五年级数学上册《循环小数》探究教学设计（北师大版）

五年级数学上册《循环小数》探究教学设计（北师大版）一、教学内容分析  本课内容位于北师大版五年级数学上册小数除法单元，是学生对小数除法运算意义和算法掌握后的深度延伸，其核心是引导学生从“除得尽”与“除不尽”的现象中，抽象并理解“循环小数”这一数学概念。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本课处于“数与代数”领域，知识技能图谱清晰：学生需在已掌握小数除法计算技能的基础上，通过计算、观察、比较、归纳，认识循环小数（有限小数、无限循环小数），了解循环节，并能用简便记法表示循环小数。这一知识是小数认知范畴的又一次重要扩展，为后续学习分数的分类、无理数的初识乃至极限思想的萌芽埋下伏笔。过程方法路径上，课标强调“通过具体情境，体验数学发现和创造的过程”。本课设计将引导学生亲历“计算发现问题—观察归纳特征—抽象形成概念—符号化表示”的完整探究过程，深刻体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想方法，发展初步的归纳推理能力。素养价值渗透方面，本课不仅是知识学习，更是数学思维与科学态度的锤炼。在探究“永远除不尽”的现象时，培养学生面对复杂问题时执着探究、严谨求证的理性精神；在从“无限”往复的现象中寻找“有限”的表示规律（循环节）时，渗透数学的简洁美与符号化思想，提升数学抽象与模型观念素养。  学情诊断方面，学生已熟练掌握小数除以整数的笔算方法，具备了一定的观察、比较和归纳能力。潜在认知障碍在于：一是对“无限”概念的陌生与理解困难，易将“除不尽”简单等同于“计算错误”；二是从大量算式中自主发现循环模式的抽象能力有待发展；三是用简便记法表示循环小数时，对循环节的确定易混淆。教学对策上，将采用“计算先行，现象驱动”的策略。首先，提供一组精心设计、对比强烈的除法算式，让学生在大量计算实践中亲身体验“除得尽”与“除不尽”的差异，直面认知冲突。其次，通过搭建“观察商和余数”的脚手架，引导学生将注意力从“永远算不完”的焦虑，转向对余数重复出现规律的发现，从而突破“无限”的理解瓶颈。针对不同层次的学生，设计差异化的探究任务单：为计算娴熟者提供更复杂的算式以验证规律普适性；为需要支持者提供余数变化记录的表格作为思维拐杖。教学过程将嵌入动态评估，如观察学生的计算过程、倾听小组讨论中对规律的描述、分析随堂练习中的错误类型，以便实时调整教学节奏与支持策略。二、教学目标阐述  知识目标：学生能通过自主计算与观察，理解循环小数产生的过程，准确说出循环小数的意义及其基本特征（小数部分从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现）；能识别有限小数与无限循环小数，并正确使用循环节及简便记法表示循环小数，实现从具体现象到抽象概念的认知建构。  能力目标：在探究循环小数特征的活动中，学生能经历完整的“计算—观察—比较—归纳—表达”过程，发展初步的归纳推理与抽象概括能力；能在具体情境中，运用循环小数知识解决简单的实际问题，提升数学应用意识与信息处理能力。  情感态度与价值观目标：在探索“除不尽”的数学现象时，激发学生对数学奥秘的好奇心与求知欲；在小组合作归纳规律中，培养乐于分享、认真倾听、严谨求实的科学态度；体会数学符号的简洁之美，感受数学源于生活又服务于生活的价值。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型思想与符号化意识。引导其从无数个“除不尽”的算式中，剥离具体数字，抽象出“依次不断重复”这一核心特征，并创造性地使用“循环节”和“点标记法”这一数学模型进行简洁表征，完成从具体到抽象，再从抽象到符号的思维跃迁。  评价与元认知目标：引导学生学会在探究过程中进行自我监控与反思。例如，能依据“是否找到重复规律”这一标准，判断自己的观察是否深入；在运用简便记法后，能通过将符号还原成普通小数形式进行验算，培养批判性审视学习成果的习惯。三、教学重点与难点  教学重点：理解循环小数的意义，掌握其核心特征，并能正确使用简便记法。确立依据源于课程标准的“大概念”要求：认识循环小数是扩充数域、完善小数认知体系的关键一环，是理解数系完备性的重要基石。从学科能力看，它直接关联着学生的抽象概括与符号表征能力，是后续学习的重要前提。  教学难点：理解“循环”的本质，即“依次、不断、重复”，以及准确确定循环节。难点成因在于其抽象性：学生需从动态、无限的计算过程中，静态地捕捉并描述出重复出现的数字序列。常见错误包括将不重复出现的数字误认为循环节，或对循环节的起始位置判断不清。突破方向在于强化“余数观察法”，引导学生发现余数重复出现必然导致商重复出现的规律，将关注点从“无限的结果”转向“有限循环的成因”，从而化“无限”为“有限”，攻克理解难关。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件，内含探究算式组、概念形成动画、分层练习题。1.2学习材料：设计并印制分层探究学习任务单（含“计算体验区”、“观察发现区”、“我的总结区”）。2.学生准备2.1学具：草稿本、笔。2.2预习任务：尝试计算1÷3，记录计算过程与感受。3.环境布置3.1板书记划：预留核心概念板书区（循环小数、有限小数、循环节、简便记法）及学生发现展示区。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与旧知唤醒：“同学们，我们已经是小数除法的‘计算高手’了。现在，老师要请大家接受一个挑战：请你在草稿本上尽可能多地计算1÷3的商，看看你能算到小数点后第几位？开始！”（学生计算约1分钟）。“好了，时间到。谁来分享一下你的计算过程和结果？有没有同学算完了？”1.1.提出核心问题：学生会发现永远算不完。“咦，怎么回事？我们的除法竖式法则没错，计算也很仔细，可为什么这个‘1’就像永远也分不完似的？在数学世界里，这种‘永远除不尽’的情况，我们应该怎样认识和表示它呢？今天，我们就一起来揭开这个‘除不尽’背后的数学奥秘。”1.2.勾勒学习路径：“我们将通过一组算式的计算与比较，像数学家一样去观察、发现其中的规律，并学会用一种既简洁又神奇的方式来记录这种特殊的数。”第二、新授环节  本环节围绕“探究发现建构”主线，设计五个递进式任务，引导学生自主构建循环小数概念。任务一：计算体验，初感“有限”与“无限”教师活动：首先，出示第一组算式：10÷4，58.6÷11，1÷3。组织学生独立完成竖式计算，要求至少计算到小数点后四位。巡视指导，重点关注计算有困难的学生。随后，引导学生对比结果：“请大家把目光聚焦到商的小数部分。比较这三个算式的商，你发现了什么最明显的不同？”预计学生能发现有的商小数位数有限（10÷4=2.5），有的则似乎无限延续。教师追问：“对于像1÷3这样‘算不完’的商，你是根据什么判断可以继续除下去的？”引导学生回顾除法算理，关注“余数”的关键作用。学生活动：独立完成三个算式的竖式计算，并记录结果。在教师引导下，观察、对比三个商的小数部分特征。思考并回答教师提问，明确“有余数就可以继续除”，从而将“除不尽”与“余数始终不为0”联系起来。即时评价标准：1.计算过程规范，结果准确。2.能清晰表述“商的小数部分位数有限或无限”的直观发现。3.能建立“余数不为0”与“可以继续除（除不尽）”之间的逻辑联系。形成知识、思维、方法清单：1.★小数除法的两种结果：通过计算对比，初步感知商有两种类型：小数位数有限的（如2.5）和小数位数无限延续的。2.▲算理回溯：理解“除不尽”的根源在于每次除后的余数始终不为零，这是除法运算过程的必然。3.观察与比较：学会通过横向对比不同算式的结果，寻找共性与差异，这是数学发现的重要起点。教师提示：“别只盯着商看，余数在悄悄告诉我们秘密呢。”任务二：聚焦“无限”，探寻重复规律教师活动：聚焦“除不尽”的算式58.6÷11和1÷3。“它们的商真的就杂乱无章地无限写下去吗？让我们当一回数学侦探，更仔细地侦查一下商和余数。”提供学习单上的表格，指导学生分别记录计算58.6÷11和1÷3时，连续几步的“余数”和“商的小数部分相应数字”。组织小组讨论：“看看你记录的余数和商，有什么惊人的发现吗？”教师深入小组，点拨学生关注余数的变化。随后全班分享，引导学生说出“余数重复出现，商的小数部分数字也随之重复出现”。学生活动：在教师指导下，有目的地记录两个算式的余数与商的变化过程。小组内交流观察结果，尝试用语言描述发现的规律。全班汇报，可能表述为：“算到后面，余数又变回了一开始的那个数，然后商也跟着重复了。”即时评价标准：1.记录过程细致、准确。2.能在小组讨论中清晰描述自己发现的规律。3.能建立“余数重复”导致“商重复”的因果推理。形成知识、思维、方法清单：1.★循环现象的核心发现：在“除不尽”的算式中，余数会依次、不断重复出现，从而导致商的小数部分，从某一位起，一个或几个数字也依次、不断重复出现。这是本课最关键的规律。2.探究方法：学习通过有序记录、分析数据（余数、商）来发现隐藏规律的科学方法。3.从“无限”到“有限”思维跨越：意识到看似无限的商，其背后是由有限的几个数字在不断循环，初步建立“循环”观念。教师可兴奋地说：“看，我们抓住了‘无限’背后的‘有限’规律！这就是数学的魅力！”任务三：抽象命名，建构循环小数概念教师活动：在学生发现规律的基础上，进行概念升华。“像5.32727…和0.333…这样，一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数，我们就给它一个专门的名字，叫做——循环小数。”板书定义关键词。随后出示几个小数（如0.41666…,4.…，3.…），让学生判断是否为循环小数，并说明理由。重点辨析3.…（π），指出它虽然无限但不循环，引出无限不循环小数的概念，并与有限小数、循环小数进行归类。学生活动：聆听教师讲解，理解并识记循环小数的定义。运用定义判断教师给出的例子，巩固对“依次”、“不断”、“重复”这几个关键要点的理解。在对比中，初步了解小数的分类（有限、无限循环、无限不循环）。即时评价标准：1.能用自己的话复述循环小数的意义。2.能依据定义要点，准确判断给定小数是否为循环小数，论证有理有据。形成知识、思维、方法清单：1.★循环小数的定义：掌握其严谨的数学表述，理解“某一位起”、“依次不断重复”的含义。2.★小数的初步分类：知道小数可分为有限小数和无限小数，无限小数又包括循环小数和无限不循环小数。3.概念应用：学会运用定义进行判断，这是理解概念深度的试金石。教师强调：“判断时，一定要用定义这把尺子去量一量，看它是否满足所有条件。”任务四：符号化表示，创造简便记法教师活动：提出实际需求：“循环小数写起来太麻烦了，比如0.333…要写无数个3。数学家们和同学们一样，也喜欢简洁。于是他们发明了一种简便的记法。”以0.333…和5.32727…为例，介绍循环节的概念（重复出现的数字串），并演示简便记法：只写一个循环节，并在其首尾数字上点圆点。例如，0.333…记作0.<u>3</u>·，5.32727…记作5.3<u>27</u>··。然后设置“小老师”环节：出示几个循环小数（如0.41666…，4.…），请学生上台尝试写出它们的简便记法，并解释循环节是什么。学生活动：学习循环节的概念与简便记法。观察教师演示，理解操作规则。积极参与“小老师”活动，尝试书写并讲解，在练习中巩固。即时评价标准：1.能准确找出给定循环小数的循环节。2.能正确运用简便记法进行书写，圆点位置准确。3.讲解时逻辑清晰。形成知识、思维、方法清单：1.★循环节：认识循环节是循环小数中重复出现的数字序列。2.★循环小数的简便记法：掌握“写一个循环节，首尾点圆点”的规则。对于循环节从小数部分第一位开始的（纯循环小数）和不是第一位开始的（混循环小数），点圆点的位置能准确区分。3.数学的简洁美与符号化思想：体会用有限符号表示无限过程的数学智慧，感受符号化的优越性。教师可以幽默地说：“看，我们用两个小圆点，就把‘无限循环’这个意思‘封印’起来了，多巧妙！”任务五：联系生活，深化理解教师活动：展示生活中的循环现象图片或实例，如春夏秋冬四季更替、音乐节奏的重复、某些商品包装上的条形码或数字规律等。提出问题：“你能在生活中找到类似‘循环’的现象吗？从数学的角度看，我们今天学习的循环小数，和这些现象有什么共通之处？”引导学生理解“循环”的本质是“有规律的重复”，它广泛存在于数学世界和现实世界中。学生活动：观察教师提供的素材，联系生活经验，举例说明生活中的循环现象。在教师引导下，思考并交流数学中的“循环”与生活中“循环”的共通点，加深对“循环”概念本质的理解。即时评价标准：1.能举出贴切的生活中循环的例子。2.能概括出“有规律的重复”这一循环的核心特征。形成知识、思维、方法清单：1.▲循环的普遍性：认识到“循环”不仅是一个数学概念，也是一种普遍存在的模式。2.数学与生活的联系：建立数学抽象概念与现实世界的关联，体会数学的广泛应用价值。教师总结：“原来，数学中的规律就藏在我们熟悉的生活里。学好数学，能让我们更深刻地认识这个世界。”第三、当堂巩固训练  设计分层练习，满足差异化需求，并提供即时反馈。基础层（全体必做）：1.下列哪些是循环小数？在括号里画“√”。0.999…（）3.…（）1.5353…（）7.134（）2.写出下列循环小数的简便记法。0.777…=（）2.…=（）12.0281281…=（）综合层（大多数学生完成）：3.计算：15÷37，观察商的特点，并用循环小数的简便记法表示结果。0.ABAB环小数0.ABAB…（A、B代表数字），这个小数可以简便记作什么？它的循环节是什么？挑战层（学有余力选做）：5.探究：1÷7的商是一个循环小数，请计算出它，看看它的循环节有什么特点？循环节有多少位？再试试2÷7,3÷7…，你又能发现什么规律？  反馈机制：基础层练习完成后，通过同桌互批、集体订正方式快速反馈。综合层练习，请不同学生板演，师生共同点评，重点分析循环节的寻找与简便记法的书写规范。挑战层作为拓展，请有发现的学生分享，激发全班探究兴趣，不要求人人掌握。第四、课堂小结  引导学生进行结构化总结与反思。“同学们，这节课我们一起经历了一次有趣的数学发现之旅。现在，请大家闭上眼睛回想一下，然后用自己的话，或者画出简单的思维导图，梳理一下我们今天认识了哪种新的数？它是怎么产生的？我们怎么表示它？”给予学生12分钟安静反思或绘制的时间，随后邀请几位学生分享他们的总结。教师最后用板书进行系统归纳，强调知识网络。“今天的作业也为大家准备了不同的选择：基础性作业是完成练习册上对应基础题目；拓展性作业是寻找生活中包含循环小数现象的例子（如某些物品的单价、周期现象的数据记录等），并记录下来；探究性作业（选做）是继续研究挑战层第5题，或思考：两个数相除，如果得不到整数商，所得的商会有哪些情况？把你的猜想写下来。”六、作业设计基础性作业（必做）：1.课本第XX页“练一练”第1、2题。（巩固循环小数的识别与简便记法）2.完成学习单上的“概念整理填空”，梳理循环小数、循环节、简便记法等核心概念。拓展性作业（建议完成）：3.“生活中的循环”小调查：请你做一名小小调查员，留心观察或查阅资料，找一找生活中哪些地方会出现循环小数？（例如：某些数学常数如1/3的近似值、某些比赛计分规则、周期性事件的数据记录等）。至少记录两个例子，并尝试用今天学的知识进行分析。4.计算：28÷33，并用循环小数表示商，思考这个循环小数的循环节长度与除数有什么关系？（开放性思考）探究性/创造性作业（选做）：5.数学魔术“猜数字”：设计一个基于循环小数规律的小魔术。例如，你想一个循环小数（如0.285714285714…），只告诉同伴它的前几位和循环节长度，让同伴猜出后续的数字。写出你的魔术脚本和背后的数学原理。6.写一篇简短的“数学日记”，记录你今天发现循环小数规律时的思考过程、遇到的困难以及解决后的感受。七、本节知识清单及拓展1.★循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。例如：0.333…，5.32727…。理解关键在于“依次”、“不断”、“重复”。2.★循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。如0.333…的循环节是“3”，5.32727…的循环节是“27”。找循环节需要耐心观察计算过程中余数的重复。3.★循环小数的简便记法：写循环小数时，为了简便，只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。例如：0.333…写作0.<u>3</u>·，5.32727…写作5.3<u>27</u>··。如果循环节只有一个数字，就只在它上面点一个点。4.★纯循环小数与混循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数（如0.<u>3</u>·）。循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数（如0.41<u>6</u>·）。简便记法时要注意圆点的位置。5.有限小数：小数部分的位数是有限的小数。如0.5,3.78。两个数相除，如果除到被除数的末尾有余数时，在余数后面添0继续除，直到能除尽或商的小数部分达到所需精度为止，可能得到有限小数。6.无限小数：小数部分的位数是无限的小数。循环小数是无限小数的一种。认识到小数王国里除了有限小数、无限循环小数，还有像π这样的无限不循环小数。7.产生循环小数的原因（算理）：在整数除法中，当余数重复出现时，商的小数部分就会开始重复。因为余数的可能性是有限的（小于除数），所以在连续除的过程中，余数必然会出现重复，这就导致了商的循环。8.小数除法的可能结果：两个数相除（除数不为0），如果不能得到整数商，那么商要么是有限小数，要么是循环小数。这个结论可以通过余数的有限性来理解。9.循环小数的读法：通常按简便记法读出，如0.<u>3</u>·读作“零点三，三循环”，5.3<u>27</u>··读作“五点三二七，二七循环”。10.循环小数的大小比较：比较循环小数的大小时，如果需要，可以多写出几个循环节后再进行比较。注意不能直接看循环节的数字大小。11.循环小数与分数：（拓展联系）所有的循环小数都可以转化为分数。例如，0.<u>3</u>·=1/3。这为后续学习分数与小数的互化奠定了基础。12.循环节的长度：（拓展探究）循环节的长度（数字个数）与除数有关。例如，分母是7的真分数，化成循环小数后，循环节长度都是6位（如1/7=0.<u></u>··）。这是一个有趣的数论问题萌芽。13.计算器验证：可以使用计算器进行除法运算，当商的小数位数很多时，观察是否出现重复模式，但要注意计算器的显示位数限制可能截断循环部分。14.易错点提醒：判断循环小数时，必须是“依次不断”重复，偶然的重复不算。写简便记法时，圆点一定要点在循环节的首位和末位数字上，且要写清楚。15.应用实例：在解决实际问题如周期问题、平均数计算（当不能除尽时）时，结果可能用循环小数表示，这时根据实际情况决定采用近似值还是循环小数形式。16.数学文化：（拓展）循环小数的研究历史悠久。早在古希腊时期，数学家就注意到了除不尽的数。用循环节和点标记的简便记法是近代数学符号化发展的成果，体现了数学追求简洁与通用的精神。17.探究方法归纳：本节课经历了“具体计算→观察现象→发现规律→抽象定义→符号表示”的完整数学探究过程，这是学习许多新数学概念的通用方法。18.无限的思想：循环小数是学生正式接触“无限”概念的起点之一。它帮助我们理解，无限并非不可认识，它可以是有规律的、可以用有限的方式（循环节）来把握的。八、教学反思  （一）目标达成度分析：本节课预设的知识与技能目标达成度较高。通过“任务一”至“任务四”的层层递进，绝大多数学生能理解循环小数的产生过程，准确识别并书写简便记法。在课堂练习和分享环节可见，学生对循环节的概念掌握基本清晰。能力目标方面，“观察归纳”的过程得以充分展开，学生在记录余数与商、小组讨论规律中，展现了良好的探究与合作能力。然而，将规律抽象为严谨数学语言（定义）这一环节，部分学生仍需教师引导和同伴示范，完全独立概括存在挑战。情感与思维目标在“任务五”和生活联系中有所渗透，学生表现出浓厚兴趣，但数学的“简洁美”与“符号化思想”的深刻体验，可能需要后续更多应用才能内化。  （二）教学环节有效性评估：导入环节的“1÷3”挑战直击认知冲突，快速聚焦核心问题，效果显著。新授环节的五个任务构成了坚实的认知支架。“任务二”（探寻规律）是承上启下的关键，提供记录表格这一“脚手架”至关重要，有效帮助中等及以下学生突破了从混沌计算到有序观察的障碍。但反思发现，在引导学生从“余数重复”推理到“商重复”时，逻辑链条的讲解还可以更慢、更细致些，可以用更生动的比喻，如“余数就像跑道上的接力棒，它再次传到同一个人手里时，后面的过程就会重演一遍”。巩固训练的分层设计基本满足了不同学生的需求，挑战题激发了优生的深度思考。小结部分