中考数学几何专项复习材料及习题集

中考数学几何专项复习材料及习题集同学们，大家好。几何，作为中考数学的重要组成部分，常常让不少同学感到头疼。它不仅要求我们对基本概念、性质和定理有清晰的理解，还需要我们具备较强的空间想象能力和逻辑推理能力。这份材料旨在帮助大家系统梳理中考几何的核心知识点，归纳常用的解题方法与技巧，并通过适量的习题练习，提升大家解决几何问题的实战能力。希望同学们能沉下心来，仔细研读，结合练习，争取在几何部分取得突破。一、几何基础知识回顾与梳理万丈高楼平地起，扎实的基础是解决一切几何问题的前提。我们先来回顾一下初中阶段几何的核心基础知识。（一）图形的认识1.点、线、面、体：这是构成几何图形的基本元素。点动成线，线动成面，面动成体。要理解它们之间的联系与区别。2.直线、射线、线段：*直线：没有端点，可以向两端无限延伸，经过两点有且只有一条直线。*射线：有一个端点，可以向一端无限延伸。*线段：有两个端点，有具体的长度。两点之间，线段最短。3.角：*定义：由公共端点的两条射线组成的图形。*分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。*相关概念：余角（和为直角）、补角（和为平角）、对顶角（相等）、邻补角。4.相交线与平行线：*相交线：对顶角相等，邻补角互补。垂线的性质（垂线段最短，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）。*平行线的判定与性质：这是重点，也是易错点。要区分清楚“判定”是由角的关系得到线平行，“性质”是由线平行得到角的关系。*判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。*性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。（二）三角形三角形是平面几何中最基本也最重要的图形，是很多复杂图形的基础。1.三角形的基本概念：边、角、顶点、中线、高线、角平分线、中位线。*三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。*三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。推论：直角三角形两锐角互余；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。2.全等三角形：*定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。*性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。（对应边上的中线、高线、对应角的平分线也分别相等）*判定定理：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、HL（斜边、直角边，适用于直角三角形）。*全等是证明线段相等、角相等的重要工具。3.相似三角形：*定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。*性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。*判定定理：*平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。*两角分别相等的两个三角形相似。*两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。*三边成比例的两个三角形相似。*斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。4.特殊三角形：*等腰三角形：两腰相等，两底角相等（等边对等角）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。*等边三角形：三边相等，三个角都等于60°。具有等腰三角形的所有性质，且有更多特殊性质。*直角三角形：*两锐角互余。*勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。其逆定理也成立。*30°角所对的直角边等于斜边的一半。*斜边上的中线等于斜边的一半。（三）四边形1.四边形的基本概念：内角和为360°，外角和为360°。2.平行四边形：*定义：两组对边分别平行的四边形。*性质：对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分。*判定：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分。3.特殊的平行四边形：*矩形：有一个角是直角的平行四边形。*性质：具有平行四边形的所有性质；四个角都是直角；对角线相等。*判定：有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；三个角是直角的四边形。*菱形：有一组邻边相等的平行四边形。*性质：具有平行四边形的所有性质；四条边都相等；对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。*判定：有一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边都相等的四边形。*正方形：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形（既是矩形又是菱形）。*性质：兼具矩形和菱形的所有性质。*判定：既是矩形又是菱形的四边形。4.梯形：（注：部分教材可能将梯形定义调整，但中考仍可能涉及）*定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。（或：一组对边平行且不相等的四边形）。*等腰梯形：两腰相等的梯形。*性质：同一底上的两个角相等；对角线相等。*判定：两腰相等的梯形；同一底上的两个角相等的梯形。*直角梯形：有一个角是直角的梯形。（四）圆圆是平面几何中的完美图形，涉及的知识点较多。1.圆的基本概念：圆心、半径、直径、弦、弧（优弧、劣弧）、圆心角、圆周角、弦心距。2.圆的基本性质：*圆的对称性：既是中心对称图形（对称中心为圆心），又是轴对称图形（对称轴为任意一条过圆心的直线）。*垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。及其推论。*圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。*圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。*推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。3.点与圆、直线与圆的位置关系：*点与圆：点在圆外、圆上、圆内（d>r,d=r,d<r）。*直线与圆：相离、相切、相交（d>r,d=r,d<r）。*切线的性质与判定：*性质：圆的切线垂直于过切点的半径。*判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（证明切线常用：连半径，证垂直；作垂直，证半径）4.圆与圆的位置关系：（了解，部分地区可能不考或考得较少，视当地考纲而定）外离、外切、相交、内切、内含。二、常用的几何辅助线作法辅助线是解决几何问题的“桥梁”，恰当的辅助线能使复杂问题简单化。以下是一些常见的辅助线作法：1.中点相关辅助线：*遇到三角形一边中点，考虑“倍长中线法”构造全等三角形或平行四边形。*遇到多个中点，考虑构造“三角形中位线”，利用中位线平行且等于第三边一半的性质。*直角三角形斜边中点，连接斜边中线，利用其等于斜边一半的性质。2.角平分线相关辅助线：*过角平分线上一点向角的两边作垂线，利用角平分线性质（到两边距离相等）。*在角的两边截取相等线段，构造全等三角形。3.垂直平分线相关辅助线：连接垂直平分线上的点与线段两端点，利用其到两端点距离相等的性质。4.截长补短法：证明线段和差关系时常用。在较长线段上截取一段等于某短线段，或延长某短线段使其等于较长线段，再证明余下部分相等。5.梯形中的辅助线：*平移一腰，将梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。*平移对角线，将梯形转化为三角形。*过上底两端点作下底的高，将梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。*延长两腰交于一点，构造相似三角形。6.圆中的辅助线：*见半径、直径：常连接半径，或构造直径所对的圆周角（直角）。*见切线：连圆心和切点，得垂直关系。*两圆相交：连公共弦。*两圆相切：连圆心距（连心线）。三、几何证明题的常用思路与方法1.综合法：从已知条件出发，根据已学过的定义、公理、定理，逐步推出要证的结论。这是最常用的方法。2.分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）。3.两头凑法：综合法与分析法结合使用，从已知看可知，从结论看需知，逐步靠拢。4.反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。（多用于证明“不平行”、“不相等”、“不存在”等）5.面积法：利用图形面积的不同表示方法，列出等量关系，从而解决问题。常用于证明线段相等、比例式等。在证明过程中，要注意：*书写规范，逻辑清晰，“∵”“∴”的使用要准确。*每一步推理都要有依据（定义、公理、定理）。*注意图形语言、符号语言、文字语言的结合。四、典型例题精析例题1：已知，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上。求证：BE=CE。分析：本题考查等腰三角形的性质。已知AB=AC，D是BC中点，易想到等腰三角形“三线合一”，即AD既是中线也是顶角平分线和底边上的高。要证BE=CE，可考虑证明△ABE≌△ACE，或证明AD是BC的垂直平分线，利用垂直平分线性质。证明：（方法一：利用全等）∵AB=AC，D是BC中点∴∠BAE=∠CAE（等腰三角形三线合一）在△ABE和△ACE中，AB=AC∠BAE=∠CAEAE=AE∴△ABE≌△ACE(SAS)∴BE=CE（方法二：利用垂直平分线）∵AB=AC，D是BC中点∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）即AD是线段BC的垂直平分线又∵点E在AD上∴BE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）例题2：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点。求证：四边形BFDE是平行四边形。分析：要证四边形BFDE是平行四边形，可根据平行四边形的判定方法。已知ABCD是平行四边形，故AD//BC且AD=BC。E、F分别是AD、BC中点，则ED=1/2AD，BF=1/2BC，从而ED=BF，且ED//BF，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证。证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BC，AD=BC∵E、F分别是AD、BC的中点∴ED=1/2AD，BF=1/2BC∴ED=BF又∵ED//BF(由AD//BC可得)∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）五、习题集（一）基础巩固题1.一个三角形的两边长分别为3和5，则第三边的取值范围是________。2.若等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角的度数为________。3.菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的边长为________，面积为________。4.如图，AB//CD，∠1=50°，则∠2=________度。（请自行脑补一个简单的平行线被截模型图）5.直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边上的高为________。6.已知△ABC∽△DEF，相似比为2:3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为________。7.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A=30°，则∠BOC=________度。（请自行脑补一个圆及直径所对三角形的图）8.证明：等腰三角形两底角的平分线相等。（要求：写出已知、求证、证明）（二）能力提升题1.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE。求证：AD=AE。（请自行脑补一个等腰三角形，底边BC上有两点D、E）2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE=3∠BAE，求∠EAC的度数。3.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E。若AB=6cm，求△DEB的周长。4.如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，EF//AB，DF//BE。（1）求证：DF=AE；（2）若∠ABE=30°，∠C=45°，BC=3√2，求EF的长。（此问可暂不做，视复习进度而定）六、参考答案与提示（部分）（一）基础巩固题1.2<第三边<8(三角形三边关系)2.80°(180°-50°×2)3.5，24(菱形边长用勾股定理：(6/2)^2+(8/2)^2=边长^2；面积=对角线乘积的一半)4.