，所以平面，又平面，所以．又，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．【小问2详解】因为平面，平面，所以，又因为，，所以，则，，，，则，即，以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

所以，，，，，所以，，因为，所以，又，所以，又，设平面的一个法向量，所以，得，令，得，所以平面的一个法向量．设与平面的夹角为，所以．即与平面的夹角的正弦值为．17.球面三角学是研究球面三角形边角关系的一门学科．如图1，已知球的半径为点为球面上的三点，曲面（阴影部分）叫做球面三角形．若二面角，的大小分别为，则球面三角形的面积为．（1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；（2）从图1中截切得到四面体，其中，延长交球面于点，连接，所得空间几何体如图2所示．（i）证明：；（ii）若球的半径为，点分别是的中点，直线，与平面所成角分别为，求平面与平面所成角的余弦值．【答案】（1）（2）（i）见解析（ii）【解析】【分析】（1）根据垂直可得，即可代入公式求解.（2）（ⅰ）根据球的性质可得线线垂直，可证明平面，然后利用线面垂直的性质定理证明即可；（ⅱ）先利用线面垂直的判定定理得平面，建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，利用面面夹角的向量法求解即可．【小问1详解】因为平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，所以，所以球面三角形面积为．【小问2详解】（ⅰ）证明：由是球直径，得，且，平面，则平面，又平面，则；（ⅱ）由（ⅰ）知，，而，平面，于是平面，由直线与平面所成的角分别为，得，球的半径，得，以C为坐标原点，直线分别为x，y轴，过点C作平行线为z轴，建立空间直角坐标系，

则，，则，设平面法向量，则，取，得，设平面法向量，则，取，得，设平面与平面所成角为，因此所以平面与平面所成角的余弦值为．18.在阅读课上，有位同学围坐在有个桌位的圆桌前，每个桌位和桌中央各有一种不同的书（每种书足够多），每人每节课只能选一种书．（1）当时，若3人都不选桌中央的书，求每人都不选自己面前的书的概率；（2）规定每人只能从自己面前或桌中央随机选取一种书，将第个桌位上的这种书编号记为．用表示“编号为的书未被选”，表示“编号为的书被选”（i）求的分布列；（ii）第一节阅读课编号为的书被选择的情况取值为，第二节阅读课编号为的书被选择的情况取值为，记，求的分布列与数学期望．【答案】（1）（2）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据古典概率计算公式计算即可；（2）（ⅰ）根据两点分布分布列计算即可；（ⅱ）列出随机变量X的可能取值，计算对应概率，可得分布列与数学期望，即，再计算，方法1：设，求导赋值计算即可；方法二：利用计算即可.【小问1详解】当时，样本空间包含个样本点，记“每人都不选自己面前的书”为事件A，则事件A包含个样本点，所以；【小问2详解】（ⅰ），，则的分布列为01P（ⅱ）随机变量X的可能取值有0，1，2，3，，n，对于的随机变量，在数组与中有k个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系，此时所对应情况数为种．

数组的结果共个，所以．所以随机变量X的分布列为：X0123nP所以随机变量X的数学期望为．

下面计算：方法1：设，两边求导得，，两边乘以x后得，，令，得，所以．所以．

方法2：先证，得，所以．19.在中，，，的平分线交AB于点D，.平面α过直线AB，且与所在的平面垂直.（1）求直线CD与平面所成角的大小；（2）设点，且，记E的轨迹为曲线Γ.（i）判断Γ是什么曲线，并说明理由；（ii）不与直线AB重合的直线l过点D且交Γ于P，Q两点，试问：在平面α内是否存在定点T，使得无论l绕点D如何转动，总有