河北省八校2026届高三年级上学期1月模拟考试数学试题（含答案）

河北省八校2026届高三年级上学期1月模拟考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数z满足，则的虚部为（）A.1 B.2 C. D.3.已知，则（）A.0 B. C. D.4.如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，P是弧的中点，则异面直线与所成角的大小为（）A. B. C. D.5.主动降噪耳机通过产生与噪声相位相反、振幅相同的声波实现降噪．若噪声声波曲线为，，则理想抗噪声波曲线为．现因系统处理延迟，实际抗噪声波曲线为则下列选项中，使合成声波曲线（合成声波曲线＝噪声声波曲线＋抗噪声波曲线）的振幅最接近的的取值为（）A. B. C. D.6.已知中，，，若G为的重心，则的最大值为（）A.4 B.3 C. D.7.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作与C的一条渐近线平行的直线，交C的左支于点P，且，则C的离心率为（）A. B. C. D.8.已知函数，有4个不同的实数根，，，，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知一组样本数据为7，1，3，4，5，1，5，6，则下列说法中正确的是（）A.这组数据极差是5 B.这组数据的中位数是4.5C.这组数据的第80百分位数是5.5 D.这组数据的方差是4.2510.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过且斜率为的直线与交于点（在第一象限），过点作轴，为垂足，若，则下列说法中正确的是（）A. B.C. D.点共圆11.（多选）已知数列满足，，，则下列说法中正确的是（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等差数列满足，则______．13.的展开式中的系数为______．14.已知，，，则的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角的对边分别为，，，．（1）求；（2）若为上一点，且，求．16.如图，多面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，，，，，．（1）求三棱锥的外接球球心的位置．（2）线段CD上是否存在一点M，使得二面角为直二面角？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．17.已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若有2个极值点，且极大值为正数，求的取值范围.18.一个不透明袋子中装有大小、材质均相同的3个白球和2个红球．有放回地进行摸球，每次摸1个球，若摸到白球，再往袋子中放入1个大小、材质均相同的白球；若摸到红球，再往袋子中放入1个大小、材质均相同的红球．（1）求第2次摸球时，摸到白球的概率；（2）求第n次摸球时，摸到红球的概率．19.定义：在一个椭圆中，椭圆的任意两条相互垂直的切线，其交点的轨迹在一个圆上，这个圆是以椭圆的中心为圆心，以椭圆的长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根为半径的圆，称为蒙日圆．已知椭圆．（1）利用定义写出的蒙日圆的标准方程．（不需要证明）（2）已知点为圆上任意一点，过点作的两条切线，切点分别为,为坐标原点，直线交于两点，且点和点在点的同侧．（ⅰ）是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（ⅱ）设点到直线的距离分别为，，求证：为定值．参考公式：椭圆上一点处的切线方程为．参考答案1-8【答案】C【答案】B【答案】A【答案】C【答案】A【答案】D【答案】B【答案】C9.【答案】BD10.【答案】ACD11.【答案】ACD12.【答案】813.【答案】14.【答案】15.【小问1】中，，由余弦定理得：，即，解得.【小问2】在中，，由余弦定理得：.在中，，由余弦定理得：.即，得.又，所以.故.16.【小问1】因为，，，平面ABCD，，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，由题可得，，则，，又，在中，由余弦定理可得，由，可得，因为，平面，，所以平面，又平面，所以，取的中点，由和是直角三角形，知到，，，四点的距离相等，所以三棱锥的外接球球心为的中点.【小问2】由题可得，，两两垂直，故以为坐标原点，分别以为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，假设存在点M满足题意，设，，则，设平面的一个法向量为，则，故可取设平面的法向量，则，故可取.因为二面角为直二面角，所以，即，解得，所以M为上靠近点的四等分点.故存在一点M，使得二面角直二面角，此时M为上靠近点的四等分点.17.【小问1】依题意，，，当时，，由，得，所以在上单调递增；由，得，所以在上单调递减；当时，由，得，或，①当，即时，由，得或，所以在，上单调递增；由，得，所以在上单调递减；②当，即时，，所以在上单调递增；③当，即时，由，得或，所以在，上单调递增；由，得，所以在上单调递减；综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；【小问2】因为有2个极值点，且极大值为正数，所以有两个不同的正根；由（1）知，或；当时，的极大值点是；令，则；因为，所以，所以的极大值为；设，则，所以在上单调递增；又，，即，所以，即，解得；当时，的极大值点是，的极大值为；因为，所以，因此符合题意；综上，的取值范围是或.18.【小问1】根据题意，若第一次摸出红球，则第二次摸出白球的概率；若第一次摸出白球，则第二次摸出白球的概率.综上，第二次摸出白球的概率.【小问2】设第次摸球时，摸到红球为事件，则.当时，，第1次摸球时袋子中有5个球，之后每次摸球时袋子中都会比上次增加1个球，所以第次摸球时袋子中有个球.设第次摸球时红球的数量为，则，得，所以.同理可得，所以，所以.综上，第次摸球时，摸到红球的概率为.19【小问1】由椭圆知，长半轴长与短半轴长，由蒙日圆定义知，半径，所以的蒙日圆的标准方程为.【小问2】（ⅰ）如图所示，设，，，，,中点为，中点为，依题意，切线，切线，则，所以直线方程为，联立，消去得，则，即知，所以中点.当都不为0时，设直线方程为，代入椭圆方程得，整理得，则，解得，由点和点