小学数学五年级下册《探秘公倍数与最小公倍数》

小学数学五年级下册《探秘公倍数与最小公倍数》一、教学内容分析

本课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域中的“数的认识”主题。从知识图谱看，它是在学生已经掌握了“因数与倍数”概念基础上，对倍数关系的深化与拓展，旨在从单一数的倍数转向研究两个或多个数共同的倍数，为后续学习通分、解决周期相遇问题以及深入理解分数运算奠定坚实的认知基础。课标强调，在此学段应发展学生的数感、符号意识、推理能力和模型思想。本节课正是培养这些核心素养的绝佳载体：通过寻找公倍数的过程，深化对整数性质的理解（数感）；用数学语言精准定义概念，并尝试用集合图（韦恩图）进行表征（符号意识、模型思想）；在探究最小公倍数求法的活动中，经历观察、比较、归纳、验证的完整推理链条。

对于五年级学生而言，他们已能熟练求一个数的倍数，具备初步的集合思想与分类能力。然而，从“一个数的倍数”到“几个数公有的倍数”是一次关键的认知飞跃，学生容易将关注点局限于“最小的”那一个，而忽略“公倍数”的无限性。此外，如何从列举法过渡到更为简洁高效的求解方法，是学生思维将面临的一个挑战。教学中，我将设计“报数游戏”作为前测情境，观察学生能否自然聚焦“共有的倍数”；在新授环节，通过搭建“列举观察—归纳定义—方法探究—优化策略”的认知阶梯，引导学生在合作与思辨中自主建构。针对不同思维速度的学生，任务单将设置“基础导航”与“思维冲浪”双路径，并通过小组内“小老师”机制和教师的巡视指导，实现动态支持与差异化推进。二、教学目标

知识目标：学生能结合具体情境，理解公倍数和最小公倍数的意义，掌握用列举法、筛选法寻找两个数公倍数和最小公倍数的基本方法，并能用集合图清晰表示倍数关系，构建起关于“公有倍数”的完整认知结构。

能力目标：在解决实际问题的过程中，学生能够从生活情境中抽象出数学问题，运用分类、集合、有序思考等策略，探索并归纳求最小公倍数的有效方法，发展合情推理与初步的演绎推理能力。

情感态度与价值观目标：通过富有挑战性的探究任务和小组协作，激发学生对数学规律的好奇心与求知欲，在交流与辩论中养成乐于分享、严谨求证的科学态度，体验数学应用于生活的价值。

科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型思想与有序思维。引导学生经历“具体情境—数学模型—方法提炼—解释应用”的建模过程，并在此过程中体会有序列举、不重不漏的数学思考方法的价值。

评价与元认知目标：引导学生使用“方法有效性核对清单”对不同的求解策略进行对比与评价；在课堂小结阶段，通过绘制思维导图，反思自己知识建构的过程，识别自己最擅长的思考路径及可能存在的思维盲区。三、教学重点与难点

教学重点：理解公倍数和最小公倍数的概念，掌握求两个数最小公倍数的基本方法。其确立依据在于，此概念是“数的整除”知识单元中的核心节点，是从倍数关系到公倍关系的质变点，更是后续学习异分母分数加减法（通分）必须依赖的“大概念”。从能力立意看，能否灵活求取最小公倍数是衡量学生数感与解决问题能力的关键指标之一。

教学难点：一是对“公倍数”集合无限性的理解，学生易将“最小公倍数”等同于“公倍数”的全部；二是从列举法到利用两个数倍数关系或分解质因数法求最小公倍数的思维跨越。难点成因在于，学生的思维正从具体运算阶段向形式运算阶段过渡，理解“无限集合”需要抽象思维支撑，而方法优化则需克服对机械列举的路径依赖，发现更深层次的数学规律。预设通过集合图的动态演示和关键设问“除了最小的，还有吗？有多少个？”来突破第一个难点；通过对比不同数对求最小公倍数的过程，引导学生观察特殊关系，自然引出优化方向。四、教学准备清单1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（内含报数游戏动画、可拖拽的韦恩图、对比表格）；实物投影仪。

1.2学习材料：分层探究学习任务单（含“基础导航区”与“思维冲浪区”）；小组讨论记录卡；不同颜色的磁贴。2.学生准备

复习因数和倍数的概念；预习课本相关情境；携带彩笔和直尺。3.环境布置

课桌椅按4人异质小组摆放，便于合作探究；黑板划分为核心概念区、方法生成区与例题展示区。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题提出

同学们，我们来玩一个“趣味报数”游戏。请学号是2的倍数的同学站起来（稍作停顿）。好，请坐。现在，请学号是3的倍数的同学站起来。大家有什么发现吗？（预设：有同学站了两次）对，有些同学站了两次！比如6号、12号同学。老师把它们记录下来。那老师现在有个问题：为什么这些同学会站起来两次呢？（等待学生回答：因为他们的学号既是2的倍数，又是3的倍数）太棒了，你们一眼就看穿了本质！1.1建立联系与明确路径

像6、12、18……这样，它既是2的倍数，又是3的倍数，在数学上我们给它起一个什么名字呢？今天，我们就一起来《探秘公倍数与最小公倍数》。我们将从游戏中发现规律，自己给这类数下定义，然后找到寻找它们的“法宝”，最后用它来解决生活中的实际问题。准备好开始我们的探秘之旅了吗？第二、新授环节任务一：从生活情境中初步感知“公倍数”教师活动：首先，聚焦导入环节产生的数列：6,12,18,24…。提问：“这些数有什么共同特征？”引导学生用规范数学语言表述：“既是2的倍数，又是3的倍数。”接着，在黑板上分别写出2的倍数序列（2,4,6,8,10,12…）和3的倍数序列（3,6,9,12,15…），请学生上台将同时出现在两个序列中的数用彩笔圈出来。“大家看，这些被圈出来的数，就像两个朋友圈的交集，它们既属于2的倍数这个‘圈’，又属于3的倍数那个‘圈’。”学生活动：观察数列，尝试用完整语句描述特征。一名学生上台操作圈画，其他学生观察并确认。小组内讨论：这些被圈出的数在排列上有什么规律？（预设：每隔几个出现一次）。即时评价标准：1.语言表述是否精准、完整（用“既是…又是…”句式）。2.圈画操作是否准确、有序。3.小组讨论时能否发现公倍数是“无限的”，并且相邻两个公倍数之差是固定的。形成知识、思维、方法清单：★公倍数的初步感知：像6、12、18……这样，同时是两个或多个数的倍数的数，称为它们的公倍数。公倍数的个数是无限的。▲观察与发现：公倍数序列本身也是一个有规律的数列，为后续寻找方法埋下伏笔。任务二：用数学语言定义并表征“公倍数”教师活动：“现在，谁能试着给‘公倍数’下一个数学定义？”鼓励学生尝试。随后呈现规范定义，并强调“公有”的含义。接着，引入韦恩图（集合圈）这一数学模型：“我们怎样用一幅图，清晰地表示出2的倍数、3的倍数以及它们的公倍数之间的关系呢？”课件动态演示两个相交的集合圈，分别填入部分倍数，将公倍数填入交集部分。“看，这个重叠的区域，就是公倍数的‘家’。这是一种非常强大的数学工具，能帮我们把复杂的关系可视化。”学生活动：尝试用自己的话归纳定义，并对比课本进行修正。观察课件演示，理解韦恩图中各部分代表的意义。在任务单上尝试画出表示4和6倍数关系的韦恩图草图。即时评价标准：1.定义归纳是否抓住“同时是…的倍数”这一核心。2.能否理解韦恩图各区域含义，并正确判断某个数应填入哪个区域。3.绘图是否清晰、规范。形成知识、思维、方法清单：★公倍数的定义：几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。其中最小的一个，叫作它们的最小公倍数。★韦恩图（集合图）表征法：用两个相交的圆分别表示两个数的倍数集合，交集部分即表示它们的公倍数集合。这是将抽象关系直观化、模型化的重要方法。任务三：探究寻找公倍数和最小公倍数的一般方法教师活动：提出核心探究问题：“如果不靠游戏和列举全部倍数，给定两个数，比如4和6，怎样有步骤地找出它们的公倍数和最小公倍数？”组织小组合作探究，提供学习任务单，上面有方法提示区（列举法、筛选法）。巡视指导，关注不同小组的策略差异。邀请一组用“列举法”（先分别列倍数，再找公有）的小组汇报，再邀请一组用“筛选法”（先列出一个数的倍数，从中筛选出另一个数的倍数）的小组汇报。“大家比较一下，这两种方法本质上有什么联系？你更喜欢哪一种？为什么？”学生活动：小组合作，选择一种或多种方法尝试求4和6的公倍数及最小公倍数。记录探究过程。派代表汇报方法、步骤和结果。倾听他组汇报，进行比较和辩论。即时评价标准：1.探究过程是否有序（如列举倍数时有序列举）。2.方法阐述是否步骤清晰。3.能否对他人的方法进行对比评价，说出优缺点（如筛选法可能更快）。形成知识、思维、方法清单：★求公倍数的基本方法：①列举法：分别列出两个数的倍数，再找出相同的倍数。②筛选法：先写出一个数的倍数，再从中筛选出另一个数的倍数。★核心思维：有序思考。有序列举是确保不重复、不遗漏的保证。▲方法优化意识：筛选法在多数情况下效率更高，体现了化繁为简的思想。任务四：聚焦“最小公倍数”及其应用价值教师活动：引导学生观察4和6的公倍数集合：“在所有的公倍数中，哪一个最特别？为什么？”（最小公倍数12）。强调最小公倍数在解决实际问题中的独特价值，因为它代表了“第一次”或“最小”的状态。出示问题：“用一种长4dm、宽3dm的墙砖铺一个正方形墙面（必须用整砖），正方形的边长可以是多少分米？最小是多少分米？”引导学生将铺砖问题转化为数学问题：“正方形的边长必须既是4的倍数，又是3的倍数。”“看，生活问题瞬间变成了我们刚学的数学问题！那最小是多少？对了，就是最小公倍数12dm。”学生活动：理解最小公倍数的“最小”特性及其现实意义。将铺墙砖的实际问题抽象为“求4和3的公倍数”的数学模型。独立或在小组内解决问题，并解释答案的含义。即时评价标准：1.能否从公倍数集合中准确识别最小公倍数。2.能否将生活情境转化为“求公倍数”的数学问题。3.解释答案时是否联系情境（边长12dm意味着要用几行几列砖）。形成知识、思维、方法清单：★最小公倍数的应用：在解决“同时满足”、“第一次同时”、“最短时间相遇”等问题时，通常需求的是最小公倍数。★数学建模初步：将铺正方形、排队、相遇等实际问题，抽象为“求几个数的（最小）公倍数”的数学模型，是数学应用的关键一步。任务五：探究特殊情况下求最小公倍数的快捷方法教师活动：出示两组数：①3和9；②5和8。让学生分别用列举法求它们的最小公倍数。完成后提问：“在求第一组数时，你有什么感觉？（快，因为9本身就是3的倍数）仔细观察，当两个数成倍数关系时，它们的最小公倍数是谁？”（较大的数）。再问第二组：“5和8呢？它们的公倍数有什么特点？”（除了1，没有其他公因数）引导学生发现，当两个数互质时，最小公倍数就是它们的乘积。最后，引导学生对比反思：“我们最初学的列举法是‘万能钥匙’，但在遇到这些特殊情况时，有没有更快的‘密码’呢？”学生活动：独立计算并观察两组题的结果。在教师引导下，小组讨论并总结规律：倍数关系时，最小公倍数是较大数；互质关系时，最小公倍数是两数之积。将规律记录在方法总结区。即时评价标准：1.计算是否准确。2.能否通过观察和比较，自主发现并归纳规律。3.能否用简洁的数学语言表述规律。形成知识、思维、方法清单：★快捷求法（特殊情况）：①倍数关系：如果两个数成倍数关系，其中较大的数就是它们的最小公倍数。②互质关系：如果两个数只有公因数1（互质），那么它们的乘积就是最小公倍数。▲观察与归纳思想：数学中许多简便方法都源于对大量例子的观察、比较和归纳。养成主动寻找规律的习惯至关重要。第三、当堂巩固训练

现在，请大家根据自己探索的“工具箱”，来完成三个挑战。基础层：1.找出6和8的公倍数和最小公倍数（用你喜欢的方法）。2.判断：两个数的公倍数的个数是有限的。（

）综合层：3.解决问题：小张每4天游泳一次，小李每6天游泳一次。今天他们同时去了游泳池，至少再过多少天他们会再次同去？挑战层：4.思考题：一个数除以6余2，除以8也余2，这个数最小是多少？这和今天学的知识有什么联系？（提示：想想如果刚好整除是什么情况？）

完成练习后，首先进行小组内互查，重点检查表述的规范性和方法的合理性。教师巡视，选取有代表性的解法（包括正确典型和普遍错误）用实物投影展示。针对第4题，引导学有余力的学生发现：这个数减去2后，就正好是6和8的公倍数，从而将“同余”问题转化为求最小公倍数问题，体现数学的转化思想。第四、课堂小结

旅程接近尾声，让我们一起来梳理今天的收获。请以小组为单位，用思维导图的形式，总结“公倍数与最小公倍数”的核心概念、寻找方法以及它们在实际中的应用。派一位代表进行简短分享。（教师根据学生分享，完善板书的知识结构网络图）。

回顾一下，今天我们经历了“发现现象—定义概念—探究方法—应用优化”的完整学习过程，其中用到的分类、集合、有序思考、观察归纳、建立模型等方法，都是数学学习的宝贵武器。

作业布置：必做（基础性作业）：1.完成课本练习中关于求两个数最小公倍数的题目。2.用韦恩图表示出8和12的倍数、公倍数关系。选做（拓展性作业）：3.调查生活中哪些地方可以用到最小公倍数的知识，举出12个实例并简要说明。4.探究：三个数的最小公倍数该怎么求？尝试找出4、6、9的最小公倍数。下节课，我们将带着这些思考继续深入。六、作业设计1.基础性作业（必做）：①求下列每组数的最小公倍数：10和15；7和8；20和5。②判断对错，并说明理由：a)12是3和4的公倍数。（

）b)两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。（

）③完成课本配套练习册的基础巩固部分。2.拓展性作业（建议完成）：④“最短重逢计划”：人民广场的喷泉每15分钟表演一次，广场的灯光秀每20分钟循环一次。如果晚上7点整喷泉和灯光秀同时开始，那么在下一个小时（8点前），它们还有几次会同时开始？分别是几点？请写出你的思考过程。3.探究性/创造性作业（选做）：⑤“我的数学发现”小论文：请你通过更多的例子（如两个偶数、两个奇数、一个奇数一个偶数等），继续探究两个数的特征（如它们的差、它们的最大公因数等）与它们的最小公倍数之间是否存在有趣的规律？将你的发现、验证过程和疑惑记录下来，篇幅不限。七、本节知识清单及拓展★1.公倍数定义：几个数公有的倍数，称为这几个数的公倍数。理解关键词“公有”，即同时满足条件。★2.公倍数的性质：任意两个（或多个）数的公倍数的个数是无限的。没有最大的公倍数。★3.最小公倍数定义：在两个或多个数的所有公倍数中，最小的一个，叫作它们的最小公倍数。记作：如[4,6]=12。它是公倍数集合中的“起点”。★4.韦恩图表示法：用相交的集合圈分别表示各数的倍数集，交集即公倍数集。这是将抽象关系可视化的数学模型。★5.求最小公倍数的一般方法（列举法/筛选法）：核心是有序列举，先找到各自倍数，再找公共部分。筛选法（以大数为基准列举并筛选）常更高效。▲6.特殊情况下的快捷求法：①倍数关系：若大数是小数的倍数，则大数即为其最小公倍数。例：[3,9]=9。②互质关系：若两数公因数只有1（互质），则其乘积即为最小公倍数。例：[5,8]=40。★7.最小公倍数的应用情境识别：当问题中出现“同时”、“至少”、“第一次同时发生”、“拼成最小正方形”等关键词时，常需求解最小公倍数。▲8.与最大公因数的初步联系（拓展）：两数的乘积=它们的最大公因数×最小公倍数。这为未来学习提供了一个重要的检验和计算方法。★9.有序思考的重要性：在列举倍数时，从1倍、2倍…开始有序进行，是确保不重不漏的基本数学素养。▲10.从“倍”到“公倍”的思维跨越：学习本节的关键是从考虑单个数的关系，升级到考虑多个数之间的公共关系，这是数学思维的一次重要飞跃。★11.易错点警示：混淆“公倍数”与“最小公倍数”。务必明确最小公倍数只是公倍数集合中的一员，是特别的一个。▲12.生活链接举例：齿轮咬合、公交班次协调、铺地砖、周期性会面等实际问题，其数学本质往往是求最小公倍数。八、教学反思

（一）目标达成度分析本节课预设的知识与技能目标基本达成，绝大多数学生能准确说出公倍数与最小公倍数的定义，并运用列举法正确求解。能力目标方面，从“铺砖问题”的解决情况看，约80%的学生能成功建模，但语言表述的精确性有待加强。情感与思维目标在小组探究环节表现突出，学生表现出浓厚兴趣和初步的推理意识。元认知目标通过最后的思维导图小结得以初步落实，但深度反思环节因时间所限，略显仓促。

（二）核心环节有效性评估导入环节的“报数游戏”迅速激活课堂，生成的教学资源自然有效。“任务三”的探究活动是本节课的思维高潮，不同层次的学生都能参与其中：基础较弱的学生在“基础导航”的辅助下掌握了方法；思维活跃的学生则在“思维冲浪”中尝试对比和优化。然而，在展示环节，对“筛选法”优越性的讨论不够充分，部分学生仍停留在机械列举层面。“我当时应该追问一句：‘如果找50和100的最小公倍数，你还愿意一个个列举吗？’这样能更强烈地引发对方法效率的思考。”

（三）学生表现与差异化支持观察发现，空间视觉型学生对韦恩图的理解和运用明显更佳，他们能迅速将数填入正确区域。而逻辑分析型学生则更快归纳出特殊关系的规律。小组内的“小老师”机制运作良好，有效缓解了教师的个别指导压力。但对于极少数基础非常薄弱、因数倍数概念仍模糊的学生，预设的“前测”环节还应更细致，或许需要在课前提供简短的微课进行复习铺垫。“下次可以考虑设计一个‘概念前测卡’，用两三道题快速诊断，在课初就进行针对性帮扶。”

（四）策略得失与理论归因本节课成功践行了“问题驱动”和“支架式教学”理念，将知识学习转化