2025年抽样推断试题及答案

2025年抽样推断试题及答案一、单项选择题（每题4分，共20分）1.某城市拟调查居民家庭月均用电量，总体为12万户家庭。若采用分层抽样，按社区将总体划分为50个层，每层抽选200户，最终样本量为10000户。以下关于分层抽样的表述中，正确的是（）。A.分层抽样的误差一定小于简单随机抽样B.分层的关键是使层内差异大、层间差异小C.若各层按比例分配样本量，则需保证每层样本量与层的大小成正相关D.分层抽样中，各层必须采用相同的抽样方法2.已知某批次电子元件的使用寿命服从正态分布，总体标准差σ=50小时。从该批次中随机抽取36个元件，测得样本均值为1200小时。若置信水平为95%（Z0.025=1.96），则总体均值的置信区间为（）。A.（1183.5，1216.5）B.（1187.2，1212.8）C.（1191.4，1208.6）D.（1195.3，1204.7）3.为检验某新药的疗效，将患者随机分为实验组（服用新药）和对照组（服用安慰剂），分别观测两组的康复时间（单位：天）。假设两组康复时间均服从正态分布且方差未知但相等，若要检验“新药的平均康复时间显著短于安慰剂”，应采用的假设检验方法是（）。A.单样本Z检验B.独立样本t检验（单侧）C.配对样本t检验D.卡方检验4.某市场调研公司计划调查某市居民对新能源汽车的购买意愿，要求总体比例的估计误差不超过3%，置信水平为95%（Z0.025=1.96）。若无前期估计值，至少需要抽取的样本量为（）。A.752B.801C.936D.10685.关于抽样推断中的“抽样平均误差”，以下表述错误的是（）。A.它反映了所有可能样本统计量与总体参数的平均差异程度B.不重复抽样的平均误差小于重复抽样C.样本量越大，抽样平均误差越小D.总体方差越大，抽样平均误差越小二、简答题（每题10分，共40分）1.简述重复抽样与不重复抽样的区别，并说明在实际调查中更常用不重复抽样的原因。2.中心极限定理在抽样推断中起到什么作用？请结合均值的抽样分布具体说明。3.分层抽样中，如何选择分层标志？请列举3个选择原则并简要解释。4.假设检验中，“显著性水平α”与“p值”的含义分别是什么？当p值小于α时，应做出怎样的结论？三、计算题（每题10分，共40分）1.某食品厂生产的饼干每袋标注重量为200克。现从生产线随机抽取50袋，测得样本均值为203.5克，样本标准差为6克。假设总体重量服从正态分布，要求：（1）计算总体均值的95%置信区间（t0.025,49≈2.01）；（2）若该厂声称每袋平均重量不低于200克，请以α=0.05检验该声称是否成立（t0.05,49≈1.677）。2.某电商平台为评估用户满意度，随机抽取400名用户进行调查，其中320人表示“满意”。要求：（1）计算用户总体满意度的95%置信区间（Z0.025=1.96）；（2）若平台目标是满意度不低于85%，请以α=0.05检验当前满意度是否达到目标。3.某研究机构比较两种教学方法对学生数学成绩的影响。方法A组（n1=30）的平均成绩为82分，标准差为10分；方法B组（n2=35）的平均成绩为78分，标准差为9分。假设两总体方差相等且服从正态分布，要求以α=0.05检验“方法A的平均成绩显著高于方法B”。（t0.05,63≈1.669）4.某城市拟调查居民家庭宽带月均费用，已知总体方差为1600元²。若要求估计误差不超过10元，置信水平为95%（Z0.025=1.96），不重复抽样时总体数量为10万户，计算所需的最小样本量。参考答案一、单项选择题1.C（分层抽样中按比例分配时，样本量与层的大小正相关；A错误，分层抽样误差不一定更小；B错误，应层内差异小、层间差异大；D错误，各层可采用不同方法）2.B（置信区间=1200±1.96×(50/√36)=1200±16.33，即1183.67~1216.33，四舍五入后为B）3.B（独立样本、方差未知且相等，检验单侧差异，用独立样本t检验）4.D（n=(Z²×p(1-p))/E²=(1.96²×0.25)/0.03²≈1067.11，向上取整为1068）5.D（总体方差越大，抽样平均误差越大）二、简答题1.区别：重复抽样是每次抽取后放回，总体单位数不变；不重复抽样不放回，总体单位数递减。实际更常用不重复抽样的原因：①减少样本重复，提高效率；②不重复抽样的误差更小；③符合多数实际调查场景（如居民调查中同一家庭不会被多次调查）。2.中心极限定理的作用：当样本量足够大时，无论总体分布如何，样本均值的抽样分布近似服从正态分布，从而为参数估计和假设检验提供理论基础。具体到均值的抽样分布：若总体均值为μ，方差为σ²，样本量n足够大（n≥30），则样本均值X̄近似服从N(μ,σ²/n)，可通过正态分布计算置信区间或进行Z检验。3.分层标志的选择原则：①相关性原则：与调查指标高度相关（如调查收入时，以职业分层）；②同质性原则：层内单位在标志上差异小（如按年龄分层，同一层内年龄相近）；③可操作性原则：标志数据易获取（如按社区分层，社区边界明确）。4.显著性水平α：预先设定的拒绝原假设的风险概率（即犯第一类错误的概率）；p值：在原假设成立时，观测到样本统计量极端值的概率。当p<α时，拒绝原假设，认为结果在α水平下显著。三、计算题1.（1）置信区间=203.5±2.01×(6/√50)=203.5±1.70，即（201.80，205.20）。（2）假设H0:μ≤200，H1:μ>200；检验统计量t=(203.5-200)/(6/√50)=4.12；t=4.12>1.677，拒绝H0，认为平均重量不低于200克成立。2.（1）样本比例p=320/400=0.8；置信区间=0.8±1.96×√(0.8×0.2/400)=0.8±0.0392，即（0.7608，0.8392）。（2）假设H0:p≤0.85，H1:p>0.85；检验统计量Z=(0.8-0.85)/√(0.85×0.15/400)=-2.80；Z=-2.80<-1.645（单侧α=0.05临界值），不拒绝H0，当前满意度未达到85%目标。3.假设H0:μ1≤μ2，H1:μ1>μ2；合并方差s²=[(30-1)×10²+(35-1)×9²]/(30+35-2)=90.89；标准误SE=√(90.89×(1/30+1/35))=2.33；检验统计量t=(82-78)/2.33=1.7