小学数学五年级上册《可能性大小的量化认知与随机现象分析-以“摸球游戏”为情境》导学案

小学数学五年级上册《可能性大小的量化认知与随机现象分析——以“摸球游戏”为情境》导学案一、教学内容分析

本课隶属于“统计与概率”领域“随机现象发生的可能性”主题，是学生在三年级对“可能性”有初步定性认识（用“一定”、“可能”、“不可能”描述）基础上的深化与发展。《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求第二学段学生“能列出简单随机现象中所有可能发生的结果，并能对简单随机现象发生的可能性大小作出定性描述，感受数据的随机性”。本课“摸球游戏”正是承载这一要求的核心活动载体。其知识技能图谱在于引导学生从定性描述迈向定量刻画，理解“可能性大小”可通过特定结果数量与所有可能结果总数的比率来表征，这是概率思维的启蒙原点，为后续学习等可能事件概率公式奠定认知基础。其过程方法路径则体现为在“提出猜测—设计实验—收集数据—分析推断”的完整探究链条中，渗透数据分析观念与随机思想，引导学生理解在大量重复试验下，频率会趋于一个稳定值，从而感受随机现象的统计规律性。其素养价值渗透在于通过游戏化的数学活动，培养学生基于证据进行理性判断的科学态度，理解世界的不确定性，并能在面对不确定情境时，运用概率思维进行合理决策，避免纯粹的主观臆断，发展理性精神。

针对五年级学生的学情研判，其已有基础与障碍并存：学生在生活中已积累了大量关于“可能性”的直觉经验（如抽奖、游戏规则），并具备用分数表示部分与整体关系的能力，这为学习可能性大小的量化表达提供了认知锚点。然而，潜在认知障碍在于：第一，容易混淆“可能性大小”与单次试验结果，即不理解“摸到红球的可能性大”并不意味着“下一次一定摸到红球”；第二，在分析复杂情境（如盒子中有多种颜色球）时，可能出现列举不全面或分析逻辑混乱的情况。过程评估设计将贯穿始终：通过导入环节的“投票”快速探查前概念；在新授任务中通过观察小组合作、倾听学生解释、分析实验数据单，动态评估学生对“等可能性”与“不等可能性”的理解层次；通过巩固练习中的分层表现，精准定位个体差异。基于此，教学调适策略为：对理解较快的学生，引导其从“解释现象”迈向“设计游戏”（如设计一个摸到红球可能性为1/3的盒子），挑战其逆向思维与综合应用能力；对理解有困难的学生，提供“可能性大小排序卡片”、增加实物操作次数、使用图示法（如画圆点图）辅助分析，帮助其建立直观到抽象的桥梁。二、教学目标

知识目标：学生能理解并表述事件发生的“可能性大小”可以用一个分数或比值来量化表示。能准确分析简单情境（如摸球）中所有可能的结果，并正确计算某一特定事件发生的可能性，例如，能清晰表达“因为盒子里有3个红球1个白球，总共有4种等可能结果，所以摸到红球的可能性是3/4”。

能力目标：学生能设计并执行简单的模拟实验（摸球），通过收集、整理实验数据，并对比理论可能性，初步感知频率的稳定性。能够基于数据和分析，对游戏规则的公平性做出有理有据的判断，并尝试设计公平的游戏规则。

情感态度与价值观目标：在小组合作探究中，学生能乐于分享自己的猜测与发现，认真倾听同伴观点，形成基于证据进行讨论的协作氛围。面对随机结果，能保持平和心态，理解“输赢”的偶然性与统计规律性，培养健康的游戏观和理性的决策意识。

科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型思维与数据分析观念。引导学生将现实游戏情境抽象为“球的总数、目标球的数量、所有等可能结果”的数学模型。通过“猜测可能性—实验验证—理论分析—对比反思”的探究循环，体验如何从数据中提取信息、形成推断的完整思维过程。

评价与元认知目标：引导学生依据清晰的标准（如分析过程是否全面、结论是否有数据支持）评价自己或同伴对可能性大小的分析报告。在课堂小结时，能回顾学习路径，反思“我是如何从猜测一步步得到确定结论的？”以及“用分数表示可能性，给我的思考带来了什么变化？”三、教学重点与难点

教学重点是理解并掌握用分数表示简单事件发生可能性大小的方法。其确立依据源于课程标准对大概念“数据的随机性”的界定，该方法是学生从定性认知跨入概率量化思维的关键一步，是后续学习概率知识的核心基石。从能力立意看，该重点直接关联学生“模型意识”和“应用意识”的发展，是运用数学工具分析和解决不确定性问题的基础技能。

教学难点在于学生深刻理解“可能性”的量化意义，并能在具体情境中克服直觉干扰，进行严谨的逻辑分析。具体表现为两点：一是理解“可能性大小”是针对事件整体趋势的刻画，与单次试验的偶然结果无关；二是在分析涉及多个因素（如从两个盒子中各摸一球，求摸到两个同色球的可能性）的复合事件时，能系统、不重不漏地列举所有等可能结果。难点预设基于儿童认知从具象到抽象的发展规律，以及常见错误分析中显示的学生易将“可能性大”等同于“必然发生”。突破方向在于借助大量直观操作积累感性经验，并通过对比“实验数据”与“理论计算”，在认知冲突中建构正确观念。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（含动态演示与数据统计工具）；实物投影仪。1.2实验材料包（按小组配备）：不透明纸盒4个；内含不同颜色小球（如红、白、黄）的组合（例如：A盒：3红1白；B盒：2红2白；C盒：1红3白；D盒：4红）；实验记录单；空白卡片（用于设计游戏）。1.3学习支持材料：分层任务卡；课堂巩固练习活页。2.学生准备2.1知识预备：复习分数意义；回顾“可能”、“一定”、“不可能”的表述。2.2学具：彩笔、直尺。3.环境布置3.1座位安排：46人合作学习小组围坐。3.2板书记划：左侧预留核心概念区（可能性大小=…），中部为探究过程记录区，右侧为问题与生成区。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设与认知冲突：同学们，学校嘉年华要设计一个“幸运摸球”抽奖游戏。老师这里有两个盒子，X盒和Y盒。从X盒里摸球，摸到红球有奖；从Y盒里摸球，摸到白球有奖。但两个盒子里面球的具体情况是保密的。现在，我请一位同学来当“先知”，只摸一次球，然后决定选哪个盒子去抽奖。你敢挑战吗？（邀请一位学生上台摸一次X盒，比如摸到白球）。好，他摸到了白球。根据这“一次”的结果，他现在应该选哪个盒子？为什么？来，支持选X盒的举手，支持选Y盒的举手。看来有分歧。一次摸球的结果，能告诉我们哪个盒子中奖的可能性更大吗？

1.1问题提出与路径明晰：看来，要做出明智的选择，我们不能只看一次偶然的结果。那到底该如何科学地判断一个游戏规则是否公平，或者哪个游戏中奖的可能性更大呢？这就是我们今天要破解的核心问题。这节课，我们就化身“游戏分析师”，通过一系列“摸球游戏”，找到一把能量化“可能性大小”的尺子。我们将从“猜一猜”开始，然后亲手“验一验”，最后学会“算一算”，用数学的眼光看透游戏背后的奥秘。第二、新授环节

本环节通过搭建递进式探究任务，引导学生从定性猜测走向定量分析，逐步建构用分数表示可能性大小的数学模型。任务一：定性感知，引发量化需求教师活动：首先，出示A盒（3红1白），不展示内部。提问：“如果从这里面摸一个球，可能摸到什么颜色的球？”（复习“可能”）。接着揭示内部情况：“现在大家看到了，是3个红球，1个白球。凭直觉，你觉得摸到哪种颜色球的可能性大？大多少？能用一个数更精确地表达‘大多少’吗？”让学生初步思考。然后引导：“要精确比较，我们需要知道什么信息？”（目标球的数量和球的总数）。最后提出挑战：“能否创造一个数，既能表示摸到红球的可能性，又能表示摸到白球的可能性，并且能清晰比较出大小？”学生活动：观察盒子内球的构成，基于生活经验回答“摸到红球的可能性大”。面对“大多少”的追问，进行思考与初步讨论。在教师引导下，聚焦到“红球有3个，白球有1个，总共4个球”这些关键数据。尝试用已有知识（如分数、倍数）来描述这种关系。即时评价标准：1.能否正确识别所有可能的结果（红球或白球）。2.能否依据球数量的多少对可能性大小做出合理的方向性判断。3.在讨论“如何精确表达”时，能否联系到分数表示部分与整体关系的经验。形成知识、思维、方法清单：★核心概念：事件发生的“可能性大小”与符合该事件条件的个体数量有关。数量越多，可能性越大。▲思维起点：从“哪个可能性大”的定性比较，自然引发“到底大多少”的量化需求，这是数学发展的内在动力。教师可点评：“当‘差不多’、‘大一点’不能满足我们精确思考的需要时，数学的力量就该登场了。”★方法铺垫：分析可能性问题的第一步是厘清情境中的“总数”与“目标数”。可提示学生：“像侦探一样，先搞清楚盒子里到底有什么，各有多少。”任务二：操作验证，初探数据规律教师活动：组织小组进行摸球实验。每组发放A盒（3红1白）和实验记录单。明确要求：1.每次摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀再摸，共20次。2.分工合作：有人摸球，有人记录，有人监督。3.记录后，计算摸到红球、白球的次数各占总次数的几分之几。巡视指导，关注操作规范（如是否放回、摇匀）。实验后，选取几组数据投影，引导学生观察：“各组摸到红球的次数占总次数的比率接近多少？和红球数量占总球数的比例（3/4）有什么关系？”学生活动：以小组为单位，严格按照“摸球—记录—放回—摇匀”的流程完成20次实验。认真填写记录单，并计算频率（摸到红球的次数/20）。对比各小组的数据以及理论上的3/4，进行观察和讨论。即时评价标准：1.实验操作是否规范（确保每次试验条件相同，等可能性）。2.数据记录是否准确、清晰。3.小组协作是否有序、有效。4.能否发现实验数据（频率）围绕一个固定值（3/4）波动的现象。形成知识、思维、方法清单：★核心原理：在大量重复试验中，某一事件发生的频率会趋近于其理论上的可能性大小。教师可以强调：“一次摸球，结果偶然；摸上很多次，规律就慢慢浮现了。”▲学科方法：随机试验是探究随机现象规律的基本方法。操作中的“放回并摇匀”是保证每次试验条件相同的关键，这样才能谈论“等可能性”。可以问学生：“如果不放回，会怎么样？对后面的试验公平吗？”★数据意识：学会从收集的数据中计算比率（频率），并与理论预期进行比较，这是数据分析观念的初步体现。任务三：建模表达，建构分数模型教师活动：在实验感知基础上，引导学生进行理论推导。提问：“我们不靠运气摸很多次，单从盒子的构成来分析，摸出一个球，总共有多少种可能的结果？”（4种，且每个球被摸到的机会相等）。追问：“在这4种等可能的结果中，摸到红球的结果占了几种？”（3种）。顺势引出：“所以，我们可以说，摸到红球的‘可能性’就是3/4。谁能仿照这个说法，来说说摸到白球的可能性？”板书核心模型：可能性大小=关注的结果数量÷所有等可能结果的数量。然后，让学生用这个模型去分析B盒（2红2白）、C盒（1红3白）的情况。学生活动：跟随教师引导，理解“等可能结果”的含义。用“一共有4种可能，其中红球占3种”的逻辑，理解摸到红球可能性为3/4的由来。独立或与同桌合作，用规范的数学语言表述B盒、C盒中摸到红球和白球的可能性，并用分数表示。即时评价标准：1.能否清晰说出“所有等可能结果的数量”和“关注的结果数量”。2.能否用准确的分数表示不同情境下的可能性。3.表达时是否使用完整的数学语言，如“因为总共有4个球，摸到每个球的可能性相等，所以有4种等可能结果。其中红球有2个，所以摸到红球的可能性是2/4，也就是1/2。”形成知识、思维、方法清单：★核心模型（公式）：可能性大小=关注的结果数量÷所有等可能结果的数量。这是本课最核心的数学化表达，必须理解其意义而非死记。▲易错点警示：分母是“所有等可能结果的数量”，通常对应“球的总数”，但前提是每个结果发生的可能性必须相等。例如，如果盒子里的球大小、重量显著不同，则不能简单用此公式。★数学语言：从生活化的“机会大”转变为数学化的“可能性是3/4”，这是思维抽象化的标志。鼓励学生说：“现在，我们有了统一的、精确的数学语言来描述可能性。”任务四：对比归纳，理解可能性的谱系教师活动：将A、B、C、D（4红）四个盒子的可能性分析结果并列展示。组织学生讨论：1.这些分数的大小顺序和红球的数量有什么关系？2.当可能性是1和0时，分别对应什么情况？（D盒全是红球，摸到红球“一定”发生；如果有个E盒全是白球，摸到红球“不可能”发生，可能性为0）。3.可能性的大小范围是怎样的？（在0到1之间）。引导学生将“一定”、“可能”、“不可能”与分数值联系起来。学生活动：观察对比不同盒子情况下可能性分数的值。发现红球越多，分数值越大；当全部是红球时，可能性为1（“一定”）；当没有红球时，可能性为0（“不可能”）。归纳出可能性大小的取值范围，并理解其与之前定性描述的联系。即时评价标准：1.能否发现可能性分数值与目标物体数量的正比关系。2.能否理解“一定”和“不可能”是“可能性”的两种极端特殊情况，并可以用1和0表示。3.能否概括出可能性大小的数值范围。形成知识、思维、方法清单：★概念关联：将旧知“一定（可能性为1）”、“不可能（可能性为0）”整合进新的量化认知体系，实现知识的同化与顺应。★数值范围：任何事件发生的可能性大小都在0到1之间（包含0和1）。这是一个重要的数学认识。▲数形结合：可以将可能性的大小想象成一条从0到1的线段，不同事件的可能性是线段上的不同点。这为以后学习概率的几何度量做铺垫。任务五：迁移应用，设计公平游戏教师活动：提出应用挑战：“现在，请你们以小组为单位，利用手边的空白卡片和小球，设计一个‘摸球赢奖’的游戏，要求是：摸到红球的可能性是1/3。”巡视指导，关注学生不同的设计方案（如3个球中1红2其他色；6个球中2红4其他色等）。请设计成功的小组展示并解释原理。进一步追问：“如果要让游戏对双方都公平，比如小明和小红玩，摸到红球小明赢，摸到白球小红赢，盒子里的球应该怎么放？”学生活动：小组合作，利用材料进行创造和验证。通过调整红球和其他颜色球的数量，尝试设计出符合“可能性为1/3”要求的游戏。讨论并设计公平的双人游戏规则（即摸到红球和白球的可能性相等，均为1/2）。展示设计成果，并阐述设计思路。即时评价标准：1.设计方案是否能满足给定的可能性大小要求。2.解释时是否能运用本节课建构的分数模型进行说理。3.在设计公平游戏时，能否抓住“双方获胜的可能性相等”这一本质。形成知识、思维、方法清单：★逆向应用：从“根据情境求可能性”到“根据可能性设计情境”，完成思维的逆向训练，深化对模型的理解。★公平性本质：游戏规则的公平性，数学上表现为相关各方获胜的可能性相等。这是概率思维在现实生活中的一个重要应用。▲方案多样性：满足同一可能性大小的方案可以有很多种（如1/3可以是1红2黄，也可以是2红6蓝），关键看“目标数”与“总数”的比值。这体现了数学的灵活性与确定性。第三、当堂巩固训练

设计分层练习，提供即时反馈。基础层（必做）：1.一个盒子装有5个蓝球和1个绿球，摸到蓝球的可能性是()，摸到绿球的可能性是()。2.判断：一个骰子掷一次，掷出点数是奇数的可能性是1/2。（）综合层（选做，鼓励完成）：3.一个不透明袋子里有形状大小相同的4张卡片，分别写着“春”、“夏”、“秋”、“冬”。随机抽一张，抽到“春”或“秋”的可能性是多少？4.小华设计了转盘游戏（图示均分三份，两份红色，一份黄色）。转到红色甲方赢，转到黄色乙方赢。这个规则公平吗？请说明理由。挑战层（学有余力选做）：5.思考题：盒子里有红、黄、蓝球各若干个。已知摸到红球的可能性是1/2，摸到黄球的可能性是1/3。请问，摸到蓝球的可能性是多少？盒子里至少有几个球？反馈机制：基础层练习通过全班齐答或举手反馈快速检查。综合层练习采取“小组互议—代表讲解—教师追问”的方式，聚焦思维过程。挑战层练习请有思路的学生分享，重点揭示其如何运用“所有可能性之和为1”这一潜在规律。教师巡视中收集典型错误（如计算可能性时未用最简分数、对“等可能”理解偏差），进行针对性点讲。第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结与元认知反思。知识整合：“同学们，如果请你用一幅简单的思维导图或者几个关键词来总结这节课的收获，你会写什么？”（引导学生说出：可能性大小、分数表示、所有等可能结果、关注的结果、实验验证、公平游戏等）。教师在此基础上完善板书结构。方法提炼：“回顾一下，我们今天是如何解决‘哪个游戏赢的可能性大’这个问题的？”（路径：观察情境—找出数据—建立分数模型—分析计算—做出判断）。强调数学建模的思想。作业布置与延伸：1.必做作业：完成练习册中与本课内容对应的基础题和应用题。2.选做作业（二选一）：1.调查员：找一个生活中的抽奖或游戏活动，分析其规则是否公平，并写出简单的分析报告。2.设计师：为家庭聚会设计一个用到“可能性”的公平小游戏，并准备道具向家人介绍。“下节课，我们将带着这些‘可能性’的眼光，去分析更复杂的比赛赛制问题。今天留给大家的思考题是：如果一场足球赛，双方罚点球决胜，从数学上看，怎样安排顺序才是最公平的？”六、作业设计基础性作业（必做）：1.填空：在一个装有8个白球和2个黑球的袋中，摸到（）球的可能性大，摸到白球的可能性是(/)，摸到黑球的可能性是(/)。2.判断并说理：从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽一张，抽到红桃的可能性是1/4。（）3.解决问题：一个正方体骰子，六个面分别标有16点。掷一次，掷出点数是3的倍数的可能性是多少？拓展性作业（建议完成）：4.情境应用：商场举行转转盘抽奖活动（提供示意图，盘面被平均分成8份，其中3份为一等奖，2份为二等奖，其余为谢谢参与）。抽中一等奖的可能性是多少？妈妈认为中奖可能性太小了，不值得排队。请你用今天所学知识，写一两句话帮工作人员向妈妈解释一下。5.设计分析：设计一个转盘，使得指针停在红色区域的可能性是停在蓝色区域的2倍。画出你的设计草图，并标出颜色区域，写出你的设计理由。探究性/创造性作业（选做）：6.微型项目：“揭秘街头摸球游戏”。有些街头游戏宣称“摸到红球有奖”，但你是否怀疑其中有诈？请利用本课知识，构想一个商家可能使用的“不公平”的摸球游戏方案（例如，盒子有夹层、球有磁性等），并从“可能性”角度分析其不公平之处。以图文或短视频短片的形式展示你的“揭秘报告”。七、本节知识清单及拓展

1.★可能性大小的量化定义：事件发生的可能性大小可以用一个分数（或比值）来表示，其核心是比较“关注事件包含的等可能结果数”与“所有等可能结果的总数”。公式为：可能性=关注的结果数÷所有等可能结果数。

2.★等可能结果：这是计算可能性的前提。指在每次试验中，各个基本结果发生的机会完全相同。如摸一个质地均匀的球，每个球被摸到的可能性相等。

3.★所有可能结果的总数：通常指研究对象（如球、卡片、骰子面）的总个数，前提是它们符合“等可能”。

4.★可能性的取值范围：任何事件发生的可能性大小都在0到1之间（包含0和1）。可能性为0表示事件“不可能”发生；可能性为1表示事件“一定”发生。

5.▲与旧知的联系：三年级学习的“可能”、“一定”、“不可能”是对可能性的定性描述，本课学习的分数表示是定量刻画，后者更精确，且包含了前者（1和0）。

6.★频率与可能性：通过大量重复试验得到的某个事件发生的频率（发生次数/试验总次数），会趋近于该事件的理论可能性。试验次数越多，这种趋势通常越明显。

7.★游戏公平性的数学本质：如果游戏规则使得所有参与者获胜的可能性相等，那么这个规则从数学角度就是公平的。

8.▲易错点提醒：计算可能性时，务必先确认是否满足“等可能性”。同时，计算结果能约分的要约成最简分数，但保留原分数也可以表达意义。

9.★分析步骤：面对一个可能性问题，建议遵循：一找（找出所有等可能结果的总数）、二定（确定关注的事件包含哪些结果）、三算（套用公式计算）、四答（用数学语言作答）。

10.▲逆向思维应用：已知可能性大小，可以反向推导出物体数量之间的比例关系，用于设计游戏或验证情境。

11.▲随机性与确定性：单次试验的结果具有随机性（不可预测），但大量试验下的频率则呈现统计规律性（趋于一个稳定值）。这是概率论研究的核心对象。

12.★生活联系：彩票中奖率、天气预报中的降水概率、保险精算、游戏设计、决策评估（如医疗方案选择）等领域，都广泛应用了可能性（概率）的思维。八、教学反思

（一）教学目标达成度分析从预设的课堂活动与反馈来看，知识目标与能力目标达成度较高。绝大多数学生能准确用分数表示简单摸球情境中的可能性，并能通过小组实验报告展现数据收集与分析的基本能力。情感目标在热烈的游戏设计与辩论中得以实现，学生表现出浓厚的探究兴趣和协作意愿。科学思维目标中的模型建构较为明显，但“数据分析观念”的深化——即对数据随机性的深刻理解，可能仍需后续课程持续强化。元认知目标在小结环节有所触及，但若时间充裕，可设计更具体的反思提示卡，引导学生更系统地回顾学习策略。

（二）核心教学环节有效性评估导入环节的“一次摸球定选择”成功地制造了认知冲突，迅速将学生的思维焦点从“结果”拉向“概率”。新授环节的五个任务构成了逻辑严密的认知阶梯。任务二（操作验证）是点睛之笔，它弥合了直觉猜测与理论计算之间的鸿沟。当学生看到自己小组摸到红球的频率在3/4上下波动时，那种对“数学规律居然藏在这里”的惊叹，是单纯讲解无法替代的。我听到有学生小声嘀咕：“还真是，虽然单次摸到什么说不准，但算下来真的差不多是四分之三。”这就是观念的初步建立。任务五（设计游戏）将课堂推向高潮，学生从“学习者”转变为“创造者”