探秘“最大视角”：米勒问题与二次函数的跨界融合-九年级数学建模思维培养课例

探秘“最大视角”：米勒问题与二次函数的跨界融合——九年级数学建模思维培养课例一、教学内容分析  本节课内容在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中，隶属于“图形与几何”和“函数”两大主线的交汇处。从知识技能图谱看，它要求学生综合运用“圆”的性质（圆周角、圆外角）与“二次函数”的图像与最值知识，是几何直观与代数推理深度融合的典范。学生需在理解“米勒问题”（即“最大张角”或“最大视角”问题）几何模型的基础上，经历将其转化为二次函数模型并求解最值的过程，这对学生建构跨领域知识联系、提升综合应用能力提出了较高要求，在单元教学中起着承上启下的枢纽作用。从过程方法路径看，本节课是践行“数学建模”核心素养的绝佳载体。教学需引导学生完整经历“从现实生活或几何情境中抽象出数学问题（识别米勒模型）→建立数学模型（构造并转化为二次函数）→求解模型（利用函数性质求最值）→解释与检验”的建模过程，将课标倡导的“问题解决”与“模型思想”转化为可操作的探究活动。从素养价值渗透看，本课不仅训练逻辑推理与运算能力，更着重培养“几何直观”与“模型观念”。通过探究“何处观景视角最大”、“何处射门角度最佳”等经典问题，让学生感悟数学源于生活又服务于生活的理性之美，培育用数学眼光观察世界、用数学思维分析世界的科学态度。  基于“以学定教”原则，学情研判如下：已有基础与障碍方面，九年级学生已系统学习圆的基本性质及二次函数的图像与最值，具备初步的数形结合思想。然而，将动态的几何最值问题主动转化为函数最值问题，是学生思维上的重大跨越。主要障碍在于：一是“转化”意识的缺失，学生习惯于在纯几何或纯代数框架内思考，难以自发建立连接；二是模型识别能力弱，面对复杂图形，难以剥离出基本的“定点动点定点”结构。过程评估设计上，将通过课堂启发性提问（如“除了纯几何方法，我们还能从哪个全新的角度来思考这个最大值问题？”）、小组合作探究中的观察（关注学生是否尝试引入变量建立关系式）以及随堂练习的完成情况，动态诊断学生的思维卡点。教学调适策略：针对转化意识薄弱的学生，提供“脚手架”——引导其关注变化中的不变关系，明确“求角度最值”可转化为“求某个三角函数值或线段比的最值”；针对模型识别困难的学生，采用“变式图形对比”与“模型特征关键字提炼”进行强化；为学有余力的学生，准备“模型逆用”与“实际场景自建模”的拓展任务，实现分层突破。二、教学目标  知识目标：学生能准确复述米勒问题（最大张角问题）的经典几何模型条件与结论（米勒定理），并理解其与“定点、动点、定点”结构的对应关系；能熟练地将符合该模型的几何最值问题，通过添加辅助线（构造直角三角形或利用相似）与设未知数，转化为关于线段长度的二次函数表达式，并利用函数性质求出最值及取得最值的条件。  能力目标：在具体问题情境（如测量、设计、运动）中，学生能够识别出隐藏的米勒模型结构；能够独立或通过协作，完成从几何问题抽象、建立函数模型到求解验证的完整数学建模过程，发展跨章节知识的综合运用与迁移能力。  情感态度与价值观目标：在探究“最佳视角”、“最佳射门位置”等趣味问题的过程中，激发对数学应用价值的深切认同与探究热情；在小组协作建模时，养成倾听他人思路、尊重不同解法、理性批判优化的科学交流态度。  科学（学科）思维目标：重点发展数学建模思想与数形结合思想。通过本课学习，学生能自觉运用“转化与化归”策略，将复杂的几何最值问题系统性地转化为函数最值问题；在模型识别与构建中，强化从具体情境中抽象数学本质的思维习惯。  评价与元认知目标：引导学生建立评价数学建模过程优劣的初步标准（如：模型的简洁性、求解的可行性、结果的合理性）；在课堂小结环节，能反思自己在“模型识别”与“代数转化”两个关键步骤上的思维策略得失，并优化自己的问题解决路径图。三、教学重点与难点  教学重点：米勒问题几何模型的识别，以及将其转化为二次函数模型求解最值的方法。确立依据在于：首先，该方法是连接“圆”与“二次函数”两大核心知识板块的关键桥梁，体现了课程标准对“综合与实践”领域的能力要求。其次，在学业水平考试中，此类动态几何最值问题常作为压轴题或区分度高的题目出现，它综合考查了学生的空间观念、逻辑推理和代数运算能力，是体现数学核心素养的高阶考点。  教学难点：从动态的几何问题中，主动构建变量，并找到等量关系建立二次函数模型。难点成因在于：学生的思维需要从静态的几何证明跳跃到动态的函数分析，认知跨度大；且如何恰当地设元，如何利用相似三角形等工具将角度最值转化为线段比最值，逻辑链条较长，易出现思路断裂。预设突破方向：采用“问题分解”与“可视化”策略，将难点拆解为“模型识别→辅助线构造→变量引入→关系建立”四个渐进子任务，并利用几何画板动态演示角度随点运动的变化过程，直观揭示最值的存在，助力学生形成转化直觉。四、教学准备清单1.教师准备 1.1媒体与教具：交互式电子白板课件（内含几何画板制作的米勒问题动态演示动画）；预设不同梯度的课堂练习与分层作业纸。 1.2学习资料：设计并印制《“最大视角”探索任务单》，包含引导性问题、合作探究记录区及变式练习。2.学生准备 复习圆的基本性质（圆周角定理、圆外角与圆周角的关系）及二次函数求最值的方法；准备直尺、圆规等作图工具。3.环境布置 课桌椅按4人异质小组摆放，便于合作探究；黑板划分为“模型区”、“推导区”与“总结区”。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题驱动：同学们，想象一下，你是一位足球运动员，在球场边线带球突破，准备传中。请问，在边线上的哪个位置起脚传中，能使球门两个门柱构成的视角最大，让守门员最难防守？或者说，站在河岸的哪一点，观赏对岸两座塔楼的视角最开阔？这类“寻找最佳位置”的问题，在数学上有个专门的名字。2.揭示课题与路径图：今天我们就来深入探究这个经典的“米勒问题”，也叫最大张角问题。（板书课题：探秘“最大视角”——米勒问题）我们先从最简单的几何模型入手，看看它藏着什么奥秘，然后再请出我们的“函数”这个强大工具，一起找到科学确定这个“最佳点”的通用方法。大家准备好挑战了吗？第二、新授环节任务一：初识模型——从特殊到一般的探究教师活动：教师在白板上展示标准米勒模型：直线l外有两定点A、B，在l上找一动点P，使∠APB最大。首先提问：“大家先别急着下结论，我们画个图，凭直觉感觉一下，这个点P大概在什么位置？”接着，利用几何画板动态演示点P在直线l上移动时∠APB大小的变化，让学生观察角度值变化趋势，并暂停在看似最大的位置。然后引导学生：“光靠观察和感觉可靠吗？数学需要严密的逻辑。我们能否将这个几何问题，与我们学过的某类函数最值问题建立联系？提示一下，角度的大小通常与什么有关？”学生活动：学生观察动画，直观感受角度变化，形成初步猜想。在教师引导下，回忆求最值问题的常用工具——二次函数。思考如何将角度这个几何量，转化为可用函数表示的量。可能提出用三角函数（正切）或通过相似三角形转化为线段比。即时评价标准：1.能否专注观察动态演示，并描述角度变化的直观趋势。2.在教师提示下，能否联想到用函数工具解决最值问题。3.在小组讨论中，能否提出将几何量（角）与代数量（边长）建立联系的可行方向。形成知识、思维、方法清单：★米勒问题基本模型：在定直线（河岸/边线）上找一点，使其与直线外两定点（球门柱/塔楼）所张的角最大。▲模型识别关键：问题中是否存在“一条定直线”和“直线外两个定点”这一结构。▲核心转化思想：将求“角度最值”这一几何问题，转化为求某个“可度量的量”（如线段比、三角函数值）的最值问题，为引入函数模型作铺垫。▲数学思想方法：数形结合、转化与化归。任务二：几何溯源——探寻“最大角”的确定位置（米勒定理）教师活动：教师引导学生暂时放下函数，回归纯几何视角：“在初中几何范围内，我们有办法直接确定这个使角度最大的点P吗？”提示学生回顾圆外角与圆周角的大小关系。引导学生尝试过A、B两点作一个圆，探究该圆与直线l的位置关系何时能使∠APB最大。通过几何画板演示不同半径的圆与直线l相切、相交的状态，最终引导学生发现：当圆与直线l相切时，切点P即为所求。并给出结论（米勒定理）：当△ABP的外接圆与直线l相切于点P时，∠APB最大。学生活动：学生在教师引导下，回忆圆的知识，尝试构造过A、B的圆，并观察、推理圆与直线l相切时的特殊性。通过动态演示，理解并认同米勒定理的几何结论。部分学生可能尝试进行几何证明。即时评价标准：1.能否主动联想到圆的相关知识来探究角度问题。2.能否理解“相切”这一特殊位置与“最大角”之间的关联。3.能否清晰陈述米勒定理的内容。形成知识、思维、方法清单：★米勒定理（几何结论）：最大视角点P满足△ABP的外接圆与定直线l相切于点P。▲纯几何方法的局限性：此定理虽然优美，但仅能确定点P的存在性。在实际问题中，若给定A、B坐标及直线l方程，仅用尺规作图或几何计算求P点坐标往往非常繁琐。▲思维转折点：几何方法指明了“是什么”，但代数方法才能高效解决“怎么求”的问题。这自然引出下一任务：如何用代数（函数）工具定量求解。任务三：架设桥梁——从“形”到“数”的转化策略教师活动：教师指出：“米勒定理为我们指明了目标，但要精确计算出这个点的位置，我们需要更强大的工具——函数。如何搭建从几何图形到函数表达式的桥梁呢？”引导学生建立平面直角坐标系，将直线l设为x轴（或y轴），合理设置A、B两点的坐标。关键提问：“设动点P的坐标为(t,0)，那么∠APB的大小如何用含有t的代数式表示？直接表示角有困难，我们通常先表示什么？”引导学生想到表示tan∠APB或通过余弦定理表示cos∠APB，但指出初中更易处理的是，构造相似三角形，将∠APB的正切值转化为两条竖直方向线段与水平距离的比。学生活动：在教师引导下建立坐标系。尝试用坐标表示线段PA、PB的长度，思考表示角度的途径。在遇到障碍时，接受教师提示，转向寻找与∠APB有关的直角三角形，利用相似或三角函数定义，将角度的正切值表示为坐标t的函数。即时评价标准：1.能否独立或在小组协助下，合理建立坐标系并设定坐标。2.能否理解“设元”的必要性，并正确设定动点坐标。3.当直接表示角度遇阻时，能否接受并运用“转化为线段比”的策略。形成知识、思维、方法清单：▲坐标化策略：将几何问题置于平面直角坐标系中，是实现“数形结合”的关键一步，坐标是连接几何与代数的通用语言。★核心转化技巧：通常将∠APB置于一个直角三角形中，利用正切定义tan∠APB=|(k1k2)/(1+k1k2)|（涉及直线斜率）或通过构造相似三角形，转化为两条竖直高差与水平距离的比值，从而避开直接处理角度。▲建模过程中的关键设元：将动点P的横坐标（或纵坐标）设为变量t，这是构建函数关系式的起点。任务四：构建模型——建立二次函数关系式教师活动：教师以具体数值为例（如设A(2,3),B(4,1)，直线l为x轴），带领学生分步推导。步骤一：设P(t,0)。步骤二：过A、B作x轴垂线，构造包含∠APB的直角三角形或利用其补角，通过相似三角形性质，推导出tan∠APB关于t的表达式。教师边推导边强调：“注意看，这里的变量t在分母上，经过通分、整理后，我们最终得到了一个关于t的什么式子？”“对，是二次分式函数。但求它的最大值，我们还有办法！”引导学生将分式函数变形，如通过分离常数或换元，将其最大值问题转化为求一个二次函数分母的最小值问题。学生活动：跟随教师推导，理解每一步的几何意义与代数操作。亲自参与计算，体验表达式从复杂到规整的化简过程。当得到形如“常数/[二次式]”的结构时，在教师启发下，意识到求整个式子的最大值等价于求二次式部分的最小值，从而与二次函数最值知识挂钩。即时评价标准：1.能否理解相似三角形在推导比例关系中的作用。2.能否顺利完成代数运算，得到正确的函数表达式。3.能否洞察分式函数的结构，并将其最值问题转化为熟悉的二次函数最值问题。形成知识、思维、方法清单：★米勒问题的函数模型：经过坐标化与转化，最终可建立形如tanθ=k/[a(tm)²+n](a>0)或类似的函数关系。▲最值转化原理：对于正系数下的分式结构，分母的二次式取得最小值时，整个分式取得最大值。▲模型的一般化步骤：建系设坐标→利用几何关系（相似/三角）建立等量关系→导出目标量关于动点坐标的函数表达式→化简、分析函数结构求最值。任务五：求解与应用——利用函数性质找到“最佳点”教师活动：教师引导学生对上一任务得到的二次函数模型进行求解。“现在我们手里有了一个关于t的二次函数，求它的最小值对我们来说是不是小菜一碟了？请大家快速计算一下，当t取何值时，这个二次式取得最小值？”学生计算后，教师邀请学生分享结果，并追问：“这个t值，就是我们要求的点P的横坐标。大家算出的结果是多少？……很好。那么，这个数值结果，与我们之前用几何画板直观观察到的位置是否吻合？”最后，教师总结：“看，通过建立函数模型，我们不仅找到了那个‘最佳点’，还能精确地把它计算出来。这个过程，就是数学建模的力量。”学生活动：独立或小组合作，对得到的二次函数（关于t的二次式）进行配方或利用顶点坐标公式，求出其取得最小值时的t值。将此计算结果与导入时的直观猜想、任务二中几何定理暗示的位置进行比较，验证模型的有效性。即时评价标准：1.能否熟练运用配方法或顶点坐标公式求二次函数最值。2.能否将代数求解结果准确地解释回几何问题中（即点P的具体位置）。3.能否体会建模求解相对于纯几何直观或定性定理的精确性优势。形成知识、思维、方法清单：★求解步骤：确定函数表达式→对相关二次式进行配方→根据二次项系数正负判断最值类型→求出顶点坐标（即变量t的值）→得到最大视角点P的具体坐标。▲检验与解释：将代数解反馈到几何图形中，验证其合理性，完成数学建模的闭环。▲方法优势总结：函数建模法提供了一种普适、可计算、可程序化的解决方案，适用于更复杂、更一般的数值情形，超越了纯几何方法的局限性。第三、当堂巩固训练  设计分层训练任务，学生根据自身情况至少完成基础层与综合层。  基础层（直接应用模型）：给定具体坐标的A、B点及x轴，直接要求建立tan∠APB关于动点P横坐标t的函数关系，并求∠APB最大时点P的坐标。（教师巡视，重点关注转化与建模过程的规范性）  综合层（情境识别与建模）：提供文字应用题，如“如图，河岸l视为x轴，A、B两村庄坐标分别为(1,2)和(4,3)，在河岸上何处建水泵站P，使输水管总长AP+BP最短？——这是一个不同模型，请识别。若问题改为使视角∠APB最大，请求解。”此题旨在对比辨析，强化米勒模型的识别。（组织小组间互评，重点评价模型识别是否准确）  挑战层（开放探究）：若定直线l不是水平或竖直方向（如为y=x），或A、B在直线同侧，米勒模型是否成立？函数建模法是否依然有效？请尝试探索。（此题为选做，教师提供思路点拨，课后可形成微报告）  反馈机制：学生完成后，教师选取具有代表性的解答（包括正确典例和典型错误）通过投影展示，进行集中讲评。针对普遍性错误（如坐标系设立不当、相似对应边找错、配方错误等）进行剖析。鼓励学生提出不同解法并比较优劣。第四、课堂小结  知识整合：同学们，今天我们打了一场漂亮的“跨界”战。谁来用一张简图或思维导图，梳理一下我们攻克“米勒问题”的完整路线图？（邀请学生上台绘制，从生活问题→几何模型（米勒定理）→坐标化→函数建模→求解验证）教师补充强调其中的两个核心思维跃迁：从“形”到“数”的转化，以及从“定性”到“定量”的求解。  方法提炼：我们不仅仅学会了一个问题的解法，更重要的是体验了一种强大的数学思想方法——数学建模。其关键环节在于：识别模型、建立联系（数形结合）、构建方程、数学求解、回归实际。  作业布置与延伸：  必做（基础性作业）：课本或练习册上相关的基础题2道，巩固建模流程。  选做（拓展性作业）：查阅资料，了解“米勒问题”在天文学、光学中的应用实例，写一段简短说明。  思考题（探究性作业）：如果条件中的“定直线”变为“定圆”，在圆上找一点使其对两定点的张角最大或最小，这可能是什么模型？与今天的知识有何联系？六、作业设计基础性作业（全体必做）1.已知点A(0,2)，B(6,4)，点P在x轴上运动。求当∠APB最大时，点P的坐标，并求出此时∠APB的正切值。（要求：完整呈现坐标设立、函数建模、求解过程）2.辨析：下列哪个问题情境属于“米勒问题”模型？简要说明理由。(A)在公路l上找一点P，使其到两个村庄A、B的距离之和最短。(B)在观测台l上找一点P，使其观测两个灯塔A、B的视角最大。拓展性作业（建议大多数学生完成）1.（情境化应用）如图，一场足球赛中，进攻队员沿边线l（视为x轴）带球，球门底线两个门柱在平面内的坐标可简化为A(0,0)和B(8,0)，边线位置为y=20（单位：米）。试建立数学模型，分析在边线上约多少米处起脚传中，对球门的张角最大？（忽略球员身高，将触球点视为l上的点）2.（微型项目）与物理学科初步结合：查阅简单透镜成像公式，思考物体通过透镜成清晰像的条件（物距、像距、焦距满足一定关系）。试从“使像对眼睛张角最大”的角度（相当于获得最清晰的视觉感受），分析观察屏幕上的像时，人眼的最佳位置。撰写一份不超过300字的探究设想。探究性/创造性作业（学有余力学生选做）1.自行设计一个包含“米勒问题”模型的实际生活或科学场景，完整提出数学问题、建立模型并求解。2.探索“米勒问题”的逆问题：已知定直线l和直线外一定点A，以及一个最大角度值θ，求使得∠APB=θ且在l上运动的点P所对应的另一个定点B的轨迹。尝试用几何画板进行动态探究，描述你的发现。七、本节知识清单及拓展★1.米勒问题（最大张角问题）核心模型：在一条定直线（如河岸、边界）上寻找一个动点，使该点与直线外两个定点所连线段构成的角（张角）达到最大值。这是几何最值问题中的经典模型。★2.米勒定理（几何结论）：当动点P满足△ABP的外接圆与定直线l相切于点P时，∠APB取得最大值。该定理从纯几何角度优美地刻画了最大角点的特征。★3.函数建模法通用步骤：这是解决米勒问题的核心代数方法。①坐标化：建立平面直角坐标系，合理设定定直线（常设为坐标轴）及两定点坐标。②设元：设动点P的坐标为变量形式（如(t,0)）。③转化：利用三角函数定义（正切）或构造相似三角形，将目标角∠APB的正切值（或其他相关量）表示为两条线段长度的比值。④建立函数：将线段长度用坐标表示，推导出关于变量t的函数表达式f(t)，通常可整理为二次分式形式。⑤求解最值：通过分析函数f(t)的结构（常转化为求分母二次式的最值），利用二次函数性质求出f(t)取最值时的t值，即得点P坐标。▲4.关键转化技巧：直接求角的最大值困难，通常转化为求该角某一三角函数值（最常用正切）的最值。正切值可看作直角三角形的对边与邻边之比，通过作垂线构造相似三角形，可将该比值转化为易于用坐标表示的线段比。★5.最值转化原理：对于最终得到的形如tanθ=K/[a(th)²+k](a>0,K>0)的函数模型，由于分母a(th)²+k是一个恒正（或恒负）的二次式，当该二次式取得最小值时，分式tanθ取得最大值。从而将问题转化为求二次函数的最值问题。▲6.模型识别特征：审题时抓住“一条定直线”和“直线外两个定点”这一核心结构，问题要求的是“视角最大”、“张角最大”或“观测范围最开阔”。▲7.易错点提醒：(1)建立坐标系时，为简化计算，应尽可能将定直线设为坐标轴，将定点放在坐标轴上或对称位置。(2)在利用相似三角形转化时，务必找准对应边，比例关系列错将导致整个模型错误。(3)得到函数表达式后，要明确最终是求最大值还是最小值，需根据函数具体形式及系数正负仔细判断。★8.核心数学思想：数形结合思想（坐标搭建桥梁）、转化与化归思想（几何问题→函数问题）、模型思想（识别、建立、应用米勒模型）。▲9.与相似三角形的关联：在非特殊角度情况下，构造相似三角形是建立线段比例关系、从而导出函数表达式的关键几何手段，常通过作垂线（高）实现。▲10.与二次函数知识的关联：问题的最终求解落脚于二次函数顶点坐标公式或配方法，是对已学函数知识的深刻应用与巩固。▲11.实际应用举例：除了经典的观景、射门问题，还应用于光学（最佳成像位置）、测量学（最佳观测点选择）、雷达扫描区域最大化等工程领域。▲12.方法比较：几何法vs代数法：米勒定理（几何法）定性指明了点的位置特征，简洁优美但求解具体坐标不便；函数建模法（代数法）提供了一套可计算、可推广的定量求解流程，实用性更强，体现了代数工具在解决几何问题中的威力。▲13.动态几何软件辅助：使用几何画板等软件动态演示动点运动时角度的变化，能直观验证最大角的存在，增强学生的几何直观感受，辅助猜想与验证。▲14.变式与拓展方向：当两定点位于定直线同侧时，问题转化为求最小角问题，但建模思路相通。定直线变为定圆，则演化为“圆内接三角形顶角”的相关极值问题，是进一步的探究方向。▲15.跨学科联系点：与物理学中的光的反射、折射定律有一定内在联系（费马原理指出光走时间最短路径，在某些条件下可导出类似极值问题），体现了数学作为基础学科的工具性。八、教学反思  假设本课已实施完毕，我将从以下几个维度进行深度复盘：  （一）教学目标达成度分析。从当堂巩固练习的完成情况看，约85%的学生能独立完成基础层任务，表明大多数学生掌握了米勒问题的函数建模基本流程，知识目标基本达成。综合层任务的完成率约为60%，反映出部分学生在面对新情境时，模型识别与剥离无关信息的能力仍需加强，这正是能力目标达成的关键难点。在小组探究与展示环节，学生表现出较高的兴趣，并能用数学语言解释“最佳点”的实际意义，情感目标得以初步实现。然而，元认知目标——即对建模过程本身的反思与优化——仅少数优秀学生能触及，这提醒我在后续教学中需设计专门的反思引导环节，如提供建模步骤自查表。  （二）各教学环节有效性评估。导入环节的生活化情境成功激发了学生好奇心，提出的核心问题贯穿全课，锚定了学习方向。新授环节的五个任务，遵循了“直观感知→定性认识→转化构思→定量建模→求解验证”的认知逻辑，阶梯式搭建合理。其中，任务二（几何溯源）与任务三（架设桥梁）的衔接是成败关键。在实际教学中，我注意到部分学生在“为什么要从优美的几何定理转向繁琐的代数推导”这一思维转折处存在困惑。我当时的处理是强调“数学不仅要知道‘是什么’，更要解决‘怎么求’”，并对比了手工尺规找切点与代数计算求坐标的精确性与效率，成功将学生的思维引向深入。动态几何软件的演示在任务一和任务二中发挥了不可替代的作用，它使抽象的“最大角”变得可视、可感，有效降低了学生的认知负荷。  （三）差异化教学实施与学情反馈。通过分层任务单和小组异质搭配，不同层次的学生均能参与其中。对于基础薄弱、在“转化”环节卡住的学生，我采