三角形的外角课件北师大版八年级数学下册

北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件1.1.2三角形的外角第一章

三角形的证明及其应用授课教师：.

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学习目标1.了解并掌握三角形的外角的定义。2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算。复习回顾1.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，三角形内角和等于180°。2.在△ABC中，∠A=80°，∠B=52°，则∠C=_____。3.如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，则∠ACB=_____，∠ACD=_____。48°50°130°进行新课在证明三角形内角和定理时，我们把△ABC的一边BC延长得到了∠ACD。ABCED思考：像∠ACD这样的角有什么特征？猜想它的性质。这节课让我们一起来探讨吧。知识点1三角形的外角△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作△ABC的外角。1∠1是△ABC的一个外角。ACBD1．下图中∠1是三角形的一个外角的是(

)D返回2．如图，△ABC的外角是________，________。∠CBD返回∠ABE问题1：如图，延长AB到E，∠CBE是不是△ABC的一个外角？∠DBE是不是△ABC的一个外角？∠CBE是△ABC的一个外角∠DBE不是△ABC的一个外角ACBDE3．[教材P6“随堂练习”第1题变式]如图，∠A＝100°，∠B＝20°，则∠ACD的度数是(

)A．120°B．110°C．100°D．90°A返回4．[烟台中考]如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为(

)A．40°B．35°C．30°D．20°A返回问题2：画出△ABC的所有外角，共有几个？ACBDE每一个三角形都有6个外角。123456每一个顶点相对应的外角都有2个。问题3：△ABC的6个外角有什么关系？（位置关系和数量关系）∠1和∠2是对顶角，∠1=∠2；∠3和∠4是对顶角，∠3=∠4；∠5和∠6是对顶角，∠5=∠6。练一练ABCEDF如图，∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC

是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？

∠BEC是△AEC的外角；∠AEC是△BEC和△BEF的外角；∠EFD是△BEF和△DCF的外角。5．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝50°，且AD是△ABC的角平分线，则∠ADC＝________°。

65返回6．(4分)如图，DE分别与△ABC的边AB，AC相交于点D，E，延长DE与BC的延长线相交于点F，∠B＝60°，∠ACB＝70°，∠AED＝40°，求∠BDF的度数。

解：∵∠B＝60°，∠ACB＝70°，∴∠A＝180°－∠B－∠ACB＝50°。又∵∠AED＝40°，∴∠BDF＝∠A＋∠AED＝90°。返回思考·交流如图，∠1与△ABC的内角有什么关系？请证明你的结论，并与同伴进行交流。1ACBD知识点2三角形内角和定理的推论432思考1：∠1与∠4有什么关系？∠1与∠4互补思考2：∠1与∠2、∠3有什么关系？外角相邻的内角不相邻的内角猜测：∠2+∠3=∠1。你能证明这个猜测吗？1ACBD432已知：如图，△ABC。求证：∠1=∠2+∠3。证明：在△ABC中，∠2+∠3+∠4=180°（三角形内角和定理），∴∠2+∠3=180°-∠4。∵∠4+∠1=180°，∴∠1=180°-∠4。∴∠1=∠2+∠3。由三角形内角和定理，可以得到推论三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。1ACBD432几何语言：在△ABC中，∵∠ABD是△ABC的一个外角，∴∠ABD=∠A+∠C。三角形的外角几何画板像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫作这个基本事实或定理的推论。7．在下列图形中，∠2＞∠1一定成立的是(

)C返回8．(4分)如图，D是△ABC的边AC的延长线上的一点，E是边BC上的一点，连接DE，求证：∠BED＞∠A。

证明：∵∠ECD是△ABC的外角，∴∠ECD＞∠A。又∵∠BED是△CDE的外角，∴∠BED＞∠ECD，∴∠BED＞∠A。返回思考3：∠1与∠2、∠3的大小有什么关系？1ACBD432∵∠1=∠2+∠3，∴∠1＞∠2，∠1＞∠3。推论三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。例2已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。

求证：AD

//

BC。BAEDC只要具备什么条件，就能说明AD

//BC？同位角相等分析：内错角相等同旁内角互补例2已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。

求证：AD

//

BC。BAEDC证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∠B=∠C，∴∠C=∠EAC。∵AD平分∠EAC，∴∠DAC=∠EAC。∴∠DAC=∠C。∴AD

//

BC。还有其他证法吗？9．如图，在△ABC中，下列说法正确的是(

)A．∠ADB>∠ADEB．∠ADB>∠1＋∠2＋∠3C．∠ADB>∠1＋∠2D．以上都不正确C返回10．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝35°，若按图中虚线将∠C剪去，则∠1＋∠2＝________°。

215返回例2已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。

求证：AD//

BC。BAEDC证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∠B=∠C，∴∠B=∠EAC。∵AD平分∠EAC，∴∠DAE=∠EAC。∴∠DAE=∠B。∴AD

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BC。例3已知：如图，P是△ABC

内一点，连接PB，PC。求证：∠BPC>∠A。分析：你学过哪些关于角的不等关系的定理？这里能直接使用吗？你遇到的困难是什么？你能通过添加辅助线，构造出直接使用相关定理的图形吗？例3已知：如图，P是△ABC

内一点，连接PB，PC。求证：∠BPC>∠A。D证明：如图，延长BP，交AC于点D。∵∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义），∴∠BPC＞∠PDC（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）。∵∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义），∴∠PDC＞∠A（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）。∴∠BPC＞∠A。还有其他证法吗？角度模型飞镖型：∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD8字型：∠A+∠B=∠C+∠D11．(8分)如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E。(1)若∠E＝25°，∠BAC＝80°，则∠B的度数为________；30°(2)求证：∠BAC＝∠B＋2∠E。

证明：∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACE。∵∠ECD＝∠B＋∠E，∠BAC＝∠ACE＋∠E，∴∠BAC＝∠ECD＋∠E＝∠B＋∠E＋∠E＝∠B＋2∠E。返回12．(12分)将透明三角尺(△DEF，∠EDF＝90°)放置在△ABC上(点D在△ABC内)，如图①，三角尺的两边DE，DF恰好经过点B和点C。我们来探究：∠ABD与∠ACD之间是否存在某种数量关系。

(1)特例探索：当∠A＝36°时，∠ABD＋∠ACD＝________°；54(2)类比探索：写出∠ABD，∠ACD与∠BAC之间的数量关系，并说明理由；解：∠ABD＋∠ACD＝90°－∠BAC。理由如下：连接AD并延长，交BC于点M，则∠BAD＋∠ABD＝∠BDM，∠CAD＋∠ACD＝∠CDM，∴∠BAD