八年级数学一次函数知识点总结

八年级数学一次函数知识点总结一次函数是初中数学函数部分的入门与基础，它不仅是后续学习反比例函数、二次函数的基石，在实际生活中也有着广泛的应用。掌握一次函数的概念、图像、性质及应用，对于培养数学思维和解决实际问题的能力至关重要。本文将对八年级阶段所学的一次函数知识点进行系统梳理与总结。一、一次函数的定义与解析式1.1函数的基本概念回顾在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。1.2一次函数的定义一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数。其中，x是自变量，y是因变量。*特别地：当b=0时，一次函数y=kx+b就变成了y=kx（k是常数，且k≠0），这时我们把y叫做x的正比例函数。正比例函数是一种特殊的一次函数。1.3解析式的确定（待定系数法）要确定一个一次函数的解析式，通常需要知道函数图像上两个点的坐标，然后列出关于k和b的二元一次方程组，解出k和b的值即可。这个方法叫做待定系数法。*步骤：1.设：设所求一次函数的解析式为y=kx+b（或y=kx，若为正比例函数）。2.代：将已知两点的坐标代入所设解析式，得到关于k、b的方程组。3.解：解这个方程组，求出k、b的值。4.写：将求出的k、b的值代入所设解析式，写出函数解析式。二、一次函数的图像2.1图像的形状一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线。因此，一次函数的图像也称为直线y=kx+b。*由于两点确定一条直线，所以画一次函数的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作直线即可。通常选择与坐标轴的交点比较简便：与y轴的交点（0，b）和与x轴的交点（-b/k，0）（当k≠0，b≠0时）。对于正比例函数y=kx，其图像是经过原点（0，0）的一条直线，因此只需再确定一个点即可，如（1，k）。2.2图像与k、b的关系一次函数y=kx+b的图像位置及其性质，是由k和b的取值共同决定的。*k的作用——决定直线的倾斜方向和倾斜程度（斜率）：*当k>0时，直线从左向右上升，即y随x的增大而增大。*当k<0时，直线从左向右下降，即y随x的增大而减小。*|k|的值越大，直线越陡峭；|k|的值越小，直线越平缓。*b的作用——决定直线与y轴的交点位置：*直线y=kx+b与y轴交于点（0，b），这个点的纵坐标就是b。*当b>0时，交点在y轴的正半轴上。*当b=0时，交点就是原点，此时函数为正比例函数。*当b<0时，交点在y轴的负半轴上。*k和b共同决定直线经过的象限：*k>0,b>0：直线经过第一、二、三象限。*k>0,b=0：直线经过第一、三象限（正比例函数）。*k>0,b<0：直线经过第一、三、四象限。*k<0,b>0：直线经过第一、二、四象限。*k<0,b=0：直线经过第二、四象限（正比例函数）。*k<0,b<0：直线经过第二、三、四象限。三、一次函数的性质3.1增减性（单调性）如前所述，一次函数的增减性由k的符号决定：*当k>0时，y随x的增大而增大。*当k<0时，y随x的增大而减小。3.2图像经过的象限这部分内容已在“图像与k、b的关系”中详细阐述，它是一次函数性质的直观体现。3.3直线的平移直线y=kx+b可以看作是由直线y=kx平移得到的：*当b>0时，把直线y=kx向上平移b个单位长度，就得到直线y=kx+b。*当b<0时，把直线y=kx向下平移|b|个单位长度，就得到直线y=kx+b。*对于两条直线y=k₁x+b₁和y=k₂x+b₂：*若k₁=k₂且b₁≠b₂，则两直线平行。*若k₁≠k₂，则两直线相交，且交点坐标可通过解方程组得到。*若k₁*k₂=-1，则两直线垂直（这是一种特殊的相交关系，八年级阶段了解即可）。四、一次函数的应用一次函数在实际生活中有着广泛的应用，常见的如行程问题、工程问题、利润问题、方案选择问题等。解决这类问题的关键是：1.审题：理解题意，明确问题中的已知量和未知量，找出它们之间的关系。2.设元：选择一个合适的自变量，并用x表示，再根据题意用含x的代数式表示出相关的量，特别是因变量y。3.列函数关系式：根据题目中的等量关系，列出一次函数的关系式y=kx+b。4.利用函数性质解决问题：根据一次函数的增减性、图像等性质，结合自变量的取值范围（实际问题中往往有取值限制），求出问题的答案，如最值、特定值等。*举例：*行程问题中，若速度v恒定，则路程s与时间t的关系s=vt是正比例函数。*销售问题中，若每件商品利润为m，固定成本为n，则总利润y与销售量x的关系y=mx+n是一次函数。*方案选择问题中，常常需要列出不同方案的函数关系式，通过比较函数值的大小来选择最优方案。五、总结与学习建议一次函数是初中数学的核心内容之一，它架起了代数与几何之间的桥梁——“数形结合”的思想在这里得到了充分体现。要学好一次函数，建议：*深刻理解概念：准确把握一次函数和正比例函数的定义，理解k和b的几何意义。*勤于动手画图：通过画图来直观感受k和b对函数图像的影响，加深对函数性质的理解和记忆。*注重数形结合：解题时要善于将函数的解析式与图像结合起来，利用图像的直观性帮助分析和解决问题。*多做练习，总结规律：通过练习巩固知识，总结解题方法和技巧，特别是在解决实际