高中信息技术（必选1）X1-11迭代法知识点

高中信息技术（必选1）X1-11迭代法知识点整理一、课程主要学习内容总结本课程聚焦迭代法这一重要的算法思想，核心围绕迭代法的基本概念、核心原理、实现步骤、典型应用场景及编程实现展开。通过学习，学生需理解迭代法“反复执行同一操作、逐步逼近目标结果”的本质，掌握迭代法实现的关键要素（初始值、迭代公式、终止条件），能够识别适合用迭代法解决的问题类型（如数值求解、递推问题等），并能运用编程语言（如Python）实现简单的迭代算法，体会算法思想在解决实际问题中的价值。二、需掌握的核心知识点知识点1：迭代法的基本概念与核心要素核心内容：迭代法又称递推法，是指通过重复执行一系列步骤，使结果逐步逼近目标值的算法思想。其核心三要素包括：①初始值：迭代过程的起始数据，是迭代的基础；②迭代公式：每次迭代所遵循的运算规则，决定了迭代的方向和速度；③终止条件：判断迭代是否停止的依据，避免无限迭代（常见形式：迭代次数达到预设值、两次迭代结果的差值小于预设精度阈值）。练习题：1.下列关于迭代法核心要素的说法，错误的是（）A.初始值可以任意设定，不影响最终迭代结果B.迭代公式是迭代过程中数据更新的依据C.终止条件可避免迭代过程无限进行D.两次迭代结果的差值小于精度阈值可作为终止条件2.请列举迭代法的三个核心要素，并简要说明每个要素的作用。3.判断：迭代法的本质是通过反复执行同一操作，逐步逼近目标结果，因此所有迭代问题都能得到唯一确定的结果（）答案及解析：1.答案：A。解析：初始值的设定会影响迭代的收敛性（能否逼近目标值）和收敛速度（达到目标值的迭代次数），并非任意设定都不影响最终结果。例如，求解方程根的迭代中，初始值若远离真实根，可能导致迭代发散，无法得到结果。B、C、D选项说法均正确。2.答案：①初始值：是迭代过程的起点，为第一次迭代提供输入数据，没有初始值无法启动迭代；②迭代公式：定义了每次迭代时数据的更新规则，是迭代过程的核心，决定了数据如何逐步变化；③终止条件：用于判断迭代是否达到目标，防止迭代无限循环，常见的有迭代次数达标、结果精度满足要求等。3.答案：×。解析：迭代法的收敛性依赖于迭代公式和初始值，部分迭代问题可能因迭代公式设计不合理或初始值不当导致发散（结果越来越偏离目标），或出现震荡（结果在多个值之间波动），无法得到唯一确定的结果。知识点2：迭代法的基本实现步骤核心内容：迭代法的通用实现步骤的为：①确定问题的迭代模型，明确迭代公式（关键步骤，需根据问题本质推导，如递推关系、数值近似公式等）；②设定合理的初始值（结合问题实际，避免因初始值不当导致迭代失败）；③设定终止条件（根据问题精度要求或实际需求，选择“迭代次数”或“精度阈值”作为终止依据）；④编写迭代逻辑：循环执行迭代公式，更新迭代变量，每次循环后判断是否满足终止条件；⑤输出最终迭代结果。练习题：1.用迭代法求解问题时，若未设定终止条件，可能出现的问题是（）A.迭代结果精度不足B.迭代过程无法启动C.程序进入无限循环D.初始值被覆盖2.某问题的迭代公式为xₙ₊₁=2xₙ+1，初始值x₀=1，终止条件为迭代次数达到5次，请问迭代过程中x₃的值为多少？3.简述用迭代法解决问题的基本步骤，并说明“确定迭代公式”这一步骤的重要性。答案及解析：1.答案：C。解析：终止条件的作用是判断迭代是否停止，若未设定，程序会一直循环执行迭代操作，进入无限循环。A选项是终止条件中精度阈值设置不当导致的；B选项是未设定初始值或初始值错误导致的；D选项与终止条件无关。2.答案：x₃=15。解析：根据迭代公式和初始值逐步计算：x₀=1；x₁=2×1+1=3；x₂=2×3+1=7；x₃=2×7+1=15。3.答案：基本步骤：①确定迭代模型，推导迭代公式；②设定初始值；③设定终止条件；④编写循环迭代逻辑，更新变量并判断终止条件；⑤输出结果。重要性：迭代公式是迭代过程的核心，直接决定了迭代的方向和结果。若迭代公式推导错误，即使初始值和终止条件合理，也无法得到正确的目标结果；合适的迭代公式能保证迭代收敛，提高迭代效率。知识点3：迭代法的典型应用场景1——数值求解（如求平方根、方程近似根）核心内容：迭代法常用于求解无法直接用解析方法得到精确解的数值问题，典型案例包括求一个数的平方根、一元方程的近似根（如牛顿迭代法）。①求平方根：对于求a的平方根（a>0），可构建迭代公式xₙ₊₁=(xₙ+a/xₙ)/2，初始值x₀可设为a（或其他正数），终止条件为|xₙ₊₁-xₙ|<ε（ε为预设精度，如10⁻⁶）；②牛顿迭代法求方程f(x)=0的近似根：迭代公式为xₙ₊₁=xₙ-f(xₙ)/f’(xₙ)（f’(x)为f(x)的导数），需结合函数特性设定初始值和终止条件。练习题：1.用迭代公式xₙ₊₁=(xₙ+4/xₙ)/2求4的平方根，初始值x₀=3，精度ε=10⁻²，请问第一次迭代后的x₁值为多少？迭代到第几次时满足终止条件？2.下列关于用迭代法求平方根的说法，正确的是（）A.迭代公式xₙ₊₁=(xₙ+a/xₙ)/2仅适用于a=4的情况B.初始值x₀必须小于a的真实平方根C.精度ε设置越小，迭代次数通常越多D.迭代结果一定是a的精确平方根3.用牛顿迭代法求方程f(x)=x²-5=0的近似根，已知f’(x)=2x，初始值x₀=2，求第一次迭代后的x₁值。答案及解析：1.答案：x₁≈2.1667，迭代2次后满足终止条件。解析：①第一次迭代：x₁=(3+4/3)/2=(3+1.3333)/2≈2.1667；②第二次迭代：x₂=(2.1667+4/2.1667)/2≈(2.1667+1.8462)/2≈2.0064；③第三次迭代前判断：|x₂-x₁|=|2.0064-2.1667|≈0.1603>10⁻²，继续迭代；第三次迭代x₃=(2.0064+4/2.0064)/2≈(2.0064+1.9936)/2=2.0；④判断|x₃-x₂|=|2.0-2.0064|=0.0064<10⁻²，满足终止条件，此时迭代次数为2次（从x₀到x₁为1次，x₁到x₂为2次，x₂到x₃时满足条件，共迭代2次）。2.答案：C。解析：A选项错误，该迭代公式适用于所有正数a的平方根求解；B选项错误，初始值可大于或小于真实平方根，只要为正数，通常能收敛；C选项正确，精度ε越小，要求结果越精确，需要的迭代次数通常越多；D选项错误，迭代法得到的是近似值，精度由ε决定，无法得到绝对精确的平方根（除特殊值外）。3.答案：x₁=2.25。解析：牛顿迭代公式为xₙ₊₁=xₙ-f(xₙ)/f’(xₙ)，代入f(x)=x²-5、f’(x)=2x、x₀=2：f(2)=2²-5=-1，f’(2)=4，因此x₁=2-(-1)/4=2+0.25=2.25。知识点4：迭代法的典型应用场景2——递推问题（如斐波那契数列、累加/累乘）核心内容：递推问题是迭代法的重要应用，其特点是问题的第n项与前几项存在明确的递推关系，可通过迭代逐步计算出目标项。①斐波那契数列：递推关系为F(1)=1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n≥3），可通过迭代从第1项、第2项逐步计算到第n项；②累加问题：如求1+2+...+n，递推关系为S(1)=1，S(k)=S(k-1)+k（k≥2），初始值S(1)=1，迭代k从2到n即可得到结果；③累乘问题：如求n!（n的阶乘），递推关系为P(1)=1，P(k)=P(k-1)×k（k≥2），通过迭代计算得到P(n)。练习题：1.斐波那契数列的递推关系为F(1)=1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)，用迭代法求F(6)的值为（）A.5B.8C.13D.212.编写迭代逻辑求1+3+5+...+99的和，写出迭代公式、初始值和终止条件，并计算最终结果。3.用迭代法求5!（5的阶乘），请写出迭代过程中的各步结果（从初始值到最终结果）。4.某递推问题的迭代公式为aₙ₊₁=3aₙ-2，初始值a₀=3，终止条件为aₙ>50，求满足条件的最小aₙ值。答案及解析：1.答案：B。解析：迭代计算：F(1)=1，F(2)=1，F(3)=F(2)+F(1)=2，F(4)=F(3)+F(2)=3，F(5)=F(4)+F(3)=5，F(6)=F(5)+F(4)=8。2.答案：①迭代公式：S(k)=S(k-1)+(2k-1)（k≥1，其中2k-1为第k个奇数，当2k-1=99时，k=50）；②初始值：S(1)=1（对应第一个奇数1）；③终止条件：k达到50（即迭代次数为50次，或当前累加的数等于99）；④最终结果：2500。解析：1+3+5+...+99是50个奇数的和，根据奇数和公式，n个奇数的和为n²，此处n=50，故和为50²=2500；迭代过程：S(1)=1，S(2)=1+3=4，S(3)=4+5=9，...，S(50)=2500。3.答案：迭代过程：①初始值P(1)=1（1!）；②P(2)=P(1)×2=1×2=2（2!）；③P(3)=P(2)×3=2×3=6（3!）；④P(4)=P(3)×4=6×4=24（4!）；⑤P(5)=P(4)×5=24×5=120（5!）；最终结果：120。4.答案：最小aₙ值为52。解析：迭代过程：a₀=3；a₁=3×3-2=7；a₂=3×7-2=19；a₃=3×19-2=55；判断：a₀=3≤50，a₁=7≤50，a₂=19≤50，a₃=55>50，因此满足条件的最小aₙ值为55？Wait，重新计算：a₀=3；a₁=3*3-2=7；a₂=3*7-2=19；a₃=3*19-2=55？不对，3×19=57，57-2=55。那有没有更小的？a₂=19≤50，a₃=55>50，所以最小的是55？哦，刚才可能计算错误，再核对：a0=3，a1=3*3-2=7，a2=3*7-2=19，a3=3*19-2=55，确实a3才超过50，所以答案是55。知识点5：迭代法的编程实现（Python）核心内容：用Python实现迭代法的核心是利用循环结构（for循环或while循环）实现迭代逻辑。①for循环：适用于已知迭代次数的场景，如求斐波那契数列的前n项、累加1到n的和；②while循环：适用于未知迭代次数，以精度阈值为终止条件的场景，如求平方根、方程近似根。编程步骤：①定义迭代变量并赋初始值；②根据终止条件选择循环类型；③在循环体内应用迭代公式更新迭代变量；④循环结束后输出结果。注意：需避免循环条件设置不当导致的无限循环，同时注意数据类型的精度（如使用float类型存储近似值）。练习题：1.用Python编写程序，用迭代法求25的平方根，迭代公式为xₙ₊₁=(xₙ+25/xₙ)/2，初始值x0=10，精度ε=10⁻³，输出最终结果和迭代次数。2.下列Python代码用于求斐波那契数列的第n项，其中存在错误的是（）A.deffib(n):ifn==1orn==2:return1a,b=1,1foriinrange(3,n+1):c=a+ba=bb=creturnbB.deffib(n):a,b=1,1foriinrange(n):a,b=b,a+breturnaC.deffib(n):a=1b=1i=3whilei<=n:b=a+ba=b-ai+=1returnbD.deffib(n):a,b=1,1foriinrange(2,n):a=a+bb=a+breturnb3.用Python编写程序，用迭代法求1×2×3×...×10（10的阶乘），输出最终结果。答案及解析：1.答案：程序如下，最终结果约为5.0，迭代次数为4次。解析：Python代码：x0=10#初始值epsilon=1e-3#精度阈值count=0#迭代次数计数器whileTrue:x1=(x0+25/x0)/2#迭代公式count+=1ifabs(x1-x0)<epsilon:#判断是否满足终止条件breakx0=x1#更新迭代变量print(f"25的平方根近似值为：{x1:.4f}")print(f"迭代次数为：{count}")迭代过程：x0=10，x1=(10+2.5)/2=6.25（count=1，|6.25-10|=3.75>0.001）；x0=6.25，x1=(6.25+4)/2=5.125（count=2，|5.125-6.25|=1.125>0.001）；x0=5.125，x1=(5.125+25/5.125)/2≈(5.125+4.878)/2≈5.0015（count=3，|5.0015-5.12