初一数学动点问题例题集

初一数学动点问题例题集动点问题，一直是初中数学学习中的一个难点，也是中考的热点。它主要考查同学们对图形性质、运动变化规律以及数形结合思想的综合运用能力。初接触这类问题时，很多同学会觉得无从下手，感觉点在动，图形在变，难以捕捉其中的关系。其实，解决动点问题，关键在于“化动为静”，用字母表示出动点的位置，将动态问题转化为静态的代数或几何问题来处理。同时，要善于抓住运动过程中的不变量和特殊位置，进行分类讨论。下面，我将通过一些典型例题，和同学们一起探讨初一阶段常见的动点问题的解题思路与方法。一、数轴上的动点问题数轴是初中数学引入“数形结合”思想的重要工具，数轴上的动点问题也是入门级的动点问题，主要涉及点的表示、两点间的距离、点的运动速度与时间的关系等。例题1：单点运动，求表示的数题目：已知数轴上点A表示的数为-2，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动。（1）当运动时间t=1秒时，点P表示的数是多少？（2）运动t秒后，点P表示的数是多少？（用含t的代数式表示）分析：这道题比较基础，主要考查点在数轴上的运动。点P从A点（-2）出发，沿正方向运动，速度是每秒3个单位长度。那么，t秒后，它向右移动的距离就是3t个单位长度。解答：（1）当t=1秒时，点P向右移动了3×1=3个单位长度。因为是从-2出发，所以点P表示的数是-2+3=1。（2）运动t秒后，点P向右移动了3t个单位长度，所以点P表示的数是-2+3t。小结：数轴上点的运动，向右为加，向左为减。用起始点表示的数加上（或减去）运动的距离，即可得到运动后点表示的数。例题2：双点运动，求相遇或距离题目：数轴上有A、B两点，点A表示的数为4，点B表示的数为-1。（1）若点A、B同时出发，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动。经过多少秒后，A、B两点相遇？（2）在（1）的条件下，相遇点所表示的数是多少？分析：这是一个典型的相遇问题。A、B两点相向而行（A左B右），它们初始时相距的距离是可以求出来的。我们需要找到一个时间t，使得A、B两点移动的距离之和等于它们初始的距离。解答：（1）首先，计算A、B两点初始的距离。因为点A表示4，点B表示-1，所以AB=|4-(-1)|=|4+1|=5个单位长度。设经过t秒后，A、B两点相遇。点A向左运动，t秒后移动的距离为2t，此时点A表示的数为4-2t。点B向右运动，t秒后移动的距离为3t，此时点B表示的数为-1+3t。相遇时，两点表示的数相同，所以：4-2t=-1+3t移项，得：4+1=3t+2t5=5t解得：t=1所以，经过1秒后，A、B两点相遇。（2）将t=1代入点A（或点B）运动后的表达式，得：点A表示的数为4-2×1=2。所以，相遇点所表示的数是2。例题3：数轴上的动点与线段长度题目：已知数轴上有A、B两点，A点表示的数为-3，B点表示的数为5。点P是数轴上一个动点，其表示的数为x。（1）若点P到A、B两点的距离相等，求x的值。（2）若点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动。设运动时间为t秒。①用含t的代数式表示点P和点Q所表示的数。②当t为何值时，线段PQ的长度为4？分析：第（1）问是中点问题。第（2）问涉及两个动点，需要分别表示出它们在t时刻的位置，然后根据两点间距离公式列出方程求解。注意，线段PQ的长度为4，意味着|P-Q|=4（或|Q-P|=4）。解答：（1）因为点P到A、B的距离相等，所以点P是线段AB的中点。根据中点公式，x=(-3+5)/2=2/2=1。所以，x的值为1。（2）①点P从原点O（表示0）出发，向左运动，速度为每秒2个单位长度，t秒后，点P表示的数为0-2t=-2t。点Q从A点（表示-3）出发，向右运动，速度为每秒1个单位长度，t秒后，点Q表示的数为-3+1×t=t-3。②PQ的长度为|点P表示的数-点Q表示的数|=|(-2t)-(t-3)|=|-2t-t+3|=|-3t+3|=|3-3t|。依题意，PQ=4，所以|3-3t|=4。则有3-3t=4或3-3t=-4。当3-3t=4时，-3t=1，t=-1/3。（时间不能为负，舍去）当3-3t=-4时，-3t=-7，t=7/3。所以，当t=7/3秒时，线段PQ的长度为4。说明：在解决动点问题时，遇到绝对值方程，要考虑到多种可能性，但也要注意实际情况，比如时间不能为负数，所以不合题意的解要舍去。二、平面直角坐标系中的动点问题在平面直角坐标系中，动点问题更为复杂，涉及到点的横纵坐标的变化、图形的平移、面积的计算等。例题4：坐标系中动点的坐标表示与线段长度题目：如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(0,2)。点P从点O(0,0)出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒。（1）直接写出t秒后点P的坐标。（2）连接PA、PB，用含t的代数式表示线段PA和PB的长度。（3）在点P运动过程中，△PAB的面积是否发生变化？若不变，求出其面积；若变化，请说明理由。分析：第（1）问简单。第（2）问，根据平面直角坐标系中两点间距离公式（初一阶段主要是坐标轴上或平行于坐标轴的线段长度，可直接用坐标差的绝对值表示）。第（3）问，判断三角形面积是否变化，关键看底边和高是否变化。解答：（1）点P从O(0,0)出发，沿x轴正方向运动，速度为每秒1个单位长度，t秒后，点P的坐标为(t,0)。（2）点A的坐标为(1,0)，点P的坐标为(t,0)。因为A、P两点都在x轴上，所以PA的长度为|t-1|。点B的坐标为(0,2)，点P的坐标为(t,0)。过点B作x轴的垂线，垂足为O，过点P作y轴的垂线，垂足也为O，所以PB的长度可在Rt△POB中用勾股定理求得：PB=√(t²+2²)=√(t²+4)。（若未学勾股定理，可表述为线段PB的长度为√(t²+4)）（3）△PAB的面积不变。理由：以PA为底边，点B到x轴的距离为高。点B到x轴的距离就是其纵坐标的绝对值，即2。PA的长度为|t-1|，但三角形面积S=1/2×底×高。这里需要注意，无论点P在点A的左侧还是右侧，PA的长度都是|t-1|，而点B到PA所在直线（x轴）的距离始终是2。所以S△PAB=1/2×|t-1|×2=|t-1|。哎？等等，这看起来是变化的啊？难道我分析错了？哦，不对！再仔细想想，△PAB的三个顶点是P(t,0)、A(1,0)、B(0,2)。我们换一种思路，以AB为底？或者以OA为底？或者，用割补法。比如，用梯形OABP的面积减去△OAP和△OBP的面积？好像更复杂了。重新审视，点A(1,0)，点B(0,2)，点P(t,0)。△PAB的面积可以看作是△OAB和△OBP的面积之差（当P在A右侧时），或者△OAP和△OAB的面积之差（当P在A左侧时）？或者，更简单的，以AP为底边，高是点B到x轴的距离2。当P在A点左侧（t<1）时，AP=1-t，面积S=1/2×(1-t)×2=1-t。当P在A点右侧（t>1）时，AP=t-1，面积S=1/2×(t-1)×2=t-1。当t=1时，面积为0。这么看来，面积确实是随着t的变化而变化的。我刚才的第一反应是错误的。那么，问题出在哪里呢？原来，当我选择PA为底边时，这个底边的长度本身是随t变化的，所以面积会变化。看来，我的初始判断有误。那么，正确的结论应该是：△PAB的面积会发生变化，其面积为|t-1|。说明：这个例题的第（3）问，我故意模拟了一个可能的思考过程，旨在说明审题和分析的重要性。有时候，直观感觉可能会出错，需要严格按照公式和定义进行推导。在这个问题中，由于点P在运动，底边PA的长度在变化，所以面积是变化的。例题5：动点与图形面积题目：在平面直角坐标系中，点A(-1,0)，点B(3,0)，点C(0,3)。点P是线段BC上一个动点（不与B、C重合），过点P分别作PD⊥x轴于D，PE⊥y轴于E。设点P的横坐标为m。（1）求直线BC的解析式（用含x的代数式表示y）。（提示：设y=kx+b，代入B、C两点坐标求解）（2）用含m的代数式表示矩形PDOE的面积S，并求出S的最大值。分析：第（1）问是一次函数解析式的求解，为后续表示点P的坐标做准备。第（2）问，点P在BC上，其横纵坐标满足BC的解析式，因此可以用含m的代数式表示出纵坐标，进而表示出矩形的边长，从而得到面积S关于m的函数关系式，再根据m的取值范围求出最大值。解答：（1）设直线BC的解析式为y=kx+b。因为直线BC经过点B(3,0)和点C(0,3)，将点C(0,3)代入，得b=3。再将点B(3,0)和b=3代入，得0=3k+3，解得k=-1。所以，直线BC的解析式为y=-x+3。（2）因为点P是线段BC上的动点，且横坐标为m，所以点P的坐标为(m,-m+3)。由于点P在第一象限（不与B、C重合），所以m的取值范围是0<m<3。PD⊥x轴于D，所以PD的长度就是点P的纵坐标，即PD=-m+3。PE⊥y轴于E，所以PE的长度就是点P的横坐标，即PE=m。矩形PDOE的面积S=PD×PE=m(-m+3)=-m²+3m。所以，S=-m²+3m。这是一个关于m的二次函数，开口向下，对称轴为m=-b/(2a)=-3/(2×(-1))=3/2。因为0<m<3，对称轴m=3/2在这个范围内，所以当m=3/2时，S取得最大值。S最大值=-(3/2)²+3×(3/2)=-9/4+9/2=9/4。所以，矩形PDOE面积S的最大值为9/4。说明：这个例题引入了函数思想，通过建立面积与动点坐标之间的函数关系，来解决最值问题，这是动点问题中一种重要的解题策略。三、解题方法小结通过以上例题，我们可以总结出解决动点问题的一些基本方法和注意事项：1.化动为静，以静制动：用字母（如t,m,n等）表示出动点在某一时刻的位置或运动时间，将动态问题转化为关于这个字母的静态问题。2.数形结合，直观感知：仔细画图，在图形中标出已知条件和动点的位置，借助图形直观分析数量关系。3.准确表示，建立关系：根据动点的运动速度、方向和时间，准确用含字母的代数式表示出动点的坐标、线段的长度等。4.方程思想，求解未知：根据题目中的等量关系（如相遇、距离相等、面积为定值等）列出方程或函数关系式。5.分类讨论，避免遗漏：