小学六年级数学拓展课：抽屉原理探究与模型建构

小学六年级数学拓展课：抽屉原理探究与模型建构一、教学内容分析《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第三学段“综合与实践”领域强调，通过应用所学知识解决实际问题，感悟数学思想方法，发展模型意识和应用意识。抽屉原理（鸽巢原理）作为组合数学中的一个基本原理，是本阶段拓展学生逻辑思维、培养模型思想的绝佳载体。从知识图谱看，它位于“数学广角”范畴，是学生在掌握了整数、除法、有余数除法等知识后的一个高阶思维应用点，其核心认知要求在于“理解”与“模型应用”。它并非一个独立的运算技能，而是一种化归与建模的思想方法：如何将纷繁复杂的实际问题，抽象、转化为“物体”与“抽屉”的包含关系，并运用“最不利原则”（平均分思想）进行严谨推理。这一过程高度融合了“数学建模”与“逻辑推理”两大核心素养。其育人价值在于，引导学生超越具体计算，学会用简洁的数学模型洞察和描述世界中的确定性规律，体会数学的抽象之美与逻辑力量，增强探究复杂问题的信心和理性精神。面向六年级下学期的学生，他们已具备扎实的整数除法运算能力和初步的分类、归纳思想，生活经验也相对丰富。然而，从具体生活现象抽象出“抽屉模型”是一个显著的认知跃迁，学生普遍存在的障碍在于：一是难以自主识别问题中何为“物体”、何为“抽屉”；二是对“至少数”的理解易停留在表面，难以内化“商+1”这一核心结论的必然性；三是在解决变式问题时，思维容易固化，缺乏灵活构造“抽屉”的策略。因此，教学前的关键是通过简单前测（如：随意说出5个自然数，其中至少有几个数的奇偶性相同？），探查学生基于直觉的推理水平。教学中，将采用“具象操作—半抽象归纳—抽象建模”的渐进支架，并通过分层任务单和小组协作，动态评估不同层次学生的建构过程。对于理解较快的学生，引导其探究原理的变式与极限情况；对于存在困难的学生，则提供更丰富的实物操作和可视化图表支持，确保所有学生都能在“最近发展区”获得成功体验。二、教学目标知识目标：学生能准确阐述抽屉原理的基本形式，理解“物体数÷抽屉数=商……余数”模型中“至少数=商+1”的推理逻辑。能够辨识不同情境下的“物体”与“抽屉”，并运用该原理解决简单的实际问题，如证明在任意13人中至少有两人生日在同一个月。能力目标：学生经历从具体实例中抽象数学模型的全过程，提升数学建模能力。在探究活动中，能进行有条理的逻辑推理和清晰的口头或书面表达。通过变式练习，发展灵活转化问题和逆向思考的策略性思维能力。情感态度与价值观目标：在小组合作探究中，学生能积极参与，倾听同伴见解，敢于提出不同思路，体验协同攻克难题的乐趣。通过原理广泛应用的实例，感受数学原理的普适性与简洁美，激发进一步探索组合数学的兴趣。科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的模型思想与推理意识。通过构建“抽屉问题”的标准模型，将具体问题“数学化”；运用“最不利原则”进行严密分析，体现逻辑的严谨性。设置开放性问题链，引导学生经历“猜想验证归纳应用”的完整科学探究路径。评价与元认知目标：引导学生依据“建模是否准确”、“推理是否清晰”两项核心标准，对自主解题方案和同伴分享进行评价。在课堂小结环节，通过绘制思维导图，反思学习路径，总结“如何识别抽屉模型”和“何时需要创造性构造抽屉”的策略性知识。三、教学重点与难点教学重点：抽屉原理的理解及其基本模型的应用。重点确立依据在于，原理本身是组合数学的基石性概念，其蕴含的“最不利原则”（平均分思想）是解决一大类存在性问题的通用思维工具。从素养导向看，掌握这一模型是发展学生逻辑推理与模型思想的关键节点，也是小升初能力拓展中考查学生高阶思维的常见载体。教学难点：将实际问题抽象为标准的抽屉模型，并灵活确定“物体”和“抽屉”。难点成因在于，现实问题不会直接呈现“分物品”场景，需要学生剥离非本质信息，进行数学抽象，这对学生的转化与建模能力提出了较高要求。例如，证明“任意6人中至少有3人相互认识或不认识”，需要将“人”转化为“点”，将“认识关系”转化为“连线颜色”，进而构造抽屉。突破方向在于，提供丰富的、阶梯式的情境案例，引导学生反复进行“现实—模型”的双向翻译训练。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（含动态演示“平均分”过程）、实物投影仪。1.2学习材料：1.任务探究单（分层设计：A基础版、B挑战版）。2.分组学具袋（内含：4支铅笔、3个笔筒；扑克牌一套；标有数字110的卡片）。3.板书记划：预留核心概念区、模型建构区、学生成果展示区。2.学生准备4.复习有余数除法的含义。5.准备尺、笔。3.环境布置6.学生46人一组，便于合作探究与交流。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与认知冲突：“同学们，老师敢下一个‘断言’：我们班任意13位同学中，至少有两个人的生日在同一个月。大家相信吗？可以先默默算一下自己的生日月份。”（等待学生反应，预计有学生觉得不可能，因为一年有12个月）。有人可能想，万一大家生日月份都分散开呢？这听起来可能有点违反直觉。1.1问题提出：“我的这个断言到底成不成立？这里面是否隐藏着一个必然的数学规律？今天，我们就化身数学侦探，一起来揭开这个谜底背后的原理。”1.2路径明晰：“我们的探究将从一个小游戏开始，逐步从具体现象中归纳规律，最后建构一个能解决此类问题的强大数学模型——抽屉原理。首先，请拿出你们的学具。”第二、新授环节本环节通过搭建循序渐进的认知脚手架，引导学生主动建构原理。任务一：动手操作，感知“至少”的含义教师活动：首先发布明确指令：“请各小组将4支铅笔，放进3个笔筒。可以随意放，也可以有目的的安排。我们的核心任务是：无论怎么放，总有一个笔筒里‘至少’放进了几支笔？请用实物摆放并记录下所有可能的情况。”教师巡视，捕捉典型放法（如（4,0,0）、（3,1,0）、（2,2,0）、（2,1,1））。然后聚焦提问：“‘至少’是什么意思？在（2,1,1）这种放法中，哪个笔筒的铅笔数是‘总有一个笔筒至少有的’？”引导学生理解“至少”指的是在所有放法中，保证存在的那个最小值。接着追问：“有没有一种放法，能让每个笔筒的铅笔数都少于2支？”让学生通过尝试发现不可能。学生活动：小组合作进行实物操作，尝试多种分配方案，并简单记录。观察不同方案，在教师引导下讨论“至少”的含义。通过穷举或反驳，达成共识：不管怎么放，总有一个笔筒至少有2支铅笔。即时评价标准：1.能否通过操作找到两种以上不同的放置方法。2.在小组讨论中，能否准确用语言描述“至少”在本情境中的含义。3.能否通过合作，得出结论并准备分享。形成知识、思维、方法清单：1.★核心操作感知：“4支铅笔放入3个笔筒，总有一个笔筒至少有2支铅笔。”这是原理最直观的体现。先别急着记公式，感受这个“必然存在”的结果。2.▲关键词理解：“至少”在这里不是“最少”，而是“无论如何都保证存在”的底线值。可以问自己：有没有办法让每个笔筒都少于这个数？3.方法引导：当我们面对“至少”问题时，可以尝试寻找“最分散”或“最平均”的放法，这常常就是找到那个“至少数”的关键。任务二：数据关联，建立除法模型教师活动：承接任务一，引导学生将操作与已有数学知识联系。“刚才的结论，能不能用我们学过的数学运算来表达？”板书：4÷3=1……1。启发思考：“商1和余数1，分别对应着我们刚才操作中的什么？”学生可能说“每个笔筒先平均放1支”，“还多出1支”。教师顺势点明：“这多出的1支，无论放到哪个笔筒，都会使那个笔筒变成2支。所以，那个‘至少数’就是——”学生齐答：“1+1=2”。教师总结：“看，我们从动手操作中，发现了可以用除法算式来简洁地推理这个必然结果！”学生活动：观察板书算式，联系刚才的实物操作过程，理解商和余数的实际意义。尝试用语言描述：“先平均分，每个笔筒1支，剩下的1支不管给谁，都会让它变成2支。”即时评价标准：1.能否将实物分配结果与除法算式（4÷3=1……1）正确关联。2.能否解释算式中每个数字在具体情境中代表什么。3.能否用自己的话复述从算式推导出“至少数=1+1”的过程。形成知识、思维、方法清单：1.★核心模型初建：物体数÷抽屉数=商……余数→至少数=商+1。这是抽屉原理的算术表达核心。记住，关键是“先平均分”。2.▲思维转折点：从具体操作到算式表达，是思维从具象走向抽象的第一步。这个算式像是一个“数学翻译”，把生活问题翻译成了数学语言。3.易错警示：当余数为0时怎么办？例如，6支笔放3个笔筒，6÷3=2……0，至少数就是商2（因为已经平均分完了，每个抽屉正好是商那么多）。所以完整公式是：至少数=商+1（当余数不为0时）。任务三：归纳抽象，初识原理教师活动：提供一组变式数据，引导学生归纳一般规律。课件出示：（1）5只鸽子飞进3个鸽巢，结果如何？（2）7本书放进2个抽屉，结果如何？引导学生列式计算并说出结论。然后，邀请学生尝试用自己的语言总结规律。教师最后给出规范表述：“当物体数量比抽屉数量多时，把物体放入抽屉，那么‘总有一个抽屉里至少放进（商+1）个物体’。这就是著名的‘抽屉原理’，也叫‘鸽巢原理’。它揭示的是一种必然存在的数量关系。”学生活动：独立或小组合作完成变式计算，并口述结论。参与归纳，尝试用“如果……那么……”的句式概括规律。倾听教师的标准陈述，并理解记忆。即时评价标准：1.能否独立正确计算并表述变式问题的结论。2.归纳概括时，语言是否清晰、准确，能否抓住“物体数>抽屉数”、“至少数=商+1”等关键要素。形成知识、思维、方法清单：1.★原理陈述（基本形式）：把（mn+1）个物体放入n个抽屉（m，n为正整数），则至少有一个抽屉中放有至少（m+1）个物体。这是更一般的表达，对于学有余力的同学可以了解。2.▲学科思想：归纳推理。从几个具体例子中，发现共同模式，总结出普遍规律。这是数学发现的重要方式。3.应用提醒：原理的结论是“至少有一个抽屉满足条件”，它不关心是哪一个抽屉，只保证存在性。这就像老师开头的断言，只保证存在两个人同月生，不指定是谁。任务四：情境转化，辨识“物体”与“抽屉”教师活动：回到导入问题，示范如何将实际问题模型化。“现在，我们能解决生日问题了吗？谁是‘物体’？谁是‘抽屉’？”引导学生明确：13个人是“物体”，12个月份是“抽屉”。列式：13÷12=1……1，至少数=1+1=2。所以断言成立。然后出示新问题：“一幅扑克牌（去掉大小王），至少抽出多少张，才能保证至少有两种花色？”组织小组讨论：“这个问题的‘物体’和‘抽屉’分别是什么？最不利的情况是怎样的？”巡视并指导思路受阻的小组。学生活动：在教师示范下，理解生日问题的模型转化。针对扑克牌问题，小组展开激烈讨论。可能有学生将“抽出的牌”当作物体，“花色”当抽屉；需思考“最不利”即先平均抽齐每种花色。通过讨论，形成解题思路。即时评价标准：1.能否在教师示范后，准确指出生日问题中的“物体”和“抽屉”。2.在小组讨论中，能否积极参与并为“扑克牌问题”的模型建构提供思路。3.能否运用“最不利原则”思考问题。形成知识、思维、方法清单：1.★核心能力——模型识别：应用原理的第一步，也是最重要的一步，是将实际问题抽象为“物体”和“抽屉”。口诀：要找的“保证至少”的那个东西（如“同月份”、“同花色”）往往是“抽屉”。2.▲关键思维策略——最不利原则：为了保证结论成立，我们先考虑“最坏情况”，即尽可能平均地分散物体，直到不得不满足条件为止。这种从对立面思考的方式非常有力。3.应用实例：生日问题、扑克牌问题都是经典案例。扑克牌问题中，物体是“抽出的牌数”，抽屉是“4种花色”。最不利情况是先每种花色抽1张（共4张），再抽1张就必然有2张同花色，所以答案是5张。任务五：拓展延伸，构造“抽屉”教师活动：提出更具挑战性的问题，引导学有余力的学生思维向纵深发展。问题：“任意给出5个不同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数。为什么？”提示：“直接找‘物体’和‘抽屉’困难吗？如果我们考虑这些自然数除以4的余数呢？”引导学生发现，一个自然数除以4的余数只有0，1，2，3这四种可能，这4种余数就可以看作4个“抽屉”，5个数看作5个“物体”，应用原理，结论自明。总结：“有时候，‘抽屉’不是现成的，需要我们对‘物体’进行恰当的分类来创造‘抽屉’，这是应用原理的更高境界。”学生活动：聆听问题，陷入沉思。在教师“除以4的余数”的提示下，恍然大悟。理解“余数类”作为抽屉的构造方法。部分思维活跃的学生可能尝试提出其他类似问题。即时评价标准：1.能否在提示下，理解通过“按除以4的余数分类”来构造抽屉的思路。2.能否感受到解决此类问题需要更灵活的创造性思维。形成知识、思维、方法清单：1.★高阶应用——抽屉构造：当问题中没有明显抽屉时，需要根据结论，对物体进行恰当分类，每一类构成一个“抽屉”。常见的构造依据有：按余数分类、按区间划分、按配对分组等。2.▲思维提升：从识别现成抽屉到主动构造抽屉，是思维从“应用”到“创造”的飞跃。这要求我们更深刻地分析问题的数学结构。3.拓展链接：此问题与数论知识相关联。构造抽屉的思想在解决更复杂的组合存在性问题（如拉姆齐问题入门）中至关重要。第三、当堂巩固训练基础层（全员达标）：1.11只小鸟飞进4个鸟笼，总有一个鸟笼至少飞进了几只小鸟？2.六年级有367名学生，请问至少有几名学生的生日是同一天？综合层（多数挑战）：3.一个布袋里有红、黄、蓝袜子各5只。至少取出多少只，才能保证有2只颜色相同？至少取出多少只，才能保证有2只颜色不同的袜子？（提示：第二个问题注意“最不利”情形不同）挑战层（学有余力）：4.在边长为1的正方形内任意放入5个点，试证明：其中至少有两个点的距离不超过√2/2。（提示：连接正方形两组对边中点，将正方形分成4个面积为1/4的小区域，以此构造抽屉）。反馈机制：基础题由学生口答，教师快速点评。综合题和挑战题采用小组研讨后，派代表板书讲解，教师引导全班聚焦于“物体与抽屉的确定”和“最不利情况的分析”进行互评。教师准备典型错误案例（如综合题第2问误答为4只）进行对比剖析，深化理解。第四、课堂小结“同学们，今天的侦探之旅即将结束，谁来带领大家梳理一下我们的破案‘武器库’？”引导学生从三方面总结：知识整合：我们发现了抽屉原理，其核心是“物体数÷抽屉数=商……余数，至少数=商+1（余数>0）或商（余数=0）”。方法提炼：我们掌握了应用原理的三部曲——第一步：转化与识别（找准物体和抽屉）；第二步：最不利分析（平均分思想）；第三步：计算与定论。对于难题，可能还需要创造性构造抽屉。元认知反思：“回顾一下，你最初觉得生日断言不可思议，现在再看，是不是觉得理所当然？这个转变过程中，你觉得哪一步的思维跨越最大？”作业布置：基础性作业（必做）：完成练习册相关基础题，并用自己的话向家人解释抽屉原理。拓展性作业（选做）：收集一个生活中或数学故事中运用抽屉原理的例子，并写出简要分析。探究性作业（挑战选做）：求证：在任意6个人中，一定可以找到3个人，他们要么彼此都认识，要么彼此都不认识。（提示：用点表示人，用两种颜色的线段表示认识与否，尝试构造抽屉）。六、作业设计1.基础性作业（全体必做）4.填空题：(1)把10个苹果放进9个抽屉，总有一个抽屉至少放了（）个苹果。(2)抽屉原理又称（）原理。5.应用题：某校六年级有5个班，今有164本课外书要分给各班，至少有一个班分到的书不少于多少本？请说明理由。6.说理题：为什么“在一条1米长的线段上任意放6个点，则至少有两个点之间的距离小于0.2米”是正确的？（提示：将线段平均分成5段）2.拓展性作业（大多数学生可完成）7.情境应用题：一个盒子中有红、白、黑三种颜色的手套各5只（不分左右手）。如果闭上眼睛从盒子中取手套，要保证取出的手套中有2只能配成一双（颜色相同即可），至少需要取出多少只？如果要保证能配成两双不同颜色的手套呢？请写出你的思考过程。8.小调查与建模：请你调查本小组内7位同学的兴趣爱好（如：篮球、绘画、编程、阅读，每人选一项最喜欢的）。试用抽屉原理说明，你们小组内至少有几人的兴趣爱好相同？3.探究性/创造性作业（学有余力学生选做）9.历史与原理：查阅资料，了解“抽屉原理”最早是由哪位数学家明确提出的？它有哪些经典的、有趣的表述或应用故事？撰写一份不超过300字的简介。10.开放挑战题：有一副扑克牌（54张，含大小王）。请你自己设计一个关于“至少抽出多少张才能保证……”的问题，要求应用抽屉原理解决，并给出完整的解答。比一比谁设计的问题更有趣、更有思维含量。七、本节知识清单及拓展★1.抽屉原理（鸽巢原理）基本形式：把多于n个的物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里放有不少于2个物体。这是最简洁的表述，是理解一切变式的基础。★2.一般算术模型：物体数÷抽屉数=商……余数。结论：总有一个抽屉里至少有（商+1）个物体（当余数不为0时）；或至少有（商）个物体（当余数为0时）。这是解决具体计算问题的核心公式。★3.关键词“至少”的精准含义：这里的“至少”指的是“在所有可能的分配情况中，必定存在（保证有）的某个抽屉中物体的最小数量”。它不是指某种特定放法下的最少数量，而是一个确定的下界。▲4.核心思想方法——最不利原则（平均分思想）：为了找到保证结论成立的那个最小数量，我们需要考虑“最坏情况”，即尽可能平均地分配物体，使每个抽屉的数量尽可能“少”且“平均”。这种从反面、极限情况思考的策略，是应用原理的灵魂。★5.应用第一步：模型识别（物体vs抽屉）：“物体”通常指待分配或考察的个体（如：人、书、球、抽取的次数等）；“抽屉”则是承载物体的类别或范围（如：月份、花色、性别、区间等）。通常结论中“保证至少具有某种共同属性”的那个属性，就指向“抽屉”。▲6.高阶策略：抽屉的构造：当问题中没有明显的抽屉时，需要根据结论和条件，对物体进行巧妙的分类，人为创造出“抽屉”。常见方法有：按整数除以某数的余数分类、按数值区间划分、按几何图形分割、按配对组合等。这是能力提升的关键点。★7.标准应用流程：一“转”（实际问题转化为物体与抽屉）；二“算”（运用除法模型计算）；三“答”（根据计算结果给出严谨结论）。养成规范解题步骤的习惯。▲8.原理的变式与极限理解：原理的结论是“存在性”结论，不指明具体是哪个抽屉。当物体数刚好是抽屉数的整数倍时，“至少数”就是商。可以思考：如果物体数少于或等于抽屉数，原理的结论是什么？（结论不必然成立，或“至少数为1”）。★9.经典入门案例：(1)生日问题（13人，12个月）；(2)扑克牌花色问题（至少抽5张保证同花色）；(3)袜子颜色问题（各色若干，保证配成同色一双）。掌握这些案例有助于快速理解模型。▲10.与除法意义的深度联系：抽屉原理的算术模型深刻植根于“包含除”和“平均分”的意义。有余数的除法中“余数总比除数小”，决定了多出的物体必然会使某个抽屉增加。▲11.数学素养指向：学习抽屉原理，核心发展的是模型思想（从具体情境抽象出数学模型）和推理能力（进行严谨的逻辑演绎）。它体现了数学的确定性和逻辑力量。★12.常见错误警示：(1)混淆“至少”的含义，误以为是最少的一种情况。(2)在计算“至少数”时，无论余数是否为0都加1。(3)在复杂问题中无法正确识别或构造抽屉，导致模型错误。八、教学反思（一）目标达成度分析从假设的课堂实况看，知识目标基本达成，大部分学生能复述原理并解决标准模型问题。能力目标上，学生经历了有效的建模过程，但在“任务五”的抽屉构造环节，仅约三分之一的学生能紧跟思路，这表明高阶建模能力需长期培养。情感目标达成良好，小组合作与探究氛围浓厚，学生被原理的“威力”所吸引。元认知目标通过小结环节的引导有所触及，但学生自主反思策略的深度仍有提升空间。（二）教学环节有效性评估导入环节的“生日断言”成功制造了认知冲突，激发了探究欲。新授的五个任务构成了清晰的认知阶梯：“任务一”的具象操作不可或缺，它让抽象的“至少”概念可触摸；“任务二”的算式关联是关键桥梁，实现了从具体到抽象的跳跃；“任务三”的归纳让原理呼之欲出；“任务四”的逆向应用（先有原理再辨识模型）巩固了理解；“任务五”的构造抽屉则为学优生打开了新天地。各环节衔接较为自然。巩固训练的分层设计照顾了差异性，但在有限的课堂时间内，对挑战题的讨论可能不够充分，部分中等生存在“听懂了但自己想不到”的现象。（三）学生表现深度剖析在小组活动中，观察发现学生呈现出明显分层：A层（基础层）学生能顺利完成操作和基础计算，但在表达原理和转化模型时需要同伴或教师支持；B层（中等层）学生是课堂的主力军，能积极参