七年级数学下册-相交线与平行线

同学们，我们已经迈入了平面几何的奇妙世界。在这个世界里，最简单也最基础的图形就是直线。当两条直线在平面内相遇，它们会演绎出怎样的位置关系和数量关系呢？这就是我们这一章要探索的核心内容——相交线与平行线。理解并掌握这些知识，将为我们后续学习更复杂的几何知识打下坚实的基础。一、相交线：当直线相遇在同一平面内，两条直线要么相交，要么不相交。我们先来研究它们“相遇”的情况——相交线。1.1对顶角与邻补角当两条直线相交时，会形成四个角。我们观察这些角，会发现它们之间存在着特殊的位置和数量关系。对顶角：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角，叫做对顶角。例如，直线AB与CD相交于点O，那么∠AOC与∠BOD，∠AOD与∠BOC就是对顶角。从定义我们很容易发现，对顶角有一个重要的性质：对顶角相等。这是因为它们共同构成了一个平角，或者说它们是由两条直线相交而成，彼此互为反向延长线。邻补角：两条直线相交后，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线的两个角，叫做邻补角。同样以上面的相交直线为例，∠AOC与∠AOD就是一对邻补角，它们不仅有公共顶点O，还有一条公共边OA，另一边OC和OD互为反向延长线。显然，邻补角的和等于一个平角的度数，即邻补角互补（和为180°）。理解对顶角和邻补角的概念，关键在于抓住它们的位置特征和数量关系。在解决具体问题时，准确识别这些角是第一步。1.2垂线：相交的特殊情形在相交线中，有一种特殊的情况值得我们重点关注，那就是两条直线相交成直角。垂直的定义：如果两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°），那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。垂直用符号“⊥”表示，例如直线AB垂直于直线CD，可记作AB⊥CD。垂线的性质：1.唯一性：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。这里的“一点”可以在已知直线上，也可以在已知直线外。2.垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。垂线的概念和性质在日常生活和工程实践中有着广泛的应用，比如建筑工人砌墙时用铅垂线来保证墙体垂直，测量跳远成绩时测量的是落点到起跳线的垂线段长度等。二、平行线：永不相交的默契在同一平面内，除了相交的情况，还有一种位置关系——平行。2.1平行线的概念与表示平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，例如直线AB平行于直线CD，可记作AB∥CD。理解平行线的定义，要注意“在同一平面内”和“不相交”这两个关键词。在空间中，不相交的直线不一定平行，但在我们目前学习的平面几何范围内，这两个条件是缺一不可的。平行公理及其推论：*平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。*推论（平行的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。也就是说，如果a∥b，b∥c，那么a∥c。2.2平行线的判定：如何判断平行？仅仅知道平行线的定义，并不能直接用来判断两条直线是否平行，因为我们很难无限延伸直线去验证它们是否永不相交。因此，我们需要更具操作性的判定方法。这些判定方法都与被第三条直线所截形成的角有关。当两条直线被第三条直线所截时，会形成八个角，我们称之为“三线八角”。这些角包括同位角、内错角和同旁内角。*同位角：在两条被截直线的同一方，在截线的同一侧，这样的一对角叫做同位角（形如“F”型）。*内错角：在两条被截直线之间，在截线的两侧，这样的一对角叫做内错角（形如“Z”型）。*同旁内角：在两条被截直线之间，在截线的同一侧，这样的一对角叫做同旁内角（形如“U”型或“C”型）。有了这些角的概念，我们就可以得到平行线的判定方法：1.同位角相等，两直线平行。2.内错角相等，两直线平行。3.同旁内角互补，两直线平行。4.平行于同一条直线的两条直线平行。（即平行公理的推论）5.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。这些判定方法是我们判断两条直线是否平行的重要依据，需要同学们在理解的基础上熟练掌握，并能准确地在图形中识别出这些角。2.3平行线的性质：平行之后有何特征？如果我们已经知道两条直线平行，那么被第三条直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角又有什么关系呢？这就是平行线的性质。*性质1：两直线平行，同位角相等。*性质2：两直线平行，内错角相等。*性质3：两直线平行，同旁内角互补。这里需要特别注意区分平行线的“判定”和“性质”。判定是“由角的关系得到线平行”，而性质是“由线平行得到角的关系”。它们互为因果，在解题时要根据题目条件和所求结论，准确选择使用。三、知识的综合运用与总结相交线与平行线是平面几何的入门知识，其核心在于角与线之间的位置关系和数量关系的相互转化。无论是对顶角的相等，邻补角的互补，还是垂线的性质，亦或是平行线的判定与性质，都体现了这种转化思想。在解决实际问题时，我们常常需要：1.准确识图：从复杂图形中分解出我们需要的基本图形（如“三线八角”）。2.明确条件与结论：判断是已知平行用性质，还是要证平行用判定。3.规范表达：证明过程要做到步步有据，逻辑清晰。这部分知识不仅是后续学习三角形、四边形等平面图形