2026年高考数学压轴题解法题集

2026年高考数学压轴题解法题集一、函数与导数综合题（4题，每题15分）题1（15分）已知函数f(x)=x³-ax²+bx+1在x=1处取得极值，且其图像在点(2,f(2))处的切线与直线y=3x-5平行。（1）求函数f(x)的解析式；（2）若对任意x₁,x₂∈(0,3)，恒有|f(x₁)-f(x₂)|<4，求实数a的取值范围。答案与解析（1）f'(x)=3x²-2ax+b，由f'(1)=0得3-2a+b=0①；f'(2)=12-4a+b=3②，联立①②解得a=3，b=3，故f(x)=x³-3x²+3x+1。（2）f'(x)=3(x-1)²≥0，f(x)在(0,3)上单调递增，f(0)=1，f(3)=7，若|f(x₁)-f(x₂)|<4，则f(x₁)<f(x₂)<f(x₁)+4，即f(0)<f(x₂)<7，所以0<x₂<3，当x₁=0时，f(x₂)<4⇒x₂<2；当x₂=3时，f(x₁)<3⇒x₁<2，综上a∈(1,2)。题2（15分）定义函数g(x)=|x-1|+|x-2|+|x-t|（t∈R），（1）求g(x)的最小值及取得最小值时的x值；（2）若函数h(x)=g(x)-sin(x)在(0,π)上恰有两个零点，求t的取值范围。答案与解析（1）g(x)分段为：x∈(-∞,1]时，g(x)=3x-3-t；x∈(1,2)时，g(x)=x+t-3；x∈[2,+∞)时，g(x)=3x-t-3。最小值在x=2处取得，为|t-1|。（2）h(x)=|x-1|+|x-2|+|x-t|-sin(x)，当t∈(1,2)时，h(1)=t-sin(1)>0，h(2)=|t-1|-sin(2)<0，h(x)在(1,2)单调递减，必有一个零点；当x∈(0,1)时，h(x)单调递减；x∈(1,2)时，h(x)单调递增，若h(1)<0，则t<sin(1)+1，综上t∈(sin(1),1)。题3（15分）已知函数f(x)=e^x-ax²（a>0），（1）求f(x)的极值；（2）若曲线y=f(x)与直线y=kx+b在x=0和x=2处分别相切，求a的最小值。答案与解析（1）f'(x)=e^x-2ax，令g(x)=e^x-2ax，g'(x)=e^x-2a，当x=ln(2a)时，g(x)取极小值2a-2a·ln(2a)，若g(ln(2a))>0，f(x)无极值；若g(ln(2a))<0，x₁∈(-∞,ln(2a))，f(x)单调递减；x₂∈(ln(2a),+∞)，f(x)单调递增，极小值为f(ln(2a))=e^(ln(2a))-2a·ln²(2a)=2a-2a·ln²(2a)。（2）相切条件：f(0)=b，f'(0)=k⇒b=1，k=1，f(2)=e²-4a=2k+b⇒e²-4a=3，a=(e²-3)/4，最小值为1/4。题4（15分）已知函数f(x)=|x-1|+|x-a|（a∈R），（1）求f(x)的最小值及取得最小值时的x值；（2）若f(x)在(0,2)上的最大值为3，求a的取值范围。答案与解析（1）f(x)分段为：x∈(-∞,1]时，f(x)=a-2x+1；x∈(1,+∞)时，f(x)=2x-a-1。最小值在x=1处取得，为|a-1|。（2）当a∈(1,2)时，f(2)=a+1=3⇒a=2，矛盾；当a∈(2,+∞)时，f(2)=a-3=3⇒a=6；当a∈(-∞,1)时，f(0)=a-1=3⇒a=4，综上a∈{4,6}。二、解析几何与参数方程（3题，每题18分）题1（18分）已知椭圆C：x²/9+y²/4=1，过右焦点F作直线l交C于A,B两点，（1）求直线l的斜率范围；（2）若|AF|+|BF|=5，求直线l的方程。答案与解析（1）右焦点F(√5,0)，直线l斜率k≠0，设l：y=k(x-√5)，代入椭圆方程得(9k²+4)x²-18√5k²x+45k²-36=0，Δ>0⇒k²∈(0,4/9)，k∈(-2/3,2/3)。（2）设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，由韦达定理x₁+x₂=18√5k²/(9k²+4)，|AF|+|BF|=2a+2ex₁=5⇒x₁=(5-2)/2=1.5，解得k=±√6/12，l：y=±√6/12(x-√5)。题2（18分）已知双曲线x²/16-y²/9=1的右焦点为F，点P在双曲线上，（1）求|PF|的最小值；（2）若直线PF与圆x²+y²=4相切，求P点的坐标。答案与解析（1）右焦点F(5,0)，设P(x,y)，|PF|²=(x-5)²+y²=x²-10x+25+9(x²/16-1)=25/16x²-10x+16，x∈(-4,4)，|PF|取最小值时x=16/10=8/5，|PF|=4/5。（2）设直线PF：y=m(x-5)，代入圆方程得(x-5)²+m²(x-5)²=4，Δ=0⇒m²=4/25，P点坐标为(3,±3/5)。题3（18分）已知抛物线C：y²=2px（p>0）的焦点为F，点A在C上，（1）求C上任意一点到直线x=-1的距离的最小值；（2）若直线AF与C的另一交点为B，且|AF|=|BF|，求p的值。答案与解析（1）设A(t²/2p,t)，直线x=-1的距离d=t²/2p+1，当t=0时，d取最小值1。（2）设B(t₁²/2p,t₁)，由对称性t₁=-t，|AF|=√(1+p²)t²，|BF|=√(1+p²)t₁²，t₁=-t⇒p=1。三、数列与不等式综合（2题，每题20分）题1（20分）已知数列{a_n}满足a₁=1，a_(n+1)=(n+1)a_n/(n+a_n)，（1）求{a_n}的通项公式；（2）若对任意n≥2，不等式a_n≤log_(n+1)(n+1)恒成立，求k的最大值。答案与解析（1）a_(n+1)/a_n=(n+1)/(n+a_n)⇒a_(n+1)(n+a_n)=a_n(n+1)，累乘得a_n=n!/(n+a_1)=n!/n，a_n=(n-1)!。（2）a_n≤log_(n+1)(n+1)⇒(n-1)!≤(n+1)^(1/(n+1))，当n→∞时，右边趋于1，k≤1，最大值为1。题2（20分）已知正数数列{a_n}满足a₁=2，a_(n+1)=√(a_n+2)，（1）证明{a_n}单调递增；（2）若k>0，对任意n≥1，不等式a_n≤k+1/2^√n恒成立，求k的最小值。答案与解析（1）a_(n+1)²-a_n²=a_n+2-a_n=2>0⇒a_(n+