六年级数学下册：百分数应用问题的模型建构与解决

六年级数学下册：百分数应用问题的模型建构与解决一、教学内容分析

本课教学内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域中的“数量关系”主题。在知识技能图谱上，它是在学生已经掌握了百分数的意义、互化以及简单应用（如求一个数的百分之几是多少）基础上的深化与综合。其认知要求从“理解”跃升至“应用”与“创造”，核心在于引导学生从解决单一、标准的百分数问题，转向应对复杂、多变的真实情境问题，是连接分数、比、比例等知识的枢纽节点，更是小初衔接中培养学生代数思维和模型意识的关键一环。从过程方法路径审视，本课的核心学科思想方法是数学建模——引导学生经历“从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果意义”的全过程。这要求课堂活动设计必须超越传统的例题讲解与模仿练习，转而设计具有探究性的任务链。在素养价值渗透层面，通过解决典型的百分数应用问题（如浓度、利润、增长率等），不仅训练学生的数学运算和逻辑推理能力，更深层次地指向应用意识与模型观念的培养，让学生体会到数学是对现实世界的一种抽象、简洁而有力的刻画工具，从而增强学习数学的内在动力和社会责任感。

基于“以学定教”原则，进行立体化学情研判。学生的已有基础是能熟练进行百分数计算，并解决“部分量÷单位‘1’=百分率”这类基础问题。然而，潜在的认知障碍主要体现在两方面：一是面对综合性问题时，难以从复杂语言描述中准确识别并确立隐藏的“单位‘1’”；二是思维定势，习惯于套用固定题型解法，缺乏主动构建数量关系模型的意识和能力。例如，在涉及“成本、定价、折扣、利润”等多重概念交织的问题中，学生容易概念混淆，关系不清。为动态把握学情，教学过程将嵌入多层次的形成性评价：在导入环节通过生活化提问进行“前测”，快速摸底；在新授的每个任务中，通过巡视观察小组讨论、聆听学生汇报、分析板演过程，实时诊断学生的思维节点。基于此，教学调适策略将体现明显的差异化：为理解滞后的学生提供“关系梳理模板”、“关键句圈画指南”等可视化工具作为脚手架；为思维较快的学生则准备“一题多解挑战”、“模型变式推广”等拓展任务，确保所有学生都能在“最近发展区”内获得有效发展。二、教学目标

知识目标：学生能够系统梳理并深度理解浓度、利润、增长率等典型百分数问题的核心数量关系（如溶质=溶液×浓度，利润=售价成本，售价=成本×（1+利润率）等），并能在复杂语境中准确辨析这些概念。他们不仅能解释每个公式的由来，更能理解其本质是“分量=总量×对应分率”这一基本模型的特定表现形式，从而构建起层次化的知识网络。

能力目标：学生能够从现实情境的文字描述中，通过提取关键信息、辨析概念、寻找等量关系，独立完成数学建模的过程——即用代数式或方程清晰表达数量关系。他们将发展出将杂乱信息有序化、将具体问题抽象化的能力，并能够选择恰当的策略（算术法或方程法）进行求解和检验，最终用数学结论合理解释原始实际问题。

情感态度与价值观目标：在解决与生活紧密相关的商业、消费、配置等问题过程中，学生能体会到数学的工具性与实用性，激发探究兴趣。在小组合作建模与讨论中，能主动倾听同伴思路，尊重不同解法，并在面对复杂问题时表现出乐于接受挑战、严谨求实的科学态度。

科学（学科）思维目标：本课重点发展学生的模型建构思维与抽象概括思维。具体表现为，引导学生经历从多个具体百分数问题实例中，剥离具体背景（如“盐水”、“商品”），抽取出共通的数学结构（分量、总量、分率关系），并最终用统一的数学模型进行表达和解决。课堂上将通过“比较归纳抽象”的问题链来驱动这一思维过程。

评价与元认知目标：学生能够依据清晰的数量关系图式来评价自己或同伴解题过程的合理性。在课堂小结阶段，能够反思自己在“识别单位‘1’”、“建立等量关系”等关键步骤上的策略有效性，并初步形成“先建模，再求解”的解题元认知，懂得在面对新问题时优先分析结构而非记忆题型。三、教学重点与难点

教学重点：建构并灵活运用典型百分数应用问题（浓度、利润、增长率）的通用数学模型。确立依据在于，课标在第三学段明确强调“能在真实情境中理解……常见数量关系，并能解决简单的问题”，此重点正是对“常见数量关系”的深度理解与高阶应用。从小升初及后续学习看，这类模型是解决更复杂比例问题、函数问题的基础，是体现数学建模这一核心素养的关键载体，也是学业评价中考查学生分析能力和应用意识的高频考点。

教学难点：在综合情境中准确识别隐藏的“单位‘1’”，并厘清多个百分数之间的层次关系与运算逻辑。难点成因在于，学生思维需要从静态、单一的关系理解，跨越到动态、多重关系的分析与整合。例如，商品先提价再打折，两次变化的“单位‘1’”不同；盐水加盐后，溶质和溶液同时变化等。这些情境对学生的抽象思维和逻辑推理提出了较高要求。突破方向在于，强化用线段图、关系式等工具进行可视化分析，并通过对比辨析，深刻理解“单位‘1’的转化”。四、教学准备清单1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（内含问题情境动画、动态线段图演示工具）、实物投影仪。

1.2学习材料：分层学习任务单（含基础梳理、探究任务、变式练习）、小组讨论记录卡、不同颜色的磁性贴（用于板书构建模型）。2.学生准备

2.1知识回顾：复习百分数的意义、分数与百分数互化及“求一个数的百分之几”的计算。

2.2学具：草稿本、直尺、彩笔。3.环境布置

课桌椅按46人小组围坐形式布置，便于合作探究。黑板划分出“情境区”、“模型建构区”和“成果展示区”。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与认知冲突：1.2.课件出示两个生活化问题：“①一杯200克含糖10%的糖水，加入50克糖，糖水浓度变为多少？②一件商品成本100元，先提价30%再打八折出售，最终是赚还是亏？”2.3.教师语言引导：“同学们，这两个问题是不是很眼熟？它们都和什么有关？（百分数）光知道‘百分之几’够用吗？面对这样绕了几个弯的问题，你感觉最棘手的地方在哪里？”（学生可能回答：关系太乱，不知道以谁为标准算…）4.核心问题提出与路径明晰：1.5.教师总结：“看来，我们需要一件‘武器’，来帮我们理清这些复杂关系。这节课，我们就化身‘数学建模师’，专门攻克这类难题。我们的核心任务就是：为复杂的百分数问题，找到一个清晰、通用的‘解决模型’。”2.6.“我们将通过三道经典关卡——‘浓度之谜’、‘利润之局’、‘增长之变’，一步步拆解、归纳，最后锻造出我们的模型武器。准备好了吗？让我们从第一关开始。”第二、新授环节任务一：解构“浓度之谜”——从具体到抽象的初步建模教师活动：首先聚焦导入问题①，引导学生用已有知识尝试解决。教师巡视，选取典型解法（算术法、方程法）通过实物投影展示。接着，抛出关键引导性问题：“无论用哪种方法，最核心的一步是什么？”（找出加糖前后，什么变了，什么没变）。然后，引导学生用线段图直观表示加糖前后的溶质、溶液关系。教师利用动态课件演示：糖水（溶液）总量增加，糖（溶质）增加，但水的质量不变。最后，引导学生用字母表示关键量：设原糖水浓度为c%，加糖后浓度为x%，你能用一个等式表示它们的关系吗？引导学生得出：原溶质+加入糖=新溶质，即200×c%+50=(200+50)×x%。并强调，这就是本问题的“模型”。学生活动：独立思考并尝试解题，可能列出算式（200×10%+50）÷（200+50）。在教师引导下，参与讨论核心步骤，尝试绘制线段图。观看课件演示，理解“变”与“不变”。在教师搭建的脚手架下，尝试用字母概括数量关系，并理解方程两边均表示“糖（溶质）的总质量”。即时评价标准：1.能否正确找出问题中的溶质、溶液和浓度。2.画线段图时，能否清晰区分并标注出变化的部分与不变的部分。3.在用字母表示关系时，逻辑是否清晰，等式两边的量是否意义相同。形成知识、思维、方法清单：

★核心概念三要素：浓度问题围绕溶质、溶剂、溶液（=溶质+溶剂）和浓度（=溶质/溶液×100%）展开。抓住一个关键：溶质=溶液×浓度。

▲思维可视化工具：线段图是梳理浓度变化问题的利器。通常用一条线段表示溶液总量，将其分段表示溶质和溶剂，变化时需明确哪部分增长。

★基础模型：浓度变化（如加溶质、加水、混合）问题的通用等式源于溶质总量守恒或溶剂总量守恒。先确定守恒量，再建立等式。

▲方法提示：“同学们，别被‘糖水’、‘盐水’迷惑，把它们统统看作‘一种物质溶解在另一种物质里’，我们的任务就是盯紧溶质和溶液的变化。”任务二：剖析“利润之局”——多重关系中的“单位1”转化教师活动：转向导入问题②。不急于让学生计算，而是先开展“概念辨析会”：“成本、定价（标价）、售价、利润、利润率，这几个‘商业术语’，你能说清它们之间的关系吗？”请学生用自己的话解释。教师板书关键公式：利润=售价成本，利润率=（利润/成本）×100%，售价=成本×（1+利润率）。然后，聚焦“先提价30%再打八折”：“这两次变化，分别是以谁为‘单位1’的？”引导学生明确：提价以成本（或原价）为基准，打折以提价后的价格为基准。教师用两段式线段图或连续乘法的算式（100×(1+30%)×80%）来演示这个过程。挑战学生：“如果直接问最终利润率，你能跳过求售价，直接列出算式吗？”引出模型：最终利润率=[(1+提价率)×折扣率1]×100%。学生活动：参与概念辨析，回忆并复述利润相关公式。跟随教师分析，明确两次百分数运算的基准不同。通过观察线段图和算式，理解“连续变化”的处理方法。接受挑战，尝试推导最终利润率的直接计算公式，并与分步计算的结果进行验证。即时评价标准：1.能否准确区分成本、售价、利润等概念并正确关联。2.分析多步百分数变化时，能否清晰地指出每一步的“单位1”。3.在推导直接公式时，是否体现了代数思维的简洁性。形成知识、思维、方法清单：

★商业问题概念网：成本是出发点，利润是售价与成本的差，利润率是相对于成本的百分比。折扣是售价相对于标价的百分比。务必分清基准。

★“单位1”的动态转化：这是利润问题的难点与核心。当出现连续百分数变化时（如先涨后降），每一个百分数都对应一个当下的基准量。要像剥洋葱一样，一层层理清。

▲连续变化模型：最终价格=原价×(1±变化率₁)×(1±变化率₂)×…。用乘法表示连续的百分比变化。

★易错警示：“同学们记住，利润率的分母永远是成本！打折的分母是标价（定价）。可千万别把‘爸爸’和‘爷爷’搞混了。”任务三：归纳“增长之变”——模型通用性的抽象与概括教师活动：呈现第三个问题：“③某村去年粮食产量为500吨，今年比去年增产20%，明年计划比今年再增产10%，预计明年产量多少吨？”提问：“这个问题，和我们前面解决的浓度、利润问题，在数学结构上有什么共同点？”组织小组讨论2分钟。引导各组分享发现，教师提炼关键词：“都有一个‘基础量’（溶液原量、成本、去年产量）”、“都涉及‘变化率’（浓度变化率、利润率、增长率）”、“核心都是求变化后的‘新量’”。教师板书核心结构：新量=基础量×(1±变化率)。进一步追问：“如果变化不止一次呢？”引导学生将模型扩展为：最终量=初始量×(1±率₁)×(1±率₂)…。总结：“看，这就是我们锻造出的‘通用武器’！”学生活动：小组合作，对比分析三个问题的条件和数量关系，寻找共同模式。参与全班分享，说出自己的发现。在教师引导下，一起概括出最简数学模型。理解模型从单次变化到多次变化的扩展逻辑。即时评价标准：1.小组讨论时，是否能从具体情境中抽离，关注纯粹的数学关系。2.归纳概括的结论是否准确、简洁，抓住了本质。3.能否理解模型扩展的逻辑，并举出新的例子。形成知识、思维、方法清单：

★百分数应用核心模型：分量=总量×对应分率。在变化问题中，表现为新量=原量×(1±变化率)。这是统领各类问题的“上位概念”。

★数学建模思维路径：解决复杂百分数问题的步骤：1.识别：找出问题中的“总量”（单位“1”）和“变化率”。2.表征：用线段图或关系式清晰地表达变化过程。3.建模：根据等量关系（和不变、差不变、部分量之和等）列出算式或方程。4.求解与检验。

▲跨情境应用：该模型不仅用于浓度、利润、增长，还可用于人口、利息、折扣组合等任何涉及“按比例增减”的情境。核心是“以谁为标准，变化了多少百分比”。

“大家看，一旦抓住这个‘骨架’，无论题目给这骨架披上‘商业’、‘农业’还是‘化学’的外衣，我们都能一眼看穿它的本质。”第三、当堂巩固训练

本环节设计分层、变式训练，并提供即时反馈。1.基础层（全体必做，应用模型）：1.2.一种商品现价240元，比原价降低了20%，原价是多少元？（关键：找准单位“1”是原价，现价=原价×(120%)）。2.3.将20克盐放入80克水中，盐水的浓度是多少？如果再加入20克水，浓度变为多少？（巩固浓度公式及变化）。1.4.反馈机制：学生独立完成，同桌互换批改。教师巡视，收集典型错误，如基础层第1题列式240÷20%。投影错误案例，请学生诊断：“他哪里‘迷路’了？”（误将现价当作单位“1”）。5.综合层（多数学生挑战，综合运用）：3.一本书，第一天读了全书的25%，第二天读了余下的40%，这时还剩54页未读。这本书共有多少页？（难点：“余下的”意味着单位“1”发生转换。可用方程：设全书x页，x0.25x0.4(x0.25x)=54）。1.6.反馈机制：请不同解法的学生上台板书（方程法、倒推法）。教师引导对比：“哪种方法在思维上更直接？你更喜欢哪种？”7.挑战层（学有余力选做，开放探究）：4.有两杯浓度不同的糖水，混合后是否可能得到任意指定浓度的糖水？为什么？请用数学关系说明。（涉及浓度范围与加权平均思想，为后续学习埋下伏笔）。1.8.反馈机制：作为课后思考点，鼓励学生在学习小组内或与老师课后探讨，下节课简要分享思路。第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结与元认知反思。1.知识整合：“请用思维导图或关键词云的方式，在笔记本上梳理本节课的核心内容。”教师展示范例结构：中心为“百分数应用模型”，主干延伸出“典型问题”（浓度、利润、增长）、“核心模型”（新量=原量×(1±变化率)）、“关键步骤”（识别、表征、建模、求解）、“易错点睛”（单位“1”转化）。2.方法提炼：“回顾今天闯关的过程，你认为解决这类‘弯弯绕’问题的最高效思维方法是什么？”引导学生共识：“化繁为简，抓住不变，建立模型”。3.作业布置与延伸：1.4.必做作业（基础+综合）：完成学习任务单上对应的梯度练习题。2.5.选做作业（探究创造）：（二选一）①寻找生活中一个涉及多次百分数变化的真实案例（如商品促销广告、银行理财产品说明），用今天所学模型进行分析计算，并判断其宣传是否合理。②自编一道包含至少两次百分数变化的应用题，并给出详细解答过程。3.6.“下节课，我们将带着大家的自编题和探究案例，举办一场‘百分数模型应用交流会’，期待你们的精彩发现！”六、作业设计基础性作业：1.巩固概念：写出利润、利润率、浓度、增长率的计算公式。2.直接应用：解决关于单一百分数变化的基础应用题3道（涉及找单位“1”、求新量或原量）。拓展性作业：3.情境应用：分析一个简单的商品两次调价（一升一降）后，最终盈亏情况的实际问题。4.模型迁移：解决一个类似“读书问题”的、涉及单位“1”转换一次的实际问题。探究性/创造性作业：5.（选做）实践探究：完成课堂小结中布置的“寻找生活案例并分析”任务，形成简短的分析报告（200字左右）。6.（选做）创意编题：完成课堂小结中布置的“自编应用题”任务，要求情节合理，数据自拟，难度适中，并附上答案。七、本节知识清单及拓展

★1.百分数的核心意义：表示一个数是另一个数的百分之几，本质是比率。它是将比较标准（单位“1”）平均分成100份后，被比较量所占的份数。

★2.浓度问题三要素：溶质、溶剂、溶液。核心关系：浓度=(溶质/溶液)×100%。解题常基于溶质守恒或溶剂守恒。

▲3.利润问题概念链：成本→(加利润)→定价（标价）→(乘折扣)→售价。利润=售价成本；利润率=(利润/成本)×100%（注意分母！）。

★4.增长率/减少率：表示增加或减少的部分占原基数的百分比。增长后量=原量×(1+增长率)；减少后量=原量×(1减少率)。

★5.“单位1”（标准量）：在百分数问题中，那个作为比较标准的量，即“占”、“比”、“是”后面的量，通常是解题的出发点与关键。“老师常说‘单位1’是‘老大’，所有变化都得先看看‘老大’是谁。”

★6.通用变化模型：新量=原量×(1±百分率)。这是解决单次百分数增减问题的根本公式。

▲7.连续变化模型：最终量=初始量×(1±率₁)×(1±率₂)×…。适用于多次连续百分数变化，每次变化的基准都是前一次变化后的结果。

★8.方程法的优越性：当单位“1”未知或关系复杂时，设单位“1”为x，根据等量关系列方程，常能化逆为顺，降低思维难度。

▲9.线段图的价值：将抽象的数量关系与百分比转化为直观的图形，特别适用于展示部分与整体、变化前后的对比，帮助识别不变量。

★10.解题核心步骤（建模四步法）：一识别（概念与单位“1”），二表征（画图或列表），三建模（找等量列式），四求解检验。

▲11.易错点警示——基准混淆：如将利润率与售价利润率混淆，或将第二次变化的基准误认为是初始量。务必逐句分析，明确每个百分数的参照对象。

▲12.拓展：百分数与分数、比的联系：百分数、分数、比可以相互转化，它们从不同角度表示份数关系。复杂问题中，转化为分数或比有时可简化计算。八、教学反思

（假设教学实况复盘）本节课基本达成了预设的教学目标。在目标达成度上，通过后测练习反馈，约85%的学生能独立解决单次变化及简单的两次变化问题，表明对核心模型新量=原量×(1±变化率)掌握较好。在“归纳通用模型”任务的小组分享中，学生能主动使用“基础量”、“变化率”等术语，表明模型观念初步形成，这是素养目标达成的可喜证据。

各教学环节有效性评估显示，导入环节的生活化“谜题”成功制造了认知冲突，激发了探究欲。新授的三个任务环环相扣，从具体到抽象的设计符合认知规律。特别是任务二中对“单位1”转化的层层剖析，以及任务三的对比归纳，是本节课思维攀升的关键阶梯。然而，在“当堂巩固”环节，综合层问题对中等偏下学生而言仍有较大挑战，尽管提供了方程支架，但部分学生独立完成建模（设未知数、找等量关系）依然吃力。这提示，在差异化的“脚手架”供给上，可以更精细化，例如为这部分学生提供带