2022年春季上海市普通高等学校招生入学统一考试 数学 试卷（含答案）

2022年上海春考第年春季上海市普通高等学校招生入学统一考试数学试卷2022.1考生注意：1.考试时间120分钟，试卷满分150分；2.本考试设试卷和答题纸两部分。全卷共4页。选择题部分需用2B铅笔填涂在答题卡上，非选择题部分需要用黑色字迹的水笔或钢笔书写在答题纸上，做在试卷上一律不得分.一、填空题（本大题满分共54分，其中1~6题各4分，7~12题各5分）1.已知复数（其中为虚数单位），则________2.已知区间，，则________3.求不等式的解集为________4.已知角满足：，则________5.设有二元一次方程组，若方程组有无穷组解，则的值为________6.已知函数，为的反函数，则________7.已知有二项式，其展开式的则前的系数为________8.在三角形中，，，，则外接圆的半径为________9.设由数字1、2、3、4组成上各个位置上数字不能重复的四位数，则大于2134的四位数的个数为________10.已知直角三角形，且，为边的中点.若在边上运动（点可与重合），则的最小值为________11.已知双曲线，任取双曲线右支上两个不相同的点，都有成立，则的取值范围是________12.已知奇函数在时的解析式为，且关于对称.设方程的正数解为，则________二、选择题（本大题满分共20分，每小题各5分）13.以下函数的定义域为R的是（） (A). (B). (C). (D).14.已知实数满足：，则下列选项正确的是：（） (A). (B). (C). (D).15.如图所示，设上海海关楼的钟楼为正方体，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂.在0点到12点中时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面的时针出现两两相互垂直的情况的次数为（） (A).0 (B).2 (C).4 (D).1216.设为等比数列，设和分别为的前项和与前项积，则下列命题正确的是：（） (A).若，则为递增数列 (B).若，则为递增数列(C).若为递增数列，则 (D).若为递增数列，则三、解答题（本大题满分共76分，其中17~19题各14分，20题16分，21题18分）17.（本题共14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）设有底面半径为1的圆柱，为圆柱的母线.（1）若，设为的中点，求直线与圆柱上底面所成角；AA1OO1（2）AA1OO118.（本题共14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）设有无穷数列，记的前项和为，其中.（1）若为等比数列，且，求；（2）若为等差数列，且，求公差的取值范围.19.（本题共14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）ABCDFEG上海某地区想要设计建造一个自然保护区。如图所示，在一块矩形绿地中（其中为30米，为15米），过道将其分为两个主要区域（分别是边上动点）.监测区为以为圆心，为半径的四分之一圆，古树区为四边形，且与圆弧相切，记切点为.ABCDFEG（1）若，求的长（结果精确到0.1）；（2）点在线段上何处时，才能使古树区的面积最大，并求出最大值（结果精确到0.01）.20.（本题共16分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）椭圆，分别为椭圆的左顶点和下顶点，且直线上有两个不相同的点（是第一象限的点）.（1）设是椭圆的右焦点，且，求椭圆的标准方程；（2）若两点的纵坐标分别为2和1，判断：直线与的交点是否在椭圆上，并说明理由；（3）设直线与直线交椭圆于两点，且关于原点对称，求的最小值.21.（本题共18分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）在定义域为R的函数上，定义下面两个变换：，，其中.（1）若，，对进行变换后得到函数，求方程的解；（2）若，对进行变换后得到函数，解不等式：；（3）已知定义R上的函数在单调递增，在对函数先作变换再做变换得到函数，对函数先作变换再做变换得到函数，且对于任意，在R上有成立，证明：函数在R上单调递增.参考答案一、填空题1.2.3.4.5.46.37.668.9.1710.11.12.

2二、选择题13.(C)14.(B)15.(B)16.(D)三、解答题17.（1）；（2），；18.（1）4；（2）；19.（1）23.3米；（2）255.14平方米，在距离点米处；【19详解】19.（本题共14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）ABCDFEGH上海某地区想要设计建造一个自然保护区。如图所示，在一块矩形绿地中（其中为30米，为15米），过道将其分为两个主要区域（分别是边上动点）.监测区为以为圆心，为半径的四分之一圆，古树区为四边形，且与圆弧相切，记切点为.ABCDFEGH（1）若，求的长（结果精确到0.1）；（2）点在线段上何处时，才能使古树区的面积最大，并求出最大值（结果精确到