河北省邢台市2025-2026学年高一上学期期末数学试题（试卷+解析）

高一（上）学业水平调研数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A B.C. D.2.若第四象限角，则点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若，则“”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.5.若，，则的取值范围为（）A. B. C. D.6.设，若，则（）A. B. C. D.7.星等是衡量天体光度的量，星等值越小，星星越亮；星等值越大，星星越暗．以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足．若北极星与牛郎星的亮度之比为，则北极星的星等与牛郎星的星等之差为（）A.0.8 B. C. D.1.28.已知函数且函数有8个零点，则的取值范围是（）A B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A.B.为奇函数C.的最小正周期为D.点是图象的一个对称中心10.已知幂函数在上单调递增，函数．若，，，则的值可能是（）A.8 B.18 C.24 D.2711.已知实数，，满足，，且，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知某扇形的半径为，圆心角为2，则该扇形的面积为______．13.某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元．14.已知函数在上的最小值为，则的所有可能取值之和为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，．（1）求的值；（2）求值；（3）求的值．16.已知定义域为的函数是奇函数．（1）求的值；（2）求在上的值域；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．17.已知函数．（1）求的定义域与解析式；（2）利用单调性的定义证明在定义域内单调递增．18.已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中点的坐标为，点的坐标为．（1）求，，的值，并求的单调递增区间；（2）若，，，求的最小值；（3）已知在锐角三角形中，，求的最大值．19.已知定义在上的非常数函数满足，，．（1）若，求和的值．（2）证明：为偶函数．（3）设函数满足题意．（i）求的值．（ii）设函数，试问是否存在一组正数，，使得对任意的，均满足？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．高一（上）学业水平调研数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式求得集合，再由并集运算可得结果.【详解】易知集合，，则.故选：D2.若是第四象限角，则点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据的符号确定正确答案.【详解】由于是第四象限角，所以，所以在第二象限.故选：B3.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分性、必要性的概念求解即可.【详解】若，则由可得，所以由“”可以推出“”，由“”不一定有“”，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A4.已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用定义域的限制及函数的单调性列不等式组，解不等式组求出解集．【详解】已知是定义在上的增函数，不等式，则，解得，不等式的解集为，故A正确．故选：A．5.若，，则取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先设，得出结合二次函数的单调性得出最值即可求解.【详解】设，则，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取最小值，当时，取最大值，则的取值范围为.故选：C.6.设，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对平方后化简，利用结合二倍角公式求出，结合求出，代入检验，排除增根．【详解】已知，，则，解得，，，或，即或，当时，，舍去；当时，，符合题意；，故C正确．故选：C．7.星等是衡量天体光度的量，星等值越小，星星越亮；星等值越大，星星越暗．以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足．若北极星与牛郎星的亮度之比为，则北极星的星等与牛郎星的星等之差为（）A.0.8 B. C. D.1.2【答案】D【解析】【分析】设北极星与牛郎星的星等分别为，亮度分别为，根据定义得到即可．【详解】设北极星与牛郎星的星等分别为，亮度分别为，则，．故选：D．8.已知函数且函数有8个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分析分段函数，作函数图象，令，由图象得出有４个解的取值范围，把已知条件转化为在区间内有两个不同根，根据需要满足的条件列不等式组求解．【详解】当时，是开口向下的二次函数，对称轴为，，值域为，当时，，在处取得最小值2，当时，，当，；函数图象如下，令，则有8个零点，等价于方程的两个不同根使得和的解的个数和为8，由图象可知，当时，有4个解，要使总解数为8，需均在内，设，则需满足：，解得，的取值范围是，故B正确．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A.B.为奇函数C.的最小正周期为D.点是图象的一个对称中心【答案】BCD【解析】【分析】根据平移规则可得，即A错误，根据解析式可得其奇偶性和周期，可得BC正确，代入检验可知D正确.【详解】由题意知，即，即A错误，易知函数为奇函数，B正确，函数的最小正周期为，C正确，易知，则点是图象的一个对称中心，D正确.故选：BCD.10.已知幂函数在上单调递增，函数．若，，，则的值可能是（）A.8 B.18 C.24 D.27【答案】BC【解析】【分析】依据幂函数定义和其单调性可得，再利用指数函数单调性分别求出两函数值域，再由值域包含关系解不等式即可得出结果.【详解】由题意知，解得或；当时，函数在上单调递增，符合题意；当时，函数在上单调递减，不合题意；因此，由，可得,因为函数在上单调递增，若，可得，依题意可知，解得；所以，即的值可能是18，24.故选：BC11.已知实数，，满足，，且，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先得到，对于A，，可得，对于B，同理作商，得到，对于C由，，可得，对于D，由题可得，，进而得到，结合函数单调性，可得．详解】，，对于A，，，，则，即，所以，对于B，，，故B正确；对于C，，，，即，故C错误；对于D，，，，，得，即，函数

增长率大于

的增长率，要产生相同的差值，自变量增量满足，，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知某扇形的半径为，圆心角为2，则该扇形的面积为______．【答案】6【解析】【分析】根据扇形面积公式直接计算即可.【详解】易知半径，圆心角，所以扇形面积为.故答案为：6.13.某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元．【答案】①.②.【解析】【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】，等号成立时，故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元.故答案为：；14.已知函数在上的最小值为，则的所有可能取值之和为______．【答案】6【解析】【分析】由题意建立的不等式，利用，解出的值，再一一验证即可.【详解】令，由于正弦函数的值域为

，故

的范围是

，故需满足，即

，又因为，故可能的取值为

.当

时，由，则

，在

上，

单调递增，最小值为

，故的最小值为

，而

，符合题意；当时，由，得，在

上，在上单调递增，在单调递减，所以最小值为

，故的最小值为

，，符合题意；当

时，由，得，在

上，在上单调递增，在单调递减，所以的最小值为

，故

的最小值为

，，符合题意.综上：

的值为

，其和为

.故答案为：6四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据二倍角的正切公式计算可得结果.（2）易知，再根据两角差的正切公式计算即可；（3）利用诱导公式将表达式化简，再由同角关系利用齐次式计算得出结果.【小问1详解】由可得【小问2详解】由可得；【小问3详解】易知16.已知定义域为的函数是奇函数．（1）求的值；（2）求在上的值域；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据奇函数可得，解得，再进行检验即可；（2）先判断的单调性，利用单调性求值域即可；（3）根据的单调性和奇偶性求解即可.【小问1详解】因为是定义域为的奇函数，所以，所以，所以因为，所以是奇函数，符合题意，即；【小问2详解】为增函数，且恒为正数，为减函数，即为减函数，又，所以在上的值域为；【小问3详解】为奇函数且单调递减，又，，在上恒成立，，所以的取值范围为．17.已知函数．（1）求的定义域与解析式；（2）利用单调性的定义证明在定义域内单调递增．【答案】（1），定义域为.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用换元法求得函数解析式，解不等式求得其定义域；（2）根据复合函数单调性定义按步骤证明即可得出结论.【小问1详解】令，则,可得，则，解得，又，则，解得,所以的解析式为，定义域为.【小问2详解】设，则,设，则,因，则，可得，即在上单调递增，又在上单调递增，所以，即，所以在定义域内单调递增.18.已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中点的坐标为，点的坐标为．（1）求，，的值，并求的单调递增区间；（2）若，，，求的最小值；（3）已知在锐角三角形中，，求的最大值．【答案】（1），，；单调递增区间为（2）（3）【解析】【分析】（1）根据函数图象可求得周期，即可计算出，结合点的坐标进而可求得和的值，并求出单调递增区间；（2）求出函数在区间上的值域，再由不等式恒成立计算可得的最小值；（3）根据锐角三角形由可得，可知，再将代入并利用辅助角公式以及正弦函数值域计算可得结果.【小问1详解】由题意知，，得，则函数，又，可得，又，当时，，即函数，令，解得所以的单调递增区间为.【小问2详解】因，，则，可得,所以，即的最小值为.【小问3详解】由可得，即；又因为，所以，因此，可得；由可得，又易知，所以可得；因此，由可得，易知当时，即时，取得最大值为；所以的最大值为.19.已知定义在上的非常数函数满足，，．（1）若，求和的值．（2）证明：为偶函数．（3）设函数满足题意．（i）求的值．（ii）设函数，试问是否存在一组正数，，使得对任意的，均满足？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）证明见解析（3）（i）2；（ii）存在，【解析】【分析】（1）利用赋值法，令求出，再令求出；（2）利用赋值法推导出；（3）（i）把代入原方程，根据三角函