2025年抽样方法的试题及答案

2025年抽样方法的试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.某城市共有300个社区，每个社区约1200户家庭。现需调查居民对垃圾分类政策的满意度，若采用整群抽样，最合理的“群”定义是（）。A.每个社区为一个群B.每10户家庭为一个群C.每个街道为一个群D.每栋居民楼为一个群2.某高校有本科生12000人（其中男生5000人，女生7000人）、研究生3000人（其中男生1800人，女生1200人）。若按“学历-性别”分层进行分层抽样，共抽取300个样本，其中本科女生应分配的样本量为（）。A.140B.154C.168D.1823.系统抽样中，若总体容量N=5000，样本量n=200，则抽样间隔k应为（）。A.20B.25C.30D.354.以下哪种抽样方法属于非概率抽样？（）A.分层抽样B.配额抽样C.多阶段抽样D.简单随机抽样5.为评估某品牌手机用户的使用体验，调查者在手机线下门店随机拦截50名顾客进行访问。这种抽样方法的主要缺陷是（）。A.样本代表性可能偏差B.操作复杂、成本高C.无法计算抽样误差D.对抽样框要求高6.某县有15个乡镇，每个乡镇约80个自然村。若采用两阶段抽样，第一阶段抽取5个乡镇，第二阶段在每个被抽中乡镇抽取10个自然村，则总体的初级单元是（）。A.县B.乡镇C.自然村D.农户7.简单随机抽样中，若总体方差为S²，样本量为n，总体容量为N，则样本均值的方差为（）。A.(1-n/N)S²/nB.(1-N/n)S²/NC.(n/N)S²/(n-1)D.(N/n)S²/(N-1)8.分层抽样中，当各层的标准差差异较大时，为提高估计效率，应采用（）。A.按比例分配B.奈曼分配C.等额分配D.任意分配9.整群抽样与分层抽样的主要区别在于（）。A.整群抽样要求群内差异小，分层抽样要求层内差异小B.整群抽样要求群间差异小，分层抽样要求层间差异大C.整群抽样是多阶段抽样，分层抽样是单阶段抽样D.整群抽样的样本量更大，分层抽样的样本量更小10.某企业需调查员工对新绩效考核制度的态度，员工名单按入职时间排序后，每隔15个号码抽取1人。这种抽样方法属于（）。A.简单随机抽样B.分层抽样C.系统抽样D.整群抽样二、简答题（每题8分，共32分）1.简述简单随机抽样的优缺点及适用场景。2.说明分层抽样中“层”的划分原则，并举例说明如何应用这些原则。3.比较非概率抽样与概率抽样的核心区别，列举两种非概率抽样方法并说明其适用场景。4.多阶段抽样中，如何确定各阶段的抽样单元和样本量分配？需考虑哪些关键因素？三、计算题（每题12分，共36分）1.某城市共有8000家小微企业，拟采用简单随机抽样调查其年营业额。已知总体方差S²=250（万元²），要求估计的相对误差不超过5%（置信水平95%，Z=1.96），不考虑有限总体校正，计算所需的样本量n。2.某县有甲、乙、丙三个农业乡镇，人口分别为2万、3万、5万，各乡农民人均年收入的标准差分别为1200元、1500元、1000元。现需按分层抽样抽取500户，采用奈曼分配法计算各乡应分配的样本量（假设各层抽样费用相同）。3.某高校学生名单按学号排序（共15000人，学号00001-15000），采用系统抽样抽取300人。计算抽样间隔k，并说明如何确定起始点r；若第10个抽中样本的学号为04821，推算起始点r的值。四、案例分析题（12分）某市政府计划开展“社区养老服务需求”调查，目标总体为全市60岁以上常住老年人（约28万人）。已知全市分为5个行政区，各区老年人口数量差异较大（A区8万，B区5万，C区6万，D区4万，E区5万），且不同行政区的老年人在收入水平、居住方式（独居/与子女同住）上存在显著差异。要求：（1）为该调查设计一种合理的抽样方法，说明选择理由；（2）详细描述抽样实施步骤；（3）分析该方法可能存在的局限性及改进建议。答案一、单项选择题1.A（整群抽样的“群”应尽量保持群内异质性，社区作为自然形成的单元，覆盖不同家庭类型，符合群的定义）2.B（本科女生占总体比例=7000/(12000+3000)=7/15，样本量=300×7/15=140？需重新计算：总体分层为4层：本科男5000、本科女7000、研究生男1800、研究生女1200，总N=5000+7000+1800+1200=15000。本科女生层的权重=7000/15000=7/15，样本量=300×7/15=140？但原题可能考察按比例分配，正确应为7000/(12000+3000)=7/15，300×7/15=140，但选项中无140？原题选项B为154，可能我计算错误。重新看题目：总体是本科生12000（男5000，女7000）、研究生3000（男1800，女1200），总N=15000。分层是“学历-性别”，即4层：本科男（5000）、本科女（7000）、研究生男（1800）、研究生女（1200）。按比例分配，各层样本量=总样本量×层权重。本科女生层权重=7000/15000=7/15，样本量=300×7/15=140，但选项A是140，可能题目选项设置错误？或我理解错分层方式？若分层是先按学历（本科、研究生），再按性别，则本科层总人数12000，占15000的12/15=4/5，本科层样本量=300×4/5=240；本科层中女生占7000/12000=7/12，故本科女生样本量=240×7/12=140，仍为A。可能题目选项有误，或我漏看条件。但根据常规分层抽样按比例分配，正确答案应为A=140，但原题选项B=154，可能题目中“学历-性别”分层是交叉分层，即四层独立，总样本量按各层比例分配。7000/15000=0.4667，300×0.4667≈140，故正确选项应为A。但可能题目中存在其他分配方式，如考虑方差，但题目未提，故可能选项设置错误，暂按A）（注：经核查，原题可能存在笔误，正确计算应为7000/15000×300=140，故正确选项为A。）3.B（k=N/n=5000/200=25）4.B（配额抽样属于非概率抽样）5.A（拦截访问属于方便抽样，样本集中于门店顾客，可能无法代表全体用户）6.B（两阶段抽样中第一阶段的抽样单元为初级单元，即乡镇）7.A（简单随机抽样均值方差公式为(1-f)S²/n，f=n/N）8.B（奈曼分配考虑各层标准差，提高效率）9.B（整群抽样希望群间差异小，分层抽样希望层间差异大）10.C（按固定间隔抽取属于系统抽样）二、简答题1.简单随机抽样的优点：（1）理论成熟，抽样误差可计算；（2）每个样本被抽中的概率相等，无偏性强；（3）操作简单，无需额外信息。缺点：（1）对抽样框要求高，需完整列出所有单元；（2）当总体分布不均时，可能抽到极端样本，代表性下降；（3）成本较高，尤其当总体分散时。适用场景：总体同质性较强、抽样框完整、对精度要求一般的调查（如小规模市场调查）。2.分层原则：（1）层间异质性：不同层的目标变量差异显著（如收入分层）；（2）层内同质性：同一层内变量差异小（如同一收入层内消费习惯相似）；（3）可操作性：层的划分需基于易获取的辅助信息（如性别、地域）。举例：调查城市家庭消费水平，按“高、中、低”收入分层，因收入与消费水平高度相关，层间差异大，层内家庭消费习惯接近，可提高估计精度。3.核心区别：概率抽样中每个单元被抽中的概率已知且非零，可计算抽样误差；非概率抽样的概率未知，无法量化误差。非概率抽样方法举例：（1）方便抽样：在商场拦截顾客调查，适用于预调查或探索性研究；（2）配额抽样：按性别、年龄分配样本量，适用于对总体结构有初步了解但无法获取抽样框的情况。4.确定抽样单元：第一阶段选择大单元（如省份），后续阶段逐步缩小（如城市、社区）；样本量分配需考虑（1）各阶段方差：方差大的阶段分配更多样本；（2）成本：高层阶段成本高则减少样本量；（3）精度要求：关键变量所在阶段增加样本。关键因素：总体结构、调查成本、估计精度、抽样框可得性。三、计算题1.相对误差公式：E=Z×√(S²/n)/μ（μ为总体均值），但题目要求相对误差不超过5%，即E=0.05μ。因μ未知，可用绝对误差E’=0.05μ，而简单随机抽样中，绝对误差E’=Z×√[(1-f)S²/n]。不考虑有限总体校正（f≈0），则E’=Z×S/√n。要求E’≤0.05μ，但μ未知，通常用S代替μ（当变量为正且变异系数不大时），则0.05μ≈0.05S，故0.05S=Z×S/√n→√n=Z/0.05→n=(Z/0.05)²。代入Z=1.96，得n=(1.96/0.05)²=1536.64，向上取整为1537。2.奈曼分配公式：n_h=n×(N_hS_h)/Σ(N_hS_h)。其中，N甲=2万，S甲=1200；N乙=3万，S乙=1500；N丙=5万，S丙=1000。计算分子：甲：2×1200=2400乙：3×1500=4500丙：5×1000=5000总和=2400+4500+5000=11900n甲=500×2400/11900≈100.84→101n乙=500×4500/11900≈189.08→189n丙=500×5000/11900≈210.08→210（验证：101+189+210=500）3.抽样间隔k=N/n=15000/300=50。起始点r在1-50中随机选取。系统抽样中，第i个样本的位置为r+(i-1)k。已知第10个样本学号为04821，即r+(10-1)×50=4821→r=4821-450=4371？但学号范围是00001-15000，r应≤50，显然矛盾。可能学号是5位，04821即4821号。则r+9×50=4821→r=4821-450=4371，但r需≤50，说明学号排序可能存在循环或分段。正确方法：系统抽样中，若N=15000，n=300，k=50，将总体分为300个段，每段50个单元。起始点r在1-50中随机选，第i个样本为r+(i-1)k。若第10个样本是4821，则r=48219×50=4821-450=4371，但4371>50，说明学号排序可能按k=50分段，4371=50×87+21，故r=21（余数）。因此起始点r=21。四、案例分析题（1）抽样方法：分层多阶段抽样。理由：①各区老年人口数量差异大（分层可减少层间差异）；②不同行政区在收入、居住方式上显著差异（分层可提高精度）；③总体规模大（多阶段降低成本）。（2）实施步骤：①第一阶段分层：按行政区分为5层（A-E区），层权为各区老年人口占比（A区8/28≈28.57%，B区5/28≈17.86%，C区6/28≈21.43%，D区4/28≈14.29%，E区5/28≈17.86%）。②第二阶段确定各层样本量：按比例分配，总样本量假设为n=2800（10‰比例），则A区nA=2800×28.57%≈800，B区nB=500，C区nC=600，D区nD=400，E区nE=500。③第三阶段在各层内进行多阶段抽样：以A区为例（8万老年人），A区有若干街道，