河南省南阳地区2025-2026学年高一上学期期末摸底考试卷数学（含答案）

南阳地区2025年秋季高一年级期末摸底考试卷

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.设集合A={x|x²—2x—3<0},B={x|-2<x<1},则A∩B=

A.(一2,1)B.(一1,1)C.(-2,—1)D.(一2,3)

2.“a=1”是“函数f(x)=a²x“为幂函数”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.某京剧团推出“云赏国潮”全息投影演出，引起了广泛关注.主办方为了调研不同观演模式下

的体验，现采用分层随机抽样的方法从线下现场观众1000人，VR全景云包厢观众500人，

线上直播观众1500人中抽取60人进行回访，则应从线下现场观众中抽取的人数为

A.15B.20C.24D.25

4.函数f(x)=2√²-4-21的单调递减区间为

A.(-∞,2)B.[一∞,—3]C.[2,十∞]D.(7,十∞)

5.已知奇函数f(x)在R上单调递增，且f(lga)一f(-1ga)≤2f(1),则a的取值范围是

A.(一∞,10)B.(0,10)C.[0,10]D

6.某大学某专业开设了《数据分析》课程，在期末的“APM数据挖掘”项目中，老师从提交的作业

中随机抽取了10份样本进行分析，其中选择A类方向作为研究对象的有6人(记为A组),

选择B类方向作为研究对象的有4人(记为B组).已知A组样本APM数据的平均数为

120,方差为8,B组样本APM数据的平均数为100,方差为8,则这10份样本APM数据的平

均数和方差分别是

A.112,104B.112,114C.114,104D.114,114

7.现有一个装有2000mL水的水壶，每次均倒掉该水壶中剩余水的,若要使该水壶中的水

不超过5mL,则至少需要倒水的次数是

A.4B.5C.6D.7

【高一数学第1页(共4页)】

8.已知正数x,y满足1.现从(

这4个不等式中随机抽取2个不等式，则恰有1个不等式成立的概率为

ABCD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列结论正确的有

A.Vx∈R,x²+4>2x

B.“3x∈R,|x-1|+1<0”是假命题

C.“有理数的平方是有理数”是存在量词命题

D.“Vx∈R,x+4x⁴≥0”的否定是“Vx∉R,x+4x⁴<0”

10.某省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过

讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有A,B,

C共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从右图中四

张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有

A,B,C3个字母的卡片代表小林参加A,B,C3场活动，则

A.“小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”互斥

B.“小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”相互独立

C.“小林不参加A场活动”与“小林不参加B场活动”相互独立

D.“小林不参加A场活动”与“小林参加B场或C场活动”相互独立

11.已知函数f(x)满足f(1)=—10,f(x)f(y)=10f(x+y)+10f(x-y),则

A.f(0)=20B.f(2)=10

C.f(x)为偶函数D.f(x)=f(x+3)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.某人工智能实验室在训练一款“中文大语言模型”时，为了评估该模型的生成速度，记录了其

生成10段不同长度文本的“推理延迟”(单位：毫秒).数据按从小到大排序如下：120,135,

142,150,165,178,180,190,205,220.为了保证用户体验，工程师需要设定一个“极速响应”

的标准，要求覆盖前30%的最快生成速度，则这个速度标准(即第30百分位数)应为

▲毫秒.

13.已知正数m,n满足16m+mn²=64,则mn的最大值为▲_.

14.已知函数且关于x的方程[f(x)]²有

8个不相等的实数根，则m的取值范围是▲.

【高一数学第2页(共4页)】

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

某款智能汽车具备“自动泊车”和“自动辅助变道”两项功能.已知该款汽车成功完成“自动泊

车”的概率为0.8,成功完成“自动辅助变道”的概率为0.9.假设这两项功能的工作状态相互

独立.现对该款智能汽车A进行一次变道测试和一次泊车测试.

(1)求汽车A两项功能测试都成功的概率；

(2)求汽车A恰有一项功能测试成功的概率.

16.(15分)

某科技公司开发了一款AI绘画软件，为了测试该软件生成的人像照片的真实度，工程师邀

请了100名用户对生成的照片进行评分(满分100分).将评分数据按(40,50),(50,60),

(60,70),(70,80),(80,90),[90,100]分成6组，并绘制了如下的频率分布直方图.

(1)求a的值；

频率

(2)试估计这100名用户评分的平均数；(同一组中的组距

数据用该组区间的中点值作代表)0.035

(3)若从评分在(40,60)内的用户中，按分层随机抽样

的方法抽取5人进行回访，再从这5人中随机抽取

2人赠送会员，求这2人来自不同评分区间的

0.020

概率.

0.010

0.008

0.002

405060708090100评分/分

17.(15分)

已知函数

(1)设g(x)的图象恒过点A,求点A的坐标；

(2)试判断g(x)的奇偶性，并说明理由；

(3)当a=2时，不等式3g(x)<k在x∈[-1,1]上恒成立，求k的取值范围.

【高一数学第3页(共4页)】

18.(17分)

如图，点M(2,0),N(4,0)为二次函数f(x)的图象与x轴的交点，点A为f(x)图象的顶

点，△AMN的面积为1.

(1)求f(x)的解析式.

(2)设偶函数g(x)和奇函数h(x)的定义域均为R,且g(x)+h(x)=f(x).

(i)求g(x)与h(x)的解析式；

(ii)若函数μ(x)=g(x)+kh(x)在[k—1,k+1]上的最大值为0,求k的值.

(3)设函数φ(x)=I1f(x+3)+1-1|(0<x≤81),是否存在m,n∈(0,81),使得φ(x)在

[m,n]上单调递增，且φ(x)在[m,n]上的值域为?若存在，求出m,n的值；

若不存在，请说明理由.

19.(17分)

若存在t∈(0,十∞),使得函数f(x)对其定义域内的任意x₁,x2,当x₁x2=t时，f(x₁)=

f(x₂)恒成立，则称f(x)为“t积轴函数”,t为轴积系数.

(1)证明：为“2积轴函数”.

(2)已知函数

(i)试问h(x)是否为“t积轴函数”?若是，求出轴积系数t的值；若不是，请说明理由.

(ii)若函数

有唯一零点，求正数m的取值范围.

【高一数学第4页(共4页)】

南阳地区2025年秋季高一年级期末摸底考试卷

数学参考答案

1.B由题意得A=(一1,3),所以A∩B=(一1,1).

2.A若f(x)=a²x“是幂函数，则a²=1,解得a=±1,所以“a=1”是“函数f(x)=a²x“为

幂函数”的充分不必要条件.

3.B应从线下现场观众中抽取的人数为

4.B令x²—4x-21≥0,解得x≤-3或x≥7.因为函数y=2在R上单调递增，函数y=

5.C根据题意可得不等式f(lga)一f(-1ga)≤2f(1)即为2f(lga)≤2f(1),即f(lga)≤

f(1),因为f(x)在R上单调递增，所以lga≤1,解得0<a≤10.

6.A设这10份样本APM数据的平均数为x,方差为s²,则

7.B设经过n次倒水后该水壶中的水的体积(单位：mL为f(n),则

,得4”≥400,因为y=4”随n的增大而增大，4⁴=256<400,4⁵=1024>

400,所以至少需要倒水的次数是5.

8.D由,得1,即1

设函数,易得f(x)在(0,十∞)上单调递增，所以x+y<2y,

即x<y,则x-y<0,所以0<2-³<1,①正确.x+1与y的大小比较无法判断，②错误.易

得,③正确.,④正确.从这4个不等式中随机抽取

,

2个不等式，共有6种选法，其中恰有1个不等式成立的选法有3种，所以所求概率为

9.ABx²+4—2x=(x-1)²+3>0,A正确.因为|x-1|+1≥1,所以“3x∈R,|x-1|+1<

0”是假命题，B正确.“有理数的平方是有理数”是全称量词命题，C错误.“Vx∈R,x+4x⁴≥

0”的否定是“3x∈R,x+4x⁴<0”,D错误.

10.BC若选到第一张卡片，则小林同时参加3场活动，A错误.“小林参加A场活动”的概率为

【高一数学·参考答案第1页(共5页)】

,“小林参加B场活动”的概率为,“小林同时参加A场和B场活动”的概率为

,B正确.“小林不参加A场活动”的概率为,“小林不参加B场活动”的概率为

林同时不参加A场与B场活动”的概率为,C正确.“小林参加B场或C场活

动”的概率为,“小林不参加A场活动，参加B场或C场活动”的概率为

D错误.

11.ACD令x=1,y=0,得f(1)f(0)=10f(1)+10f(1),解得f(0)=20,A正确.令x=1,y

=1,得f(1)f(1)=10f(2)+10f(0),解得f(2)=-10,B错误.令x=0,得f(0)f(y)=

10f(y)+10f(一y),所以f(y)=f(一y),所以f(x)为偶函数，C正确.令y=1,得

f(x)f(1)=10f(x+1)+10f(x—1),即f(x)=-f(x+1)一f(x-1),则f(x+1)=

一f(x)一f(x—1),f(x+3)=—f(x+2)一f(x+1)=-[一f(x+1)一f(x)]一f(x+

1)=f(x),D正确.

12.146因为10×30%=3,所以这个速度标准(即第30百分位数)应毫秒.

13.816m+mn²≥2√16m·mn²=8mn,当且仅当即m=2,n=4时，等号

成立，所以8mn≤64,得mn≤8,即mn的最大值为8.

14.(2+2√3,6)画出f(x)的大致图象.设f(x)=t,当2<t<4时，

f(x)的图象与直线y=t有4个交点，所以h(t)=t²—mt+m+2

在(2,4)上有2个零点，所以解得2+2√3<

m<6,即m的取值范围是(2+2√3,6).

15.解：(1)汽车A两项功能测试都成功的概率为0.8×0.9=0.72.………6分

(2)汽车A恰有一项功能测试成功的概率为0.8×(1—0.9)+(1—0.8)×0.9=0.26.……

……………………13分

16.解：(1)由(0.002+0.008+0.020+0.035+a+0.010)×10=1,2分

解得a=0.025.…………4分

(2)这100名用户评分的平均数约为45×0.02+55×0.08+65×0.20+75×0.35+85×

0.25+95×0.10=75.3.……………9分

(3)根据题意可得被抽取的5人中有51人评分在[40,50]内，记为A,

【高一数学·参考答案第2页(共5页)】

有!人评分在[50,60]内，记为a,b,c,d………………10分

从这5人中随机抽取2人赠送会员的所有可能结果有Aa,Ab,Ac,Ad,ab,ac,ad,bc,bd,

cd,共10种……………………12分

其中这2人来自不同评分区间的情况有4种………………13分

所以这2人来自不同评分区间的概率为………15分

17.解：(1)因为………………2分

所以点A的坐标为(0,0)……………………4分

(2)易得g(x)的定义域为R,关于原点对称…………………5分

所以g(x)是奇函数……………9分

(3)当a=2时，………10分

易得g(x)在[-1,1]上单调递减……………11分

………………13分

因为不等式3g(x)<k在x∈[-1,1]上恒成立，所以,即k的取值范围为(2,

十∞)…………………………15分

18.解：(1)设f(x)=a(x-2)(x-4),其中a>0.

设A(3,t)(t<0),因为△AMN的面积为1,所以,得t=-1………………1分

将A的坐标代入f(x)=a(x-2)(x-4),得一a=-1,解得a=1,

所以f(x)=(x—2)(x-4)=x²—6x+8……………………3分

(2)(i)由g(x)+h(x)=x²—6x+8①,得g(一x)+h(一x)=x²+6x+8②…………4分

因为g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，所以由②得g(x)—h(x)=x²+6x+8③…………5分

由①和③得，g(x)=x²+8,h(x)=—6x.…………………6分

(ii)μ(x)=x²—6kx+8,x∈[k-1,k+1]…………………7分

μ(k—1)=(k—1)²—6k(k—1)+8=-5k²+4k+9,μ(k+1)=(k+1)²—6k(k+1)+8=

一5k²—4k+9.

当k≤0时，μ(x)max=μ(k+1)=-5k²—4k+9=0,解得k=1(舍去)或…8分

当k>0时，μ(x)mx=μ(k—1)=-5k²+4k+9=0,解得k=-1(舍去)或…9分

故k的值……………………10分

【高一数学·参考答案第3页(共5页)】-

…………………·11分

(3>依是意得

则φ(x)在(0,1)上单调递减，在[1,81]上单调递增.…………………12分

因为φ(x)在[m,n]上单调递增，所以1≤m<n≤81,分

……………14分

即………16分

故,n=81.………17分

19.(1)证明：易得μ(x)的定义域为(一∞,0)U(0,十∞),任取x₁,x₂∈(一∞,0)U(0,十∞),

且x₁x2=2,………1分

故μ(x)是“2积轴函数”.……………4分

(2)解：(i)h(x)是“t积轴函数”,t的值为4.…………5分

理由如下：设函数f(x)=3log2x·(log/₂2-log₂√x)=3log₂x·(2-log₂x),易得h(x)的

定义域为(0,十∞),任取x₁,x₂∈(0,十∞),且x₁x2=t,

,………6分

若h(z)=a(z₂),则

,即(,…………8分

由log₂zt-2=0,得t=4,验)成立，故t=4.

…………………