方寸之间立体之源-正方体展开图的初步探究（沪教版五年级下册）

方寸之间，立体之源——正方体展开图的初步探究（沪教版五年级下册）一、教学内容分析  本课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“图形与几何”领域“图形的认识与测量”主题。从知识技能图谱审视，学生此前已直观认识了长方体、正方体及其基本特征（面、棱、顶点），本课旨在引导学生从三维立体逆向思考其二维平面展开形态，这是对立体图形认知的深化与视角转换，也为后续学习表面积计算奠定了不可或缺的认知基础。其认知要求超越了简单的识记，更侧重于在操作与想象中理解二维与三维空间之间的对应关系，属于高阶的空间观念应用。课标蕴含的“空间观念”、“几何直观”与“推理意识”等核心素养在本课有集中体现。教学过程应转化为学生亲自动手“剪一剪”、“折一折”、“想一想”、“分一分”的探究活动，让学生经历“立体→平面（展开）→立体（还原）”的完整认知循环，从而感悟数学的转化思想与有序思考方法。本课的育人价值在于，通过探索看似随机的展开图中蕴含的确定性规律，培养学生严谨求实的科学态度和敢于猜想、乐于验证的探究精神。  五年级学生具备一定的观察、动手操作和小组合作能力，对长方体、正方体有直观的生活经验。然而，从静态的立体图形观察到动态的“展开与折叠”空间想象，对学生而言是一个认知跨度。潜在的障碍在于：一是部分学生空间想象能力较弱，难以在脑海中完成面与体的对应转换；二是容易忽视展开图中面与面的相对位置关系，导致判断失误；三是在探究展开图种类时，思维可能缺乏条理性，产生重复或遗漏。因此，教学需紧扣“以学定教”，前期通过观察实物模型和动画演示搭建直观支架，中期通过大量的动手操作积累感性经验，后期引导归纳总结形成理性认知。课堂中将通过“设问引导”、“操作观察”、“作品展示与辨析”等形成性评价手段，动态诊断学生理解层次。对于空间想象暂时困难的学生，提供可反复折叠的学具作为“思维拐杖”；对于思维活跃、能较快发现规律的学生，则引导其向有序分类和规律概括的更深层次挑战。二、教学目标  知识目标：学生通过动手操作与观察，理解正方体展开图的概念，知道正方体沿着不同的棱剪开可以得到不同的平面展开图。能识别并判断哪些平面图形可以围成正方体，初步感知正方体展开图的基本类型（如“一四一”型），并能在展开图与立体图之间建立面的对应关系。  能力目标：在剪、折、拼等操作活动中，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观素养。能够通过观察、分类、归纳等数学活动，对丰富的展开图实例进行初步的整理，尝试用数学语言（如上、下、左、右、前、后）描述面与面的位置关系，并运用推理进行简单的判断。  情感态度与价值观目标：在探究多样的展开图过程中，激发对几何图形变换的好奇心与求知欲，体验数学活动的探索性与创造性。在小组合作与交流中，乐于分享自己的发现，倾听他人的意见，初步养成有序思考、严谨验证的科学态度。  学科思维目标：重点发展学生的空间观念和模型思想。引导学生经历“具体实物—操作感知—表象建立—抽象归纳”的思维过程，学会从多角度（操作、想象、推理）探究几何问题的方法，渗透“化立体为平面”的转化思想。  评价与元认知目标：引导学生学会依据“是否六面相连”、“相对面是否隔开”等核心标准，评价自己或他人给出的图形是否为正方体展开图。鼓励学生回顾探究过程，反思“我是通过什么方法找到（或判断）展开图的”，提升解决问题的策略意识。三、教学重点与难点  教学重点：理解正方体展开图的本质，即平面图形与正方体表面各面的对应关系，并能进行初步的判断与识别。确立依据在于，此点是连通二维与三维空间观念的枢纽，是构建空间想象能力的基础模型，也是后续学习所有立体图形表面积计算的通用思维工具。从学科素养角度看，这是发展“空间观念”和“几何直观”最核心的载体。  教学难点：根据平面展开图想象（或推理）出它能否围成正方体，以及围成后各面的相对位置。难点成因在于，这需要学生克服对实物的依赖，进行逆向的、动态的空间思维转换，对学生的表象操作能力和逻辑推理能力提出了较高要求。预设依据来自常见学情：学生能轻易将正方体剪开，但面对一个孤立的平面图形时，往往因无法在脑中完成“折叠”过程而误判。突破方向是提供丰富的操作材料，让想象有据可依，并通过总结“相对面不可能相邻”等关键推理依据，为学生提供思维“抓手”。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（内含正方体展开动画、分类示例图）；多个可展开的正方体纸质模型（用于示范）；磁性黑板贴（印有不同平面图形）。1.2学习材料：设计分层学习任务单（含基础操作记录表和拓展探究提示）。2.学生准备2.1学具：每人至少2个可剪开的正方体纸盒或自制的正方体框架模型；剪刀；胶水或透明胶。2.2预习：观察生活中的长方体、正方体包装盒，找一找上面的“裁剪线”。3.环境布置：教室桌椅按46人合作小组摆放，便于操作与讨论。黑板划分区域，预留作品展示与规律总结空间。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题驱动：教师出示一个精心包装的立方体礼物盒。“同学们，这是一个正方体形状的礼物盒。如果我们要回收利用纸盒，通常会把它拆开、压平。大家有没有想过，这个展开图是怎么设计出来的？”（拿起一个可展开的教具模型）“今天，我们就来当一回小小设计师，一起探秘正方体的展开图。”2.明确任务与唤醒旧知：“我们的核心任务就是：探究一个正方体可以展开成哪些不同的平面图形？以及，反过来，怎样的平面图形能折回一个正方体？”（板书核心问题）“要解决这个问题，我们需要请出老朋友——正方体。谁来说说，正方体有什么特征？”（引导学生回顾：6个面、12条棱、8个顶点，每个面都是相同的正方形。）“记住这些特征，对我们的探究至关重要。”第二、新授环节任务一：动手剪开，初识“展开图”教师活动：首先，明确操作要求与安全提示。“请大家拿起手边的正方体模型，像设计师一样，沿着一些棱将它完全剪开，平铺在桌面上。注意，要保证所有的面都是连在一起的，就像一张完整的地图。”教师巡视，挑选几种有代表性的剪法（如剪开的棱数不同、最终形状不同）的作品，准备展示。学生活动：学生独立操作，小心地将自己的正方体沿着选定的棱剪开，并尝试将得到的所有面平铺在桌面上，形成一个相连的平面图形。观察自己得到的图形特点。即时评价标准：1.操作规范性：能否安全使用剪刀，是否将正方体完全剪开并平铺？2.结果有效性：得到的图形是否是一个由6个正方形组成的、面面相连的单一图形？3.观察描述：能否简单描述自己展开图的形状像什么（如“像一字长龙”、“像楼梯”等）？形成知识、思维、方法清单：★展开图定义：将一个立体图形沿着它的棱剪开，得到的各个面连在一起的平面图形，就叫作这个立体图形的展开图。★操作前提：剪的时候要保证所有面都相连，不能剪散。▲方法提示：“大家剪开的路径可能不一样，所以得到的平面图形形状也可能五花八门。这很正常，说明展开图不止一种。”任务二：观察比较，聚焦“面”的关系教师活动：将收集到的几种典型学生作品贴在黑板上或通过投影展示。“我们得到了这么多不同的图形，它们都是正方体的展开图吗？凭什么说它们是？”引导学生聚焦核心特征。“大家数一数，每个图形都由几个小正方形组成？”（都是6个）“再看看，这些小正方形之间的连接方式有什么共同点？”（都是边与边完全重合地连接在一起）。教师用教具演示一个错误连接（如面只有点接触）的例子进行反证。学生活动：观察展示的各类展开图，计数并确认均由6个正方形组成。观察正方形之间的连接边，理解“面面相连”意味着正方形之间必须有完整的公共边。与错误例子比较，加深认识。即时评价标准：1.观察的全面性：能否关注到图形由6个正方形构成这一数量特征和边的连接方式这一结构特征？2.语言表述：能否用“由6个正方形组成”、“边和边完全挨着”等语言描述共同特征？形成知识、思维、方法清单：★正方体展开图的基本特征：由6个完全相同的正方形组成，且这些正方形之间通过完整的边相连，形成一个整体。★判断起点：看到一个图形，先数是否是6个正方形，再看连接方式。▲思维引导：“这是我们判断一个图形是不是正方体展开图的‘第一道关卡’。过了这关，才有进一步研究的必要。”任务三：想象还原，建立“面体对应”教师活动：指着一个学生剪出的展开图（如标准“一四一”型）。“这个平面图形真的能折回去变成正方体吗？光说不行，我们得验证。请大家不动手折，先用手指指着图，在脑子里想象一下折叠的过程。”教师用慢动作动画演示折叠过程，并在关键处暂停提问：“看，这个正方形折下去会成为正方体的哪个面？（底面）那它旁边的这个呢？（侧面）折过来以后，这两个原来分开的正方形会变成什么关系？（相邻的面）”学生活动：跟随教师的引导和动画演示，尝试在脑中想象平面图形逐步折叠成立体图形的动态过程。用手指在空中或桌面上比划，尝试说出某些面折叠后的位置关系。即时评价标准：1.想象参与度：能否跟随引导尝试进行空间想象？2.对应关系描述：在教师提示下，能否初步说出某个面折叠后可能的位置（如上、下、侧面）？形成知识、思维、方法清单：★核心思维转换：展开图研究的关键，是在平面图形上的每一个正方形与未来正方体的每一个面之间建立一一对应关系。★动态观念：要将展开图视为一个可以“动”起来的、能折叠的图形。▲教学策略：对于想象有困难的学生，允许他们用手中的学具边看边模拟，将内部思维过程外显化。任务四：探究分类，初窥规律教师活动：组织小组合作。“黑板上有这么多展开图，有点乱。我们能不能给它们分分类，让它们排排队？”引导学生寻找分类标准。“可以按中间一排有几个正方形来分吗？试试看。”教师参与小组讨论，引导他们将“中间一排（或列）有4个正方形”的图形归为一类，并告知这类在数学上常被称为“一四一型”。“找找看，这类展开图有什么特点？相对的面（如上下面）在展开图上的位置有什么关系？”学生活动：小组合作，观察黑板上的展开图样本，尝试按“中间一排正方形的个数”等直观特征进行分类。在教师引导下重点观察“一四一型”，寻找其中相对的面（如隔开一个面的两个面）在展开图上的分布规律。即时评价标准：1.合作有效性：小组成员能否围绕任务进行交流，并达成初步分类意见？2.规律发现：能否在教师引导下，发现“相对的面在展开图中不相邻（通常被隔开）”这一重要规律？形成知识、思维、方法清单：★常见类型：正方体展开图有多种，其中“一四一型”是最常见的一类（中间四个面，上下各一个面）。★重要规律（一）：在正方体展开图中，相对的两个面（如1和6、2和5、3和4，如果对面标有数字）在展开图上绝不会相邻（即没有公共边）。▲方法价值：“分类能帮助我们化繁为简。而发现‘相对面不相邻’，就为我们提供了一把判断展开图是否可行的‘推理钥匙’，不一定非要动手折了。”任务五：逆向挑战，应用推理教师活动：出示几个预先准备的平面图形磁性贴，包括明显的正方体展开图、有“五连方”“七巧板”式错误的、以及含有“田”字、“凹”字结构的经典反例。“现在，考验大家眼力和推理能力的时候到了。这些图形，哪些能围成正方体？哪些不能？先别急着说答案，用我们刚才发现的‘法宝’——‘6个面’、‘面相连’、‘相对面不相邻’，小组内讨论一下，说说你的理由。”学生活动：小组合作，运用已总结的特征和规律，对教师提供的平面图形进行逐一分析和推理判断。对存在争议的图形，可申请用学具实际折叠验证。即时评价标准：1.知识应用：能否自觉运用“6个面、面相连、相对面不相邻”等多条标准进行综合判断？2.推理表述：能否清晰说出判断“能”或“不能”的依据（如：“这个图形有5个正方形，所以不行。”“这个图形里，这两个面是相对的，但它们挨在一起了，所以折的时候会冲突。”）？形成知识、思维、方法清单：★判断方法体系：判断一个图形是否为正方体展开图，需综合应用：数量（6个正方形）→连接（边边完全相连）→推理（相对面是否相邻等）。★典型反例：“田”字形、“凹”字形中间有“十”字连接结构的，通常无法围成正方体（可通过推理或操作验证）。▲素养提升：“从动手操作到动脑推理，这是我们思考问题的一次飞跃。记住，操作帮我们积累经验，推理让我们变得更聪明。”第三、当堂巩固训练  设计分层练习，学生可根据自身情况至少完成A层，鼓励挑战B、C层。  A层（基础应用）：1.判断：出示多个图形（含简单变式），让学生快速判断哪些是正方体的展开图（直接应用规律）。2.标注：在一个给定的正确展开图上，若标出其中一个面为“下”，请标注出“上”、“前”、“后”、“左”、“右”面。  B层（综合推理）：1.缺失面推理：一个正方体展开图，其中五个面上标有数字1、2、3、4、5，且展示了数字间的相对位置，请推断数字6在哪个面上。2.选择匹配：给出一个立体图上面标的图案，从几个展开图中选出正确的一个。  C层（挑战探究）：“除了‘一四一’型，你还能用学具创造出其他不同类型的展开图吗？（如‘二三一’型、‘三三’型等）试着找一找，画一画。”  反馈机制：A层练习采用全班手势判断或抢答，教师即时点评。B层练习小组讨论后派代表分享推理过程，教师着重评价推理的逻辑性。C层作为拓展，邀请有发现的学生上台展示作品，并激励课后继续研究。所有练习均强调“说出你的理由”，将思维过程外化。第四、课堂小结  “同学们，今天的探索之旅即将到站。请大家闭上眼睛，回想一下：这节课我们围绕正方体展开图，经历了哪些关键步骤？学到了哪些判断的‘法宝’？”引导学生自主梳理。随后，教师邀请学生分享，并共同用概念图的形式在黑板上板书总结：核心概念（展开图）→特征（6面、相连）→思想（转化、对应）→方法（操作、分类、推理）→关键规律（相对面不相邻等）。作业布置：1.必做（基础）：完成练习册上关于正方体展开图判断的基础习题。2.选做（拓展）：（二选一）①动手做一个正方体，并画出它的两种不同的展开图。②研究一下，一个长方体（如纸巾盒）的展开图可能是什么样的？和正方体有什么异同？最后，预告下节课：“今天研究了正方体的‘展开’，下次课我们将走进它的兄弟——长方体，看看它的展开图又有怎样的奥秘。”六、作业设计基础性作业：1.教材配套练习：完成指定页面的判断题和选择题，巩固正方体展开图的基本特征判断。2.连线匹配：将几个正方体立体图与它们可能的展开图用线连起来。拓展性作业：1.“设计大师”：给定一个标有不同图案（如水果、动物）的正方体立体图，请设计出它的一个正确展开图，并在展开图上相应位置画出图案。2.“火眼金睛”：搜集生活中的正方体包装盒（如小药盒、骰子包装），观察并记录下它实际的展开图裁剪线，与今天学的类型对比。探究性/创造性作业：1.“规律探索者”：通过查阅资料或继续动手尝试，了解正方体展开图共有多少种不同的类型（不要求记忆具体数量，重在探索过程），尝试用“一四一”、“二三一”、“三三”、“二二二”这样的名字给它们分类，并各画出一个例子。2.“小小演讲家”：准备一个1分钟的小讲解，向家人或同学说明“为什么‘田’字形图形不能折成正方体”。七、本节知识清单及拓展1.★展开图：将一个立体图形沿其棱剪开，铺平后得到的相连平面图形。它是立体与平面之间的一座“桥梁”。2.★正方体展开图基本特征：由6个完全相同的正方形组成，且每个正方形都必须至少有一条边与另一个正方形完全重合连接。3.★核心思维过程：在观察展开图时，心中要有动态的“折叠”或“还原”过程，建立平面上的每一个正方形与未来正方体每一个面的——对应。4.▲操作验证：当无法确定时，最可靠的方法是用纸制作该图形，实际折叠验证。动手操作是空间观念发展的基础。5.★关键推理规律1（相对面）：在正方体展开图中，任何一组相对的两个面（如上下、左右、前后），在展开图上绝不会相邻（即没有公共边）。这是快速判断的重要依据。6.★关键推理规律2（相邻面）：展开图中相邻（有公共边）的两个正方形，折成立体后必然是相邻的两个面。7.★常见类型“一四一”型：中间一排有四个正方形，上下各一个。这是最丰富、最常见的一类展开图。8.▲常见类型“二三一”型：中间一排有三个正方形，其上下分别有两个和一个（或一个和两个）正方形，且结构需满足特定排列。9.▲“三三”型与“二二二”型：分别指两排各三个正方形，以及三排各两个正方形的阶梯状结构。种类较少。10.★典型反例——“田”字形：含有“田”字核心结构的图形不能围成正方体，因为会导致中间四个面两两相对，无法构成立方体的侧面环绕结构。11.★典型反例——“凹”字形：类似“凹”字缺口的图形，在缺口处的面折叠时会冲突，通常无法围成（特定“七”字形缺口除外，需具体分析）。12.▲判断流程建议：一数（是否6个正方形）→二看（是否边边相连成整体）→三找（找相对面，是否相邻）→四想（想象折叠过程）。13.▲面位对应练习：在展开图上给定一个面为参照（如“底面”），通过跟踪折叠过程，推断其他面的位置（前、后、左、右、上），是深化空间想象的有效训练。14.★与长方体的联系与区别：长方体展开图也是6个面（长方形或正方形）相连，但对面是相同（全等）的长方形，且相对面同样不相邻。其类型比正方体更复杂。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析：本节课预设的核心目标——学生能理解正方体展开图概念并运用基本特征进行判断——通过课堂观察和巩固练习反馈，大部分学生能够达成。特别是在操作和动画演示支持下，学生基本建立了“面体对应”的初步感知。能力目标方面，学生的动手操作和观察能力得到了充分锻炼，但在“用严谨数学语言描述位置关系”和“独立进行有条理分类”上，仅部分学生能较好完成，这是符合五年级学生思维发展阶段的。情感目标在活跃的探究氛围中实现较好，学生表现出浓厚兴趣。  （二）教学环节有效性评估：导入环节的情境设问快速聚焦了课题。新授环节的五个任务构成了螺旋上升的认知阶梯：任务一（动手剪）激活经验；任务二（观察比）聚焦本质特征，这一步夯实了后续所有推理的基础，非常关键；任务三（想象还原）借助动画突破了静态思维的局限，是难点突破的第一步；任务四（探究分类）引导思维走向有序，并自然引出“相对面不相邻”的金钥匙；任务五（逆向推理）则实现了知识的应用与内化。整体环环相扣，但时间分配需更精确，任务四的小组讨论因学生发现欲强，耗时稍长，挤压了部分巩固时间。  （三）学生表现层次剖析：在操作环节，几乎所有学生都能投入，差异主要体现在速度和对展开图形状的预见性上。空间想象能力较强的学生（约30%）在任务三、五中能较快进行脑内折叠和推理，并乐于挑战C层问题；中等层次学生（约60%）在学具和同伴讨论的辅助下，能跟上节奏，理解并应用规律；仍有少数学生（约10%）