2026年高考数学二轮复习专题03 函数及其性质（热点）（天津）（原卷版）

专题03函数及其性质

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近三年：函数及其性质是天津高考数学必考点，覆盖选择、填空、解答题，分值约15-20分，重点围绕单

调性、奇偶性、对称性、周期性，结合指对幂函数、函数图象、零点综合考查。1.函数性质综合：以指对

幂、分段函数、抽象函数为载体，判断奇偶性、单调性，解不等式、求参数，2024年考含cosx函数奇偶性

判断，需紧扣定义与性质转化。2.函数图象问题：连续3年考图象识别与解析式匹配，常用特殊值+单调性

+奇偶性+极限排除法，2023年考根据图象选解析式，突出直观想象素养。3.指对幂比较大小：近5年必考，

常结合单调性、中间值（0,1）、作差/作商，2025年与零点结合，难度提升。4.函数零点问题：近3年填

空15题稳定考零点个数求参数范围，需用数形结合+分类讨论，2025年新增零点区间判定，强调函数连续

性与变号零点定理。

预测2026年：1.核心稳定：函数性质、指对幂比较大小、函数图象、零点仍为必考，分值与题型结构基本

不变。2.难度与方向：基础题更注重概念理解，中档题强调性质综合，难题会加强与导数、不等式、三角

函数的结合，突出数学素养与通性通法，减少套路化命题。3.新增热点：可能增加抽象函数性质（奇偶性

+周期性+对称性）、函数与大数据/实际问题结合、新定义函数的考查，衔接全国卷与大学数学思想。4.题

型预测：选择考图象识别+性质判断，填空考零点求参+比较大小，解答题与导数结合考函数单调性、极值、

零点综合，区分度进一步提升。

题型01判断函数的单调性

解｜题｜策｜略

判断函数的单调性的四种方法

1、定义法：按照取值、取值变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性；

2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判断

单调性；

3、导数法：利用求导的方法（如有ex，lnx的超越函数）判断函数的单调性；

4、复合法：针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性。

例1（2026·天津和平·月考）已知fx为R上的偶函数，gx为R上的奇函数，且fxgx2x.

(1)判断并用定义证明函数fx在0,上的单调性；

(2)若函数hxf2x6fxa在0,2上有零点，求实数a的最小值；

(3)若对任意的x1,3，关于x的不等式gx2kx5g2x10恒成立，求实数k的取值范围.

2ax12

例2（2026·天津·月考）已知fx在定义域2b,b3上为奇函数，且f.

x24217

(1)求a，b的值；

(2)判断并证明函数fx在定义域内的单调性；

(3)若ft23f1t0，求实数t的取值范围.

【变式1】（2026·天津·月考）已知函数fx的定义域为(0,)，若对于任意的x,y(0,)，都有

fxfyfxy2，当x1时，都有fx2，f33．则函数fx在区间[1,27]上的最大值为（）

A．4B．5C．6D．7

，

【变式2】（2026·天津·月考）设奇函数fx的定义域为R，对任意的x1,x2(0,)，且x1x2都有不等

xf(x)xf(x)2

式11220，且f(2)1，则不等式f(x2)的解集是（）

x1x2x2

A．(0,4)B．(,0)(2,4)C．(,0)(4,)D．(0,2)(4,)

题型02利用函数的单调性求参数

解｜题｜策｜略

利用单调性求参数的三种情况：

1、直接利用题意条件和单调性代入求参；

2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号；

3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题。

例1（2026·天津北辰·月考）已知函数yax(a0且a1)的反函数fx图象经过27,3，则fx；

若fmx2x在3,4上单调递增，则m的取值范围是．

14ax1,x2,

例（天津滨海新调研）已知函数（且），

22026··fxx11a0a1

a8a,x2．

4

1

①若a时，则ff11；

2

1

②若fx在R上为减函数，则a的取值范围是,1；

4

1

③若fx的值域为R，则a的取值范围是,1；

2

191111

④若a2时，fx在区间m,n的值域为,，则nm的最大值为；

244

以上结论正确的有．

x22ax，x1

【变式1】（2026·天津滨海新·调研）已知函数fx满足对任意的实数x1x2，都有

ax1，x1

fxfx

120，则实数a的取值范围是．

x1x2

【变式2】（2026·天津河东·调研）已知幂函数fxm25m7xm1为偶函数.

(1)求fx的解析式；

(2)若gxfxnx3在区间2,3上不单调，求实数n的取值范围.

(3)求不等式afx2a1x20的解集

题型03函数的奇偶性及应用

解｜题｜策｜略

1、常见的奇函数与偶函数

xx

（1）fxaa（a0且a0）为偶函数；

xx

（2）fxaa（a0且a0）为奇函数；

axaxa2x1

（3）fx（a0且a0）为奇函数；

axaxa2x1

bx

（4）fxlog（a0且a0,b0）为奇函数；

abx

（）2（且）为奇函数；

5fxlogax1xa0a0

（6）fxaxbaxb为偶函数；

（7）fxaxbaxb为奇函数；

2、函数奇偶性的应用

（1）求函数值：将待求值利用就行转化为已知区间上的函数值求解；

（2）求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出；

（3）求参数：利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等

性得参数的值或方程（组），进而求出参数的值。

例1（2026·天津和平·月考）已知定义在R上的函数fx满足fxfx，x1、x20,，当x1x2

fxfx

122

时，都有221，且f11，则不等式flog3xlog3x的解集为（）

x1x2

11

A．0,B．,3

33

11

C．,3,D．0,3,

33

例2（2026·天津和平·月考）下列函数中，既是偶函数，又在区间0,上是增函数的是（）

A．yx2B．yexex

C．ylg1x2xD．yexex

1

【变式1】（2025·天津·调研）已知偶函数f(x)在区间(,0]上单调递减，则满足f(2x1)f的x的取

3

值范围为（）

12121212

A．,B．,C．,D．,

23333323

【变式2】（2026·天津滨海新·月考）已知定义在R上的偶函数f(x)在(,0)上单调递增，则（）

33

44

A．f2flog16flog25B．f2flog25flog16

44

33

44

C．flog16f2flog25D．flog16flog25f2

44

题型04奇函数+常数求值

解｜题｜策｜略

已知为奇函数，则，

fxfxf(x)0fxmaxf(x)min0

设g(x)fxa（其中a为常数），则gxg(x)2a，g(x)maxg(x)min2a

5x3tx23xsinxt2

例1（2026·天津和平·调研）已知关于x函数fx在2022,2022上的最大值为M，

x2t

最小值N，且MN2022，则实数t的值是.

3x2x3

例2（2025·天津·月考）已知函数fx的最大值为M，最小值为m，则Mm（）

x21

A．2B．4C．6D．8

【变式1】（2025·天津河北·一模）关于函数fx3sinxcosx有下述四个结论：

①fx是偶函数；

π

②fx在区间0,上单调；

2

③fx的最大值为M，最小值为m，则Mm3；

④fx最小正周期是2π.

其中正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2xe|x|

【变式2】（2025·天津·月考）f(x)的最大值与最小值之差为（）

e|x|

44

A．4B．C．4D．0

ee

题型05函数的周期性及应用

解｜题｜策｜略

（a是不为0的常数）

（1）若fxafx，则Ta；（2）若fxafxa，则T2a；

1

（3）若fxafx，则T2a；（4）若fxa，则T2a；

fx

1

（5）若fxa，则T2a；（6）若fxafxb，则Tab（ab）；

fx

例1（2026·天津·月考）设函数yfx的定义域为R，且fx1为偶函数，fx1为奇函数，当x1,1

时，fx1x2，则f1f2f3f2026.

例2（2026·天津西青·月考）设函数fx是R上的奇函数，且关于直线x1对称，f11，则

f1f2f3f4；f1f2f54的值为.

【变式1】（2026·天津西青·月考）已知fx是定义域为R的奇函数，若fx5为偶函数，f11，则

f2019f2020的值为.

【变式2】（2026·天津河西·月考）定义在R上的偶函数fx满足fx2fx，且x2,0时，

3

fx2x，则f20log25=（）

52

1175

A．B．C．D．

255159

题型06函数的对称性及应用

解｜题｜策｜略

ab

1、关于线对称：若函数yf(x)满足f(ax)f(bx)，则函数yf(x)关于直线x对称，特别

2

地，当a＝b＝0时，函数yf(x)关于y轴对称，此时函数yf(x)是偶函数．

2、关于点对称：若函数yf(x)满足f2ax2bfx，则函数yf(x)关于点(a，b)对称，特别地，

当a＝0，b＝0时，f(x)f(x)，则函数yf(x)关于原点对称，此时函数f(x)是奇函数．

例1（2026·天津南开·调研）定义在R上的函数f(x)满足f(4x)f(x)，且当x2时，f(x)单调递增，则

不等式f(2x)f(x1)的解集为

例2（2026·天津滨海新·调研）已知函数fx,gx定义域均为R，gx的图象关于点1,0对称，且满足

f1xgx4，fx3gx4，则下列说法错误的是（）

A．函数fx的图象关于x1对称B．函数gx的图象关于x2对称

C．ygx1是奇函数D．g1g0g1g21

【变式1】（2026·天津·调研）已知fx是定义在R上的偶函数，满足f2xf2x，且fx在2,0

上单调减，则下列结论中正确的是（）

1515

A．f1ffB．ff1f

2222

5151

C．ff1fD．f1ff

2222

x1

2,0x2

【变式2】（2026·天津东丽·开学考试）函数fx的定义域R，当x0时，fx4，函

2

2x3,x2

11

数yfx是奇函数.记关于x的方程fxkxkR的根为x1,x2,,xm，若

44

7

fxfxfx，则实数k的取值范围为（）

12m4

13383639

A．,B．,C．,D．,

22234588

题型07利用函数的性质比较大小

解｜题｜策｜略

1.优先用“中间值搭桥”

当两个数无法直接构造同一函数时，引入0、1等中间值拆分比较。

2.构造单调函数（核心方法）

针对指对幂类数，优先构造同底数/同指数的初等函数：

针对抽象型数，结合已知函数性质（奇偶性、周期性）转化自变量，再用单调性判断。

3.作差/作商法辅助

作差法：判断a-b的正负，适用于多项式、对数式组合，如比较x\lnx与x-1（x>0），构造f(x)=x\lnx-x

+1，求导分析单调性。

作商法：适用于指数式、幂函数组合。

4.利用函数图象与特殊点

画出相关函数的草图，通过x取特殊值（如x=0、1、e）的函数值，直观判断大小关系，尤其适用于含参

数或复合型函数。

0.2

例1（2026·天津武清·月考）若a0.3，blog30.2，clog23，则a，b，c的大小关系为（）

A．bacB．cabC．abcD．acb

2

例2（2026·天津和平·月考）已知函数fxxsinx，xR，若aflog23，bflog32，cf2，

则a，b，c的大小关系为（）

A．abcB．cbaC．acbD．bac

【变式1】（2026·天津滨海新·调研）若偶函数fx在,1上是增函数，则下列关系式中成立的是（）

33

A．ff1f2B．f2ff1

22

33

C．f2f1fD．f1ff2

22

【变式2】（2026·天津南开·月考）已知定义在R上的函数yf(x)满足：yf(x1)的图象关于直线x1对

x1fx1x2fx211

称，且当x1,x2(,0)时，0，若asinfsin，b(ln2)f(ln2)，

x1x222

11

clog1flog1，则a，b，c的大小关系是（）．

2424

A．abcB．bacC．cbaD．acb

题型08利用函数的性质解不等式

解｜题｜策｜略

解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，

再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，

列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响。

2

例1（2026·天津北辰·月考）已知函数fxx32，则不等式ft2f4t56的解集为（）

3x1

A．5,1B．,15,

C．1,5D．,51,

2log(x2),0x2

例2（2026·天津滨海新·月考）函数f(x)2，若f(1a)f(a)，则实数a的取值范

2f(x),2x0

围（）

1111

A．[,1)B．(,)C．(,)D．(,2)

2222

f(x)f(x)

12

【变式1】（2026·天津·月考）已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x1x20时，x1x2恒

x1x2

成立，且f(2)1，则不等式f(x2)x24x1的解集为.

x

1

1,x0

【变式2】（2026·天津南开·调研）已知函数fx2，若对任意x32t,32t，都有

x

21,x0

fxft22x0成立，则实数t的取值范围是（）.

A．,31,B．,3

C．,1D．3,

（建议用时：20分钟）

1．（2025·天津红桥·模拟预测）下列函数中为偶函数的是（）

A．ycosxB．ylnxC．yx3D．yex

31

2．（2025·天津河北·模拟预测）已知函数fx2x2ax10，gxx2x，（aR）

4

(1)当a1时，求f2的值；

(2)若对任意xR，都有fxgx成立，求实数a的取值范围；

(3)若x10,2，x20,1，使得不等式fx1gx2成立，求实数a的取值范围．

3．（2025·天津河北·模拟预测）已知函数yfx是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）

A．yfxB．yfx2

C．yxfxD．yfxx

1

x

4．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数fxxe，aflog35，bflog3，

2

cfln3，则a，b，c的大小关系为（）

A．cbaB．bcaC．abcD．cab

5．（2025·天津武清·模拟预测）已知函数fx3x，gxsinx，某函数的部分图象如图所示，则该函数

可能是（）

A．yfxgxB．yfxgx

gx

C．yfxgxD．y

fx

6．（2025·天津·二模）函数f(x)cosx2cos2x3cos3x的大致图象可能是（）

A．B．

C．D．

7．（2025·天津·二模）已知函数fx的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（）

x

A．fxB．fx2x2

2x

C．fx2xx2D．fxexx

8．（2025·天津·二模）函数fx的部分图象如图所示，则fx的解析式可能为（）

exexexex

A．fxB．fx

cosxcosx

exexexex

C．fxD．fx

sinxsinx

9．（2025·天津和平·三模）定义域为R的函数fx满足fx42fx，当x0,4时，

12

xx,x0,2

2m11

fxx3，若x8,4时，fx，则实数m的取值范围是（）

14m

,x2,4