初二三角形的证明培优同步讲义

各位同学，大家好。三角形是我们平面几何世界里最基本，也可以说是最重要的“砖块”。从小学对三角形的初步认识，到初中阶段深入学习它的性质与判定，尤其是全等三角形的证明，这不仅是我们考试的重点，更是培养我们逻辑推理能力、空间想象能力的关键一步。这份培优讲义，旨在帮助大家在同步学习的基础上，进一步深化对三角形证明的理解，掌握一些解题的思路与技巧，从而更从容地应对各类挑战。一、核心知识梳理与深化——全等三角形的“前世今生”我们知道，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。这里的“完全重合”意味着它们的形状、大小完全一致。那么，对应边相等、对应角相等就是全等三角形最基本的性质，也是我们证明线段相等、角相等的重要依据。1.全等三角形的判定定理——我们的“利器”判定两个三角形全等，是解决三角形证明题的核心。我们已经学习了几个基本的判定定理，我们来一起回顾并思考它们的“灵魂”所在：*SSS(边边边)：三边对应相等的两个三角形全等。这是最“稳”的判定方法，三角形的稳定性就源于此。只要三条边的长度确定了，三角形的形状和大小就唯一确定了。*SAS(边角边)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。这里要特别注意“夹角”两个字。不是任意的两个边和一个角，必须是这两条边所夹的角。如果是“边边角”，则不一定能判定全等，这点大家在运用时一定要警惕。*ASA(角边角)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。两角及其夹边确定，三角形同样唯一确定。这个定理体现了“角”与“边”的紧密联系。*AAS(角角边)：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。这可以看作是ASA定理的一个推论。只要知道两个角对应相等，第三个角自然也相等（三角形内角和定理），所以AAS和ASA本质上是相通的。*HL(斜边、直角边)：对于两个直角三角形，如果斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。这是直角三角形特有的判定方法，它的出现简化了直角三角形全等的证明过程。思考与深化：*为什么“SSA”不能作为判定两个一般三角形全等的依据？你能构造反例来说明吗？（提示：可以固定一条边和一个角，让另一条边“摆动”起来）*在运用这些判定定理时，我们需要注意什么？（比如“对应”二字的重要性，不能张冠李戴）二、证明思路的构建——从“已知”到“未知”的桥梁拿到一道证明题，我们常常会问：“我该从哪里下手？”构建证明思路，就像是在已知条件和求证结论之间搭建一座桥梁。1.分析法(执果索因)从求证的结论出发，一步步地探索使其成立所需要的条件，直到所需条件与已知条件吻合为止。例如：要证线段AB=CD，我们可以思考：AB和CD分别在哪两个三角形中？如果能证明这两个三角形全等，那么AB=CD自然成立。于是问题就转化为：这两个三角形全等吗？需要哪些条件？这些条件已知吗？或者可以通过其他已知条件推导出来吗？2.综合法(由因导果)从已知条件出发，利用学过的定义、公理、定理等，逐步推出可能得到的结论，然后从中选择与求证结论相关的路径。例如：已知AD是∠BAC的平分线，又知AD⊥BC，那么我们马上可以联想到“角平分线的性质”或者“等腰三角形三线合一”（如果AB=AC的话），进而得到一些边或角相等的关系。3.两头凑在实际解题中，我们往往将分析法和综合法结合起来使用。一方面从结论入手，看看需要什么条件；另一方面从已知条件出发，看看能推出什么结论。当两者在中间某个环节“碰头”时，思路就打通了。4.常用的辅助线添加技巧——“无中生有”当直接证明有困难时，添加辅助线往往能起到“柳暗花明又一村”的效果。辅助线的作用是构造新的图形，建立已知与未知的联系。*遇到中线倍长：将中线延长一倍，构造全等三角形，从而实现线段的转移或角的转移。*遇到角平分线：*向两边作垂线（利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等）。*在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。*遇到线段的和差关系：*截长法：在较长线段上截取一段等于其中一条较短线段，再证余下部分等于另一条较短线段。*补短法：将其中一条较短线段延长，使延长部分等于另一条较短线段，再证总长等于较长线段；或者将两条较短线段拼接起来，证其和等于较长线段。*遇到等腰或等边三角形：常作底边上的高、中线或顶角平分线（“三线合一”性质的应用）。*遇到图形不完整或分散：通过平移、旋转、翻折等方式构造全等三角形，集中条件。温馨提示：辅助线的添加没有固定的模式，需要根据具体题目灵活运用。但每一条辅助线的添加都要有明确的目的，不能盲目尝试。添加后，要能清晰地说明辅助线的作法。三、例题精讲——举一反三，触类旁通例题1(基础巩固)已知：如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：∠A=∠D。分析与简证：要证∠A=∠D，观察图形，∠A和∠D分别在△ABC和△DEF中。若能证△ABC≌△DEF，则∠A=∠D。已知AB=DE，AC=DF，已有两组边对应相等。还需什么条件？可以是BC=EF（SSS），或者∠A=∠D（SAS，但这正是要证的），显然应考虑BC=EF。已知BE=CF，根据等式的性质，BE+EC=CF+EC，即BC=EF。所以，△ABC≌△DEF(SSS)，因此∠A=∠D。点评：本题主要考查SSS判定定理的应用，以及对等式性质的简单运用。关键在于通过BE=CF推导出BC=EF。例题2(含辅助线添加)已知：如图，AD是△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。分析与简证：要证AB+AC>2AD，直接看这个不等式，左边是两条线段之和，右边是一条线段的两倍。已知AD是中线，即BD=CD。如何将2AD与AB、AC联系起来？考虑“中线倍长”的技巧。延长AD至点E，使DE=AD，连接BE。因为AD是中线，所以BD=CD。在△ADC和△EDB中，AD=ED，∠ADC=∠EDB（对顶角相等），CD=BD，所以△ADC≌△EDB(SAS)。因此，AC=EB。在△ABE中，根据三角形三边关系定理，AB+BE>AE。因为BE=AC，AE=AD+DE=2AD，所以AB+AC>2AD。点评：本题巧妙地运用了“中线倍长”法，构造全等三角形，将AC转移到BE的位置，从而将分散的线段AB、AC、AD集中到同一个三角形ABE中，利用三角形三边关系解决问题。这是处理中线问题的常用策略。例题3(角平分线与垂线结合)已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：EB=FC。分析与简证：由∠B=∠C，可知△ABC是等腰三角形，AB=AC。AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得DE=DF。现在要证EB=FC。EB在Rt△DEB中，FC在Rt△DFC中，考虑证这两个直角三角形全等。已有∠B=∠C，∠DEB=∠DFC=90°，DE=DF，所以△DEB≌△DFC(AAS)。因此，EB=FC。（另一种思路：也可先证AE=AF，再由AB=AC，相减得EB=FC。）点评：本题综合考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定。多种思路并存，鼓励大家从不同角度思考。四、巩固与提升——实战演练练习1已知：如图，AB=CD，AE=DF，CE=BF。求证：AF=DE。练习2已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE=AF。求证：DE=DF。练习3已知：如图，AD平分∠BAC，∠B=2∠C。求证：AB+BD=AC。（提示：考虑在AC上截取AE=AB，连接DE）练习4已知：如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E。求证：DE=AD-BE。五、本讲小结三角形的证明，尤其是全等三角形的证明，是平面几何的入门基石。要想熟练掌握，我们需要：1.烂熟于心：准确理解和记忆全等三角形的判定定理和性质。2.明察秋毫：仔细观察图形，找出已知条件和求证结论之间的联系，识别图中的隐含条件（如公共边、公共角、对顶角等）。3.多思善想：灵活运用分析法和综合法，