《利用导函函数研究函数的性质》能力训练

第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页《利用导函函数研究函数的性质》能力训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单项选择题（共1题，5分）1.(5分)若函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在区间[1,4]上为减函数,在区间[6,+∞]上为增函数,则实数a的取值范围是()A.(-∞,5)B.[5,7]C.(7,+∞)D.(-∞,5]∪(7,+∞]二、解答题（共6题，60分）2.(10分)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-处取得极值.(1)确定a的值(2)若g(x)=f(x)ex,求函数g(x)的单调减区间.3.(10分)已知f(x)=x3+x2+ax+1(a∈R)求函数的单调区间.4.(10分)已知函数f(x)=lnx.(1)求f(x)图象的过点P(0,-1)的切线方程(2)若函数g(x)=f(x)-mx+存在两个极值点x1,x2,求m的取值范围.5.(10分)已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数.(1)当a=-1时,求f(x)的最大值(2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值.6.(10分)在某次水下科研考察活动中,需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业,根据以往经验,潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间),每单位时间的用氧量为()3+1(升),在水底作业10个单位时间,每单位时间用氧量为0.9(升),返回水面的平均速度为(米/单位时间),每单位时间用氧量为1.5(升),记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升).(1)求y关于v的函数关系式(2)若c≤v≤15(c>0),求当下潜速度v取什么值时,总用氧量最少.7.(10分)已知函数f(x)=ex-kx-m(k、m为实数,e为自然对数的底数,e≈2.71828).(1)求函数f(x)的单调区间(2)当k=2,m=1时,判断函数f(x)零点的个数并证明.《利用导函函数研究函数的性质》能力训练答案一、单项选择题1.【答案】B【解析】方法一:f'(x)=x2-ax+a-1,由f'(x)=0得x=1或x=a-1.当a-1≤1,即a≤2时,对于任意的x∈[1,+∞),f'(x)≥0,即函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,不符合题意;当a-1>1,即a>2时,函数f(x)在(-∞,1]和[a-1,+∞)上单调递增,在[1,a-1]上单调递减,依题意[1,4]⊆[1,a-1]且[6,+∞)⊆[a-1,+∞),从4≤a-1≤6,故5≤a≤7.综上,实数a的取值范围为[5,7].方法二:f'(x)=x2-ax+a-1,依题意,得f'(x)≤0在[1,4]上恒成立,且f'(x)≥0在[6,+∞)上成立,由f'(x)=0得x=1或x=a-1,故4≤a-1≤6,即5≤a≤7.故所求实数a的取值范围为[5,7].二、解答题2.【答案】【解析】(1)对f(x)求导得f'(x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=-处取得极值,所以f'(-)=0,即3a⋅(-)2+2⋅(-)=-=0,解得a=.(2)由(1)得g(x)=(x3+x2)ex,故g'(x)=x(x+1)(x+4)ex.令g'(x)<0,即x(x+1)(x+4)<0,解得-1<x<0或x<-4,所以g(x)的单调减区间为(-1,0),(-∞,-4).3.【答案】【解析】f'(x)=x2+2x+a,方程x2+2x+a=0的根的判别式Δ=4-4a=4(1-a),若a≥1,则Δ≤0,f'(x)=x2+2x+a≥0,所以f(x)在R上单调递增.若a<1,则Δ>0,方程x2+2x+a=0有两个不同的实数根x1=-1-,x2=-1+.当x<x1或x>x2时,f'(x)>0;当x1<x<x2时,f'(x)<0.综上可知,当a≥1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).当a<1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞).单调递减区间为(-1-,-1+).4.【答案】【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=.设切点坐标为(x0,lnx0),则切线方程为y=x+lnx0-1.把点P(0,-1)代入切线方程,得lnx0=0,∴x0=1.∴过点P(0,-1)的切线方程为y=x-1.(2)因为g(x)=f(x)-mx+=lnx-mx+(x>0),所以g'(x)=-m-==-,令h(x)=mx2-x+m,要使g(x)存在两个极值点x1,x2,则方程mx2-x+m=0有两个不相等的正数根x1,x2.故只需满足即可,解得0<m<1.5.【答案】【解析】(1)易知f(x)的定义域为(0,+∞),当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f'(x)=-1+=,令f'(x)=0,得x=1.当0<x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0.∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数.∴f(x)max=f(1)=-1.∴当a=-1时,函数f(x)在(0,+∞)上的最大值为-1.(2)f'(x)=a+,x∈(0,e],∈[,+∞).①若a≥-,则f'(x)≥0,从而f(x)在(0,e]上是增函数,∴f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不合题意.②若a<-,令f'(x)>0得a+>0,结合x∈(0,e],解得0<x<-;令f'(x)<0得a+<0,结合x∈(0,e],解得-<x≤e.从而f(x)在(0,-)上为增函数,在(-,e]上为减函数,∴f(x)max=f(-)=-1+ln(-).令-1+ln(-)=-3,得ln(-)=-2,即a=-e2.∵-e2<-,∴a=-e2为所求.故实数a的值为-e2.6.【答案】【解析】(1)由题意,下潜用时(单位时间),用氧量为[()3+1]×=+(升),水底作业时的用氧量为10×0.9=9(升),返回水面用时=(单位时间),用氧量为×1.5=(升),因此总用氧量y=++9(v>0).(2)y'=-=,令y'=0得v=,当0<v<时,y'<0,函数单调递减;当v>时,y'>0,函数单调递增.若c<,函数在(c,)上单调递减,在(,15)上单调递增,∴当v=时,总用氧量最少.若c≥,则y在[c,15]上单调递增,∴当v=c时,这时总用氧量最少.7.【答案】【解析】(1)f'(x)=ex-k,①k≤0时,f'(x)>0恒成立,故f(x)的单调递增区间(-∞,+∞),没有单调递减区间;②k>0时,易得,当x>lnk时,f'(x)>0,当x<lnk时,f'(x)<0,故函数的单调递增区间(lnk,+∞),单调递减区间(-∞,lnk).(2)当k=2,m=1时,f(x)=ex-2x-1的零点个数为2个