六年级数学（小升初衔接）：追及问题的模型建构与应用

六年级数学（小升初衔接）：追及问题的模型建构与应用一、教学内容分析

追及问题作为行程问题的重要分支，在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中归属于“数量关系”领域，是发展学生模型意识、应用意识和推理能力的绝佳载体。从知识图谱看，它建立在学生已熟练掌握“速度、时间、路程”三者基本关系（三下）和一般相遇问题（六上）的基础之上，是对速度概念进行综合、动态与相对性运用的深化，也是后续学习复杂工程问题、环形跑道问题乃至中学物理运动学的重要认知阶梯。其核心技能在于从复杂的生活情境中抽象出“同时不同地、同向而行、慢前快后、最终追上”的数学模型，并运用“速度差×追及时间=初始路程差”这一关键数量关系解决问题。过程方法上，本课旨在引导学生经历“情境识别—抽象建模—逻辑推演—解释应用”的完整数学建模过程，将具体的“追人”场景转化为抽象的线段图与等式，体验数学的简洁与力量。素养渗透层面，通过解决追及问题，不仅锤炼学生的逻辑推理与符号意识，更培养其在面对复杂现实问题时，能冷静分析、化繁为简、寻找规律的科学思维品质，理解数学是描述世界的一种通用语言。

基于“以学定教”原则，本课的学情研判如下：学生已具备速度、时间、路程的计算能力和画简单线段图的基础，对“运动”有丰富的生活经验（如赛跑、追赶公交车）。然而，从静态的“单一物体运动”过渡到动态的“两物体相对运动”，尤其是理解“速度差”代表“追赶效率”以及“初始路程差”是“需要弥补的差距”这一相对性概念，是普遍的认知难点。常见的思维障碍包括：混淆“追及”与“相遇”的条件；列方程时无法准确建立“路程相等”的等量关系；对“不同时出发”等变式问题感到棘手。因此，教学需设计循序渐进的探究任务，通过直观演示（如动画、线段图动态生成）、对比辨析和小组协作，将抽象关系可视化。课堂上，我将通过核心设问、观察学生作图与列式过程、组织小组互评等方式进行动态评估，及时捕捉理解偏差。对于基础薄弱的学生，提供“分析步骤提示卡”和标准线段图模板；对于学有余力的学生，则引导其自主探索变式问题并总结模型通法，实现差异化支持。二、教学目标

知识目标：学生能准确识别追及问题的基本特征（同时、同向、慢前快后），理解并自主推导出“速度差×追及时间=路程差”这一核心数量关系。能运用该关系式或方程思想，解决标准的“同时不同地”追及问题，并清晰表达解题思路。

能力目标：学生能通过绘制线段图，将文字描述的实际问题直观化、模型化，提升数形结合与信息转化的能力。在分析复杂变式问题时，能展现出有条理的逻辑推理能力和对数学模型的灵活应用能力。

情感态度与价值观目标：在小组合作探究中，学生能积极参与讨论，敢于提出不同思路，并认真倾听同伴见解，体验团队协作攻克难关的乐趣。通过解决与生活紧密相关的追及问题，增强数学应用意识，感受数学的实用价值。

科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型建构思维与推理能力。通过系列任务，引导学生经历从具体情境中抽象数学本质（建模）、依据数量关系进行逻辑推演（推理）、并将结论回归情境检验（应用）的完整思维过程。

评价与元认知目标：引导学生建立解题后的反思习惯，能够依据“审题画图找关系列式解答检验”的步骤清单，评估自己解题过程的完整性与合理性。鼓励学生对比不同解法，反思哪一种思维方式对自己更有效。三、教学重点与难点

教学重点：追及问题基本模型的建构与核心数量关系“速度差×追及时间=初始路程差”的理解与应用。确立依据在于，该关系式是解决所有追及问题的理论基石，深刻体现了“化动态追赶为静态差值比较”的数学模型思想。无论是小升初学业测评还是中学数学学习，掌握这一模型都是分析和解决更复杂运动问题的关键能力起点。

教学难点：学生对“速度差”表征“单位时间内追及的路程”这一相对速度概念的理解，以及对“不同时出发”等变式情境中“路程差”的准确分析与确定。难点成因在于学生的思维正从具体运算向形式运算过渡，对抽象的相对运动概念理解存在跨度。常见错误表现为直接用快者速度去乘时间，或混淆追及时间与总时间。突破方向在于强化线段图的动态生成演示，让学生在直观图像中“看见”速度差造成的距离缩短过程，并通过对比练习深化理解。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（内含追及动画演示、例题与变式题）、交互式白板或黑板、不同颜色磁贴（代表运动物体）。1.2学习材料：分层学习任务单（含基础、巩固、挑战三级练习题）、小组合作探究卡、标准线段图绘制模板（供部分学生使用）。2.学生准备2.1知识准备：复习速度、时间、路程的关系式，准备直尺、铅笔。2.2座位安排：四人小组围坐，便于合作讨论。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与冲突激发：同学们，大家在校运会接力赛中有没有遇到过类似“追人”的情况？假如在一条笔直的跑道上，小红和小明同时从不同起点出发，小红在前面，速度慢一些；小明在后面，速度快一些。猜猜看，会发生什么？（学生：小明会追上小红！）没错，这就是我们今天要研究的经典问题——追及问题。2.核心问题提出与路径勾勒：那么，一个核心问题来了：“小明到底需要多久才能追上小红？”这取决于哪些因素？这节课，我们就化身“数学侦探”，一起揭开追及问题的奥秘。我们的探索路线是：先从具体例子入手，画出“追击路线图”，发现规律；然后总结出通用的“破案公式”；最后，用这个公式去解决更复杂的追击谜题。第二、新授环节任务一：唤醒旧知，初识“追及”教师活动：呈现基础情境：“小明和小红在一条直路上，小明在A点，小红在B点前方100米，两人同时同向出发。小明速度是6米/秒，小红速度是4米/秒。”首先提问：“这里涉及哪些基本的数学量？”（速度、时间、路程）。“两人运动的方向和起点有什么特点？”引导学生明确“同时、同向、不同地”。接着，用两个不同颜色磁贴在黑板上模拟初始位置，让学生直观感受“路程差”。提问：“猜一猜，追上的过程，他们各自的路程有什么关系？”学生活动：回忆速度公式。观察教师演示，口述运动特点：同时、同向、小红在前。思考并讨论：追上时，是否小明比小红多跑了一段路？尝试用自己的话描述对“追及”的理解。即时评价标准：1.能否准确复述题目中的速度、路程信息。2.能否用“同时”、“同向”、“起点不同”等术语描述运动特征。3.对“追上时路程关系”的猜想是否有合理的依据。形成知识、思维、方法清单：★追及问题三要素识别：识别“同时出发”、“同向而行”、“起点不同（一前一后）”是判断是否为标准追及问题的关键第一步。可以教学生用笔尖在题目上圈出这些关键词。★初始路程差：追及开始时，快者（后）与慢者（前）之间的初始距离，是解决问题的关键数据之一。它就像两人起跑时的“差距”。▲直观模拟的价值：用实物或动画模拟运动过程，能将抽象的“追”变得可视，是理解问题的重要手段。任务二：数形结合，动态建模教师活动：引导：“光靠想象不够精准，我们请出数学的好帮手——线段图。”带领学生一步步绘制线段图。先画一条直线代表道路，标出A（小明起点）、B（小红起点），标明AB=100米。用箭头表示运动方向。提问：“1秒后，小明和小红的位置在哪里？他们之间的距离发生了什么变化？”在黑板上动态标出1秒后两人的新位置，并连线展示新的距离。连续演示23秒，让学生“看到”距离在缩短。关键提问：“大家发现了吗？每过1秒，小明和小红之间的距离具体缩短了多少米？”学生活动：跟随教师指导，在任务单上绘制线段图。观察黑板上的动态演示，计算每秒小明和小红各自移动的距离，并计算每秒后两人之间距离的变化：64=2（米）。发现规律：每秒距离缩短2米。即时评价标准：1.绘制的线段图是否清晰标注了起点、方向、初始距离。2.能否通过计算准确说出每秒距离的缩短量。3.能否从动态变化中归纳出“每秒缩短的距离就是两人速度之差”。形成知识、思维、方法清单：★线段图建模法：用线段图将运动过程静态化、可视化。通常用两条线段或一条线段上的不同点来表示不同物体的运动，是解决行程问题的核心工具。“大家要养成‘逢题先画图’的好习惯。”★速度差的本质：速度差（快者速度慢者速度）的物理意义是“单位时间（如每秒）内，快者追上慢者的距离”，即“追及效率”。这个发现太重要了！它就像我们解锁追及问题的第一把钥匙。模型思维的初步形成：将动态的追赶过程，分解为连续的、离散的单位时间追赶片段进行考察，是从变化中寻找不变量的思维方法。任务三：逻辑推演，公式生成教师活动：基于上一任务的发现，进一步引导：“既然每秒能追上2米，那么要追上初始的100米‘债务’，总共需要多少秒呢？谁能用一个算式表示这个思考过程？”鼓励学生列出算式：100÷(64)=50（秒）。将此算式一般化提问：“如果初始路程差我们用S差表示，小明速度V快，小红速度V慢，追及时间用T表示，谁能把我们发现的规律用一个等式表示出来？”板书学生回答：S差÷(V快V慢)=T。进而引导变形得到核心公式：(V快V慢)×T=S差。强调：“这个公式告诉我们，追上的时间，等于‘欠债’（路程差）除以‘还债速度’（速度差）。”学生活动：根据“总差距÷每秒追及距离=所需时间”的逻辑，列出算式。尝试用字母代表数量，概括出一般公式。理解公式的变形及其每一部分的含义。即时评价标准：1.能否清晰解释100÷(64)=50这个算式中每个数字的含义。2.能否参与公式的抽象概括过程。3.能否用自己的语言解释公式(V快V慢)×T=S差的意义。形成知识、思维、方法清单：★追及问题核心公式：(快速度慢速度)×追及时间=初始路程差。这是本课最核心的结论，必须理解并熟记。它建立了三个关键量之间的确定关系，知二求一。★公式的推导逻辑：公式源于“总距离差÷追赶效率=所需时间”这一基本逻辑。掌握推导过程比死记硬背公式更重要。符号化与抽象概括：用字母V、S、T代表一般情况下的速度、路程、时间，是数学表达走向一般化、符号化的关键一步，体现了数学的简洁美。任务四：变式探究，深化理解（“不同时出发”）教师活动：提出变式情境：“如果小红先出发2秒后，小明才出发去追，其他条件不变，小明还能追上吗？需要多久？”组织小组讨论。搭建脚手架：提示学生思考，“在小明出发的瞬间，小红已经跑了多远？此时两人的‘路程差’还是原来的100米吗？”引导学生通过计算或画图确定新的路程差：100+4×2=108米。然后应用公式求解。学生活动：小组合作探究。可能出现的思路：①画线段图，标出小红先走的2秒路程。②先计算2秒后小红的新位置，重新确定与小明起点间的距离。③认识到“路程差”变成了“初始距离+慢者先走的路程”。最后列式解答。即时评价标准：1.小组讨论是否围绕“如何确定新的路程差”展开。2.绘制的线段图能否准确反映“不同时”的特点。3.解答过程是否清晰，能否解释新算式的含义。形成知识、思维、方法清单：▲“不同时出发”的追及问题：关键是确定在快者开始追的那一刻，两人之间的实际距离，即“有效路程差”。它等于初始距离加上（或减去，如果慢者后出发）慢者先走（或后走）的路程。★审题关键点：遇到追及问题，必须首先判断是否“同时出发”。这是选择正确解题路径的岔路口。分类讨论思想：追及问题并非只有一个固定公式，需要根据“是否同时”、“是否同地”等条件进行分类，灵活确定“路程差”。这体现了数学的严谨性。任务五：方法比对，策略优化（方程法）教师活动：回顾例题的算术解法。提出新思路：“追及问题本质上是一种等量关系问题：追上时，两人走过的路程存在什么关系？”引导学生发现：追上时，快者路程=慢者路程+初始路程差。以基础题为例，设追及时间为t秒，则可列方程：6t=4t+100。让学生比较算术法（公式法）与方程法的异同。强调方程法的优势：思维更直接（寻找等式），尤其适用于复杂情境。学生活动：理解“追上时路程相等”的另一种表述。学习设未知数、根据等量关系列方程。对比两种方法，体会算术法需要逆向思维推导公式，而方程法利用等量关系正向布列，更具普适性。即时评价标准：1.能否找出“快者路程=慢者路程+路程差”这一等量关系。2.能否正确设立未知数并列出方程。3.能否说出两种方法各自的思维特点。形成知识、思维、方法清单：▲追及问题的方程解法：核心等量关系为：快者路程=慢者路程+初始路程差（或根据线段图得出的其他等价形式）。方程法思维回路更直，是解决复杂问题的通法。★一题多解与策略优化：鼓励学生掌握多种解法。算术法（公式法）快捷，但需理解公式来源；方程法普适，思维负担小。根据题目特点和个人习惯灵活选择。模型的应用与转化：无论是算术公式还是方程，都是同一数学模型（追及等量关系）的不同数学表达形式。理解其内在统一性，能提升解题的灵活度。第三、当堂巩固训练

设计分层练习题，学生根据自身情况至少完成两层。基础层（应用模型）：1.甲、乙两人相距300米，甲在前每秒跑5米，乙在后每秒跑8米，同时同向出发，乙多久追上甲？2.哥哥和弟弟从家去图书馆，弟弟先走200米，哥哥再出发。哥哥速度80米/分，弟弟速度60米/分，哥哥几分钟后追上弟弟？（教师巡视，重点关注基础层学生画图和列式是否规范，给予个别指导。“别着急，先判断这是不是标准的追及问题模型，然后把已知条件标到你的线段图上。”）综合层（变式应用）：3.一辆客车和一辆货车同向行驶，客车长200米，车速20米/秒；货车长300米，车速15米/秒。客车从后面追上货车到完全超过货车需要多少时间？（提示：完全超过时，客车车尾需要超过货车车头，追及的路程差是什么？）（组织小组讨论此题，引导理解“列车过桥”与“追及”的复合模型，关键在确定“路程差=客车长+货车长”。请完成的小组派代表上台讲解。“这道题把‘追及’藏在了‘超车’里面，谁能揭开它的伪装？”）挑战层（思维拓展）：4.思考题：在400米环形跑道上，甲、乙两人从同一地点反向出发，8分钟后相遇；如果同向出发，40分钟后甲追上乙。求甲、乙两人的速度。（作为弹性任务，鼓励学有余力的学生尝试，提示他们用方程思想，设两个未知数，根据相遇和追及两种情景建立两个方程。“这是相遇和追及在环形跑道上的‘二重奏’，敢不敢挑战一下？”）反馈机制：学生完成后，首先在小组内互评，重点对照线段图和等量关系。教师选取具有代表性的解答（包括典型错误）进行投影讲评，尤其是综合层第3题，剖析“路程差”的确定。挑战题可请做出的小组分享思路。第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结。提问：“谁能用一句话总结我们今天破解追及问题的‘秘诀’？”（抓三要素，用速度差追路程差）。请学生以小组为单位，用思维导图或关键词的形式，梳理本节课的知识脉络（从识别、画图、推导公式到应用变式）。然后邀请一组展示并讲解。方法提炼：回顾我们经历了“具体→抽象→应用”的过程，核心思想是建模，重要工具是线段图，关键能力是逻辑推理。作业布置：必做题（基础层2题+综合层1题）；选做题（挑战层1题及自编一道追及问题应用题）。预告下节课我们将探索“环形跑道上的多次相遇与追及”问题。六、作业设计基础性作业（必做）：1.复习巩固本节课核心公式，完成教材配套练习中关于标准追及问题的2道计算题。2.针对“不同时出发”的变式，完成1道应用题，要求必须配线段图辅助分析。拓展性作业（建议大多数学生完成）：3.情境应用题：查阅资料或结合生活，设计一个包含追及问题的情境（如“导航中的预计到达时间”、“运动会的接力棒交接区计算”），并解答。写出设计思路和解答过程。4.完成一道涉及“追及后反超”或“速度变化”的两步思维应用题。探究性/创造性作业（选做）：5.数学小论文（提纲）：以“追及问题中的‘变’与‘不变’”为题，思考并撰写提纲。分析在各类追及问题中，什么是变化的（如出发时间、路程差），什么是不变的（如速度差、追及的等量关系本质），并举例说明。6.尝试用编程软件（如Scratch）制作一个简单的追及问题动画模拟器，可以输入速度、初始距离，演示追及过程。七、本节知识清单及拓展★1.追及问题基本特征：指两个运动物体在同一路线上同时、同向、不同地（或同地不同时）出发，由于速度不同，快者从后面追上慢者的问题。识别特征是建模第一步。★2.核心数量关系（公式）：(快速度慢速度)×追及时间=初始路程差。简称“速度差×时间=路程差”。这是解决追及问题的代数核心。★3.“初始路程差”的确定：指在快者开始追击的那一时刻，快者与慢者之间的路程差距。在“同时出发”时，即题目给出的初始距离；在“不同时出发”时，需计算慢者先走的路程并加上初始距离。★4.线段图建模法：解决追及问题的首选直观工具。用两条平行线段或一条线段上的不同点表示两物体的运动，必须清晰标注出发点、方向、速度、初始距离及问题所求。画图过程就是分析过程。▲5.追及问题的方程解法：基于追上的瞬间“快者路程=慢者路程+初始路程差”这一等量关系设未知数列方程。此法思维直接，尤其适合复杂和变式问题，体现了代数思想的优越性。★6.速度差的本质理解：速度差（V快V慢）不仅是一个计算结果，其核心意义是“单位时间内快者迫近慢者的距离”，即“追及效率”。理解这点是掌握公式的关键。▲7.“不同时出发”的处理策略：先求出慢者先走的时间段内所走的路程，将其与初始路程合并，确定“有效路程差”，再代入核心公式或列方程求解。关键是把“不同时”转化为“同时”来考虑。★8.解题一般步骤（元认知策略）：①审题圈关键词（同时？同向？路程差？）；②画线段图建模；③分析并标出已知量和未知量；④根据核心关系列式（算术或方程）；⑤求解并检验答案合理性。▲9.与相遇问题的对比：相遇问题是“相向而行，路程和=速度和×时间”；追及问题是“同向而行，路程差=速度差×时间”。两者是行程问题的一体两面，对比学习有助于深化理解。▲10.环形跑道追及问题（拓展）：在环形跑道上同向追及，每追上一次，快者比慢者多跑一圈（即一圈的长度成为路程差）。关系式为：速度差×追及时间=环形跑道周长。八、教学反思

（一）教学目标达成度分析：从课堂练习反馈和小组汇报来看，约85%的学生能准确识别标准追及问题并利用公式正确解答，表明知识目标基本达成。在能力目标上，大部分学生能绘制基本线段图，但在处理变式问题时，约30%的学生对“有效路程差”的确定仍显生疏，数形结合的熟练度有待加强。情感目标方面，小组合作氛围热烈，学生参与度高，特别是在模拟演示和挑战题环节，涌现出不少有创见的想法。

（二）教学环节有效性评估：导入环节的“校运会”情境迅速点燃了学生兴趣，成功引出核心问题。“任务二”的动态线段图演示是本节课的亮点，将抽象的“速度差”转化为可视的“距离缩短”，有效突破了难点，学生当时的反应和随后的理解情况证实了其效果。“任务四”的变式探究，部分小组在讨论初期方向不清，说明脚手架“思考小明出发时两人的距离”