《利用导函函数研究函数的性质》知识训练

第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页《利用导函函数研究函数的性质》知识训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单项选择题（共4题，20分）1.(5分)已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是()A.f(b)>f(c)>f(d) B.f(b)>f(a)>f(e)C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(e)>f(d)2.(5分)设函数f(x)在R上可导,其导函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图象可能是()A. B.C. D.3.(5分)已知定义在R上的函数f(x),其导函数为f'(x),若f'(x)-f(x)<-4,f(x)=5,则不等式f(x)>ex+4的解集是()A.(-∞,-1] B.(0,+∞) C.(-∞,0) D.(1,+∞)4.(5分)设函数f(x)在定义域R上可导,其导函数为f'(x),若函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)二、解答题（共5题，50分）5.(10分)已知f(x)=a(x-lnx)+,a>0.讨论f(x)的单调性.6.(10分)已知函数f(x)=lnx-ax2-2x(a≠0).(1)若函数f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围(2)若函数f(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围.7.(10分)已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1,仅当x=-1,x=1时取得极值,且极大值比极小值大4.(1)求a、b的值(2)求f(x)的极大值和极小值.8.(10分)已知函数f(x)=x3-ax2,a∈R.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程(2)讨论f(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.9.(10分)已知函数f(x)=(x-k)ex.求f(x)的极值.《利用导函函数研究函数的性质》知识训练答案一、单项选择题1.【答案】C【解析】利用导数图象判断函数的增减性,导函数图象看正负,原函数图象看增减,结合函数的特殊点观察图象.对其进行直接推理,解释问题.当x∈(-∞,c)时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,c)上是增函数,因为a<b<c,所以f(c)>f(b)>f(a).2.【答案】C【解析】由函数f(x)在x=-2处取得极小值可知x<-2时,f'(x)<0,则xf'(x)>0;x>-2时,f'(x)>0,则-2<x<0时,xf'(x)<0,x>0时,xf'(x)>0.3.【答案】C【解析】利用函数的单调性解不等式,关键掌握常见的构造函数的模型,对其进行直接推理.构造函数g(x)=-.有g(0)=1,则g'(x)=+=<0.所以g(x)在R上为减函数.则不等式f(x)>ex+4等价于->1,即g(x)>g(0).所以x<0.4.【答案】D【解析】由题图可知,当x<-2时,f'(x)>0;当x=-2时,f'(x)=0;当-2<x<1时,f'(x)<0;当1<x<2时,f'(x)<0;当x=2时,f'(x)=0;当x>2时,f'(x)>0.由此可得函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.二、解答题5.【答案】【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a--+==(x-)(x+).(1)当0<a<2时,>1,当x∈(0,1)或x∈(,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.(2)当a=2时,在x∈(0,-∞)内,f'(x)≥0,f(x)单调递增.(3)当a>2时,0<<1,当x∈(0,1)或x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.综上所述,当0<a<2时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,)内单调递减,在(+∞)内单调递增;当a=2时,f(x)在(0,+∞)内单调递增;当a>2时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(,+∞)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.6.【答案】【解析】(1)f(x)=lnx-ax2-2x,x∈(0,+∞),所以f'(x)=-ax-2,由于f(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,所以当x∈(0,+∞)时,-ax-2<0有解.即a>-有解,设G(x)=-,所以只要a>G(x)min即可.而G(x)=(-1)2-1,所以G(x)min=-1.所以a>-1.(2)由f(x)在[1,4]上单调递减得,当x∈[1,4]时,f'(x)=-ax-2≤0恒成立,即a≥-恒成立.所以a≥G(x)max,而G(x)=(-1)2-1,因为x∈[1,4],所以∈[,1],所以G(x)max=-(此时x=4),所以a≥-,即a的取值范围是[-,+∞).7.【答案】【解析】(1)考查f'(x)、f(x)随x的变化情况:由此可知,当x=-1时取极大值;当x=1时取得极小值.∴f(-1)-f(1)=4,即[(-1)5+a(-1)3+b(-1)+1]-(15+a⋅13+b⋅1+1)=4.解得(2)∵a=-1,b=-2,∴f(x)=x5-x3-2x+1.∴f(x)的极大值f(x)极大=f(-1)=3;f(x)的极小值f(x)极小=f(1)=-1.8.【答案】【解析】(1)由题意f'(x)=x2-ax,所以,当a=2时,f(3)=0,f'(x)=x2-2x,所以f'(x)=3,因此,曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因为f'(x)=x2-ax=x(x-a),①a=0时,f'(x)=x2≥0,f(x)在R上单调递增;②a>0时,令f'(x)>0,得x>a或x<0,所以f(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增;令f'(x)<0,得0<x<a,所以f(x)在(0,a)上单调递减,所以当x=0时,f(x)取到极大值,极大值是f(0)=0.当x=a时,f(x)取到极小值,是f(a)=-a3.③a<0时,令f'(x)=0,得x1=a<x2=0,所以f(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,所以当x=a时,f(x)取得极大值,极大值为f(a)=-a3,当x=0时,f(x)取到极小值是f(0)=0.9.【答案】【解析】f'(x)=(x-k+1)ex.令f'(x)=0,得x=k-1.当x变化时,f(x)与f'(x)的变化情况如下表:所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1),单调递增区间是(k-1,+∞).所以f(x)在x=k-1处取得极小值,f(k-1)=-ek-1,无极大值.当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;当0<k-1<1,即1<k<2时,因为f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值