高二下学期数学《函数的极值》教学设计

高二下学期数学《函数的极值》教学设计一、教学内容分析1.课程标准解读本课依据高中数学课程标准要求，聚焦《函数的极值》核心内容，旨在帮助学生构建“概念—判定—求法—应用”的完整知识体系。知识与技能维度，需掌握函数极值的定义、判定条件及导数法求极值的核心技能，能通过导数分析函数局部最值特征；过程与方法维度，引导学生通过观察函数图像、推导数学关系、归纳判定规则，培养数学抽象、逻辑推理、数学运算及数学建模核心素养；情感·态度·价值观维度，强化数学与实际问题的联结，激发学生对数学工具性价值的认知与探索热情。学业质量要求学生能独立完成简单函数的极值求解，并能解决与优化相关的基础实际问题。2.学情分析高二下学期学生已具备函数单调性、导数的定义及几何意义等前置知识，但存在以下认知痛点：一是对“导数符号变化”与“函数增减性转换”的关联理解不透彻，易混淆“驻点”与“极值点”概念；二是抽象思维能力虽有发展，但将实际问题转化为函数极值模型的能力不足；三是运算过程中存在导数求解不规范、因式分解不彻底等问题。结合该阶段学生好奇心强、乐于探究的认知特点，教学中需强化数形结合、实例驱动及分层训练，破解理解与应用障碍。二、教材分析《函数的极值》是高中数学函数模块与微积分初步衔接的关键内容，在“函数性质—导数应用—实际优化”的知识链条中起到承上启下的作用：其前承导数的几何意义与函数单调性判定，后启定积分、多变量函数极值及更复杂的最优化问题，是学生从“描述函数变化”到“量化函数局部特征”的重要过渡。教材核心内容围绕“极值定义—判定条件—导数求法—实际应用”展开，注重知识的逻辑性与实用性，通过例题与习题梯度设计，逐步提升学生的知识迁移能力，同时为后续高等数学相关内容奠定基础。三、教学目标1.知识目标（1）识记函数极值的严格定义，能用数学语言表述：设函数y=fx在点x0及其邻域Ux0内有定义，若对任意x∈Ux0⧵x0，都有fx<fx0（或fx>fx0），则称fx0为函数fx的极大值（（2）理解导数与极值的内在关联，掌握极值判定的必要条件（若fx在x0处可导且取得极值，则f'x0=0）与充分条件（导数符号变（3）熟练掌握导数法求函数极值的步骤，能准确求解形如fx=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的多项式函数极值，并能拓展至简单分式函数、根式2.能力目标（1）具备规范的数学操作能力，能按“求导→找驻点→划分区间→判断导数符号→确定极值”的流程求解极值，运算准确率达85%以上；（2）发展高阶思维能力，能辨析“驻点”与“极值点”的区别与联系，对含参数函数（如fx=x3+ax2+1）的极值情（3）提升数学建模与问题解决能力，能将实际优化问题（如成本最低、利润最大、用料最省等）转化为函数极值问题并求解。3.情感态度与价值观目标（1）通过分析极值问题在物理学、经济学、工程学中的应用案例，体会数学的工具性与实用性，增强对数学的学习兴趣；（2）在探究极值判定条件的过程中，感受“观察—猜想—验证—归纳”的科学研究方法，培养严谨求实的科学态度；（3）学会运用数学知识解释生活现象，如“最优路径”“最大收益”等，提升用数学思维分析问题的意识。4.科学思维目标（1）培养数学抽象能力，能从具体函数图像中抽象出极值点的共性特征，构建极值判定的数学模型；（2）发展逻辑推理能力，能通过导数的几何意义推导极值判定的充分条件与必要条件，形成“形→数→理”的推理链条；（3）提升模型建构能力，能针对实际问题构建单变量函数模型，利用极值知识解决优化问题。5.科学评价目标（1）能运用评价量规，对同伴的极值求解过程从“导数计算准确性”“驻点求解规范性”“符号判断合理性”“极值结论正确性”四个维度给出具体反馈；（2）能自我反思解题过程中的错误类型（如运算错误、概念混淆、区间划分错误等），并提出改进方案；（3）能对网络或教辅资料中的极值问题解法进行甄别，判断其逻辑严谨性与适用范围。四、教学重难点1.教学重点（1）函数极值的严格定义及几何特征；（2）极值判定的必要条件与充分条件（导数符号变化法）；（3）导数法求函数极值的完整流程（以多项式函数为例）。2.教学难点（1）突破“驻点=极值点”的认知误区，理解极值判定充分条件的逻辑本质；（2）含参数函数（如fx=x3−3ax+2）的极值讨（3）实际问题中函数模型的构建与极值意义的解读。五、教学准备清单多媒体课件：包含导数几何意义动画、极值点判定动态演示、典型例题解析、习题梯度训练的PPT；教具：函数极值与导数关系数形结合图表（如图1）、驻点与极值点辨析卡片；实验器材：科学计算器（用于复杂函数值计算）、绘图工具（直尺、铅笔、坐标纸）；音频视频资料：极值问题实际应用案例视频（如工程优化、经济决策）；任务单：分基础层、提高层、拓展层的极值求解练习题（含详细解题步骤提示）；评价表：学生作业与课堂表现评价量规（含知识掌握、能力运用、思维过程三个维度）；学生预习：教材相关章节，完成预习任务单（含导数计算、函数单调性判定基础习题）；学习用具：笔记本、草稿纸、绘图工具；教学环境：小组合作式座位排列，黑板分区板书设计（概念区、公式区、例题区、易错点区）。图1函数fx=x3−3x的图像与导数横坐标x−∞x=−1−1x=33导数f正（+）0负（）0正（+）函数fx单调单调递增极大值点单调递减极小值点单调递增函数图像特征上升峰值点下降谷值点上升（注：图表中函数图像可在PPT中以动态形式呈现，标注极大值f−1=2，极小值六、教学过程（一）导入环节（5分钟）情境设问：“某厂家生产一批圆柱形罐头，容积固定为V=500\pi,\text{cm}^3，如何设计罐头的底面半径r和高h，能使罐头的表面积最小（即用料最省）？”认知冲突：引导学生思考“表面积与底面半径的关系是什么？”“如何找到使表面积最小的半径值？”，关联已学的函数建模与导数知识，引出“函数的局部最值——极值”课题。目标明确：通过本节课学习，掌握函数极值的定义、判定方法与求法，最终解决此类优化问题。（二）新授环节（30分钟）任务一：函数极值的概念阐释教师活动：展示函数fx=x3−3x的图像（图1），引导学生观察图像在x=−1和x=3给出极值的严格数学定义，强调“邻域”“局部性”两个关键特征（与函数最值的区别）；设问：“极值点一定是函数图像的最高点或最低点吗？”“函数在定义域内可以有多个极值点吗？”学生活动：观察图像，描述x=−1和x=3处函数值与周边点函数值的关系；对比极值与最值的定义，总结两者的区别与联系；完成即时练习：指出函数fx=2x3−6x2+7图像（课件展示）中的极大即时评价标准：能准确复述极值定义中的“邻域”“局部性”特征；能区分极值与最值，正确识别图像中的极值点。任务二：函数极值的判定条件教师活动：回顾导数与函数单调性的关系：“当f'x>0时，函数单调递增；当f'x<0时，函数结合图1，分析极值点处的导数特征：“极大值点左侧导数为正、右侧为负；极小值点左侧导数为负、右侧为正”；推导判定条件：必要条件：若fx在x0处可导且取得极值，则f'x0=0（充分条件：设fx在x0处连续，且在x0的某邻域内可导（x0处可导与否均可），若x<x0时f'x>0，x>x0时f'x<0，则fx0为极大值；反例辨析：展示函数fx=x3在x=0处的图像，说明“驻点不一定是极学生活动：跟随推导过程，记录判定条件的数学表达；分析fx=x3在x=0处的导数符号变化，理解“驻点≠极完成即时练习：判断fx=x4−2x2的驻点是否为极值点（要求写出导数符即时评价标准：能准确表述极值判定的必要条件与充分条件；能通过导数符号变化判断驻点是否为极值点。任务三：函数极值的求法教师活动：总结导数法求函数极值的步骤：①确定函数fx的定义域D②求导数f'③令f'x=0，求解方程得驻④用驻点将定义域D划分为若干子区间，判断每个子区间内f'x的符⑤根据充分条件，确定各驻点是否为极值点，进而求出极值；例题示范：求函数fx=x3−3x2−9x+5的极值（详细板书步骤，含区间划分、符号判学生活动：记录求导步骤，模仿例题完成练习：求fx=2x3小组交流解题过程，修正运算错误。即时评价标准：能按规范步骤完成极值求解，导数计算准确；区间划分合理，导数符号判断正确；极值计算结果无误，书写规范。任务四：函数极值的应用教师活动：回归导入环节的罐头设计问题，引导学生建模：已知容积V=πr2h=500π，表面积Sr=2πr2引导学生用导数法求Sr的最小值，解读极值的实际意义学生活动：跟随建模过程，理解实际问题转化为函数极值问题的思路；独立完成Sr的极值求解，得出罐头的最优尺寸分享解题思路，说明极值在实际问题中的意义。即时评价标准：能正确构建实际问题的函数模型；能运用导数法求解模型的极值，解读结果的实际意义。任务五：函数极值的拓展教师活动：设问：“函数在不可导点处能否取得极值？”展示fx=|x|在x=0处的图像，说明“连续但不可导的点也可能是极值点引导学生总结极值点的两类情况：可导的驻点、连续不可导的点。学生活动：分析fx=|x|在x=0处的连续性、可导性及极值特完成拓展练习：判断fx=x−123在x=1处是否即时评价标准：能理解“连续不可导点也可能是极值点”；能通过定义或图像判断此类点是否为极值点。（三）巩固训练（15分钟）1.基础巩固层（7分钟）练习1：求函数fx=x3−3x2+4x+1的极值（要求练习2：判断函数gx=1x在区间0+∞上是否存在极值，并即时反馈：公布答案与标准步骤，重点讲解导数计算、驻点求解的易错点。2.综合应用层（5分钟）练习3：某商品的利润函数为Lx=−x2+8x−12（x为销售量，单位：千件），求利润的最大值及对应练习4：求函数fx=x2−4x+3在区间05上的极值与最值（对比极值与最即时反馈：引导学生分析“区间内极值”与“区间最值”的关系，强调最值需比较极值与区间端点函数值。3.拓展挑战层（3分钟）练习5：已知函数fx=x3+ax2+bx+c在x=−1处取得极大值7，在x=3处取得极即时反馈：提示学生利用极值点的必要条件（f'−1=0，f'3=0）与极大值条件（f−1=7）（四）课堂小结（5分钟）知识体系建构：引导学生用思维导图梳理“极值定义—判定条件—求法—应用—拓展”的知识脉络；方法提炼：总结“数形结合”“分类讨论”“建模转化”三种核心思维方法在极值问题中的应用；悬念设置：“若函数含两个参数，如何讨论其极值的个数与大小？”（衔接下节课内容）；作业布置：必做题：基础巩固层习题+综合应用层习题（教材配套习题）；选做题：拓展挑战层习题+“设计一个生活中的优化问题，并用函数极值求解”（提交解题报告）。七、作业设计1.基础性作业核心知识点：函数极值的定义、判定条件、基本求法；作业内容：（1）求函数fx=2x3（2）判断函数gx=x4−2x2+3的极值点作业要求：独立完成，1520分钟内完成，步骤规范，书写清晰；教师全批全改，针对共性错误进行课堂集中点评。2.拓展性作业核心知识点：函数极值的实际应用、极值与最值的关系；作业内容：（1）某长方形菜园，一边靠墙（墙长10米），另外三边用篱笆围成，篱笆总长20米，求菜园面积的最大值；（2）绘制函数fx=x2+4x+4的图像，标注极值点、极值及单调区间，分析该函数极值与最作业要求：结合生活实际，体现建模过程；答案准确，逻辑清晰；采用等级评价（A/B/C/D），给出具体改进建议。3.探究性/创造性作业核心知识点：函数极值的深度理解、跨学科应用；作业内容：（1）探究“函数极值在物理学中的应用”（如物体运动的最大速度、最小势能等），撰写一篇简短的探究报告（300字左右）；（2）设计一个开放性问题：“如何利用函数极值优化校园绿化灌溉方案？”（需说明建模思路、变量设定及求解方向）；作业要求：无标准答案，鼓励多元表达；记录探究过程，包括资料收集、思路推导、模型构建；支持采用微视频、海报、报告等多种形式提交。八、本节知识清单及拓展极值定义：设函数y=fx在x0的邻域Ux0内有定义，若对任意x∈Ux0⧵x0，有fx<fx0（或fx>f驻点定义：满足f'x0=0的点x0称为函数判定关系：必要条件：可导极值点→驻点（逆命题不成立）；充分条件：驻点+导数符号变化→极值点；连续不可导点+定义判定→极值点；求导步骤：定义域→求导→找驻点与不可导点→划分区间→判符号→定极值；极值与最值：区间最值是区间内极值与端点函数值的最大值或最小值；拓展方法：除导数法外，求解极值的方法还有二分法（适用于连续单调函数）、牛顿法（适用于高阶可导函数）等；跨学科应用：在物理学中用于求解最大速度、最小能量；在经济学中用于优化成本、利润；在工程学中用于设计最优尺寸、最短路径等；易错点警示：①忽略定义域对极值的限制；②误将驻点等同于极值点；③判断导数符号时区间划分不完整；④实际问题中未验证极值的实际意义。九、教学反思教学目标达成度：大部分学生能掌握极值的定义、基本求法及简单应用，完成基础巩固层习题的准确率达80%以上；但在含参数函数极值讨论、连续不可导点极值判断等难点内容上，约30%的学生存在理解障碍，需在后续课中通过专题训练强化。教学过程有效性：通过“情境导入—概念建构—例题示范—分层训练”的流程，有效激发了学生的参与度；但小组合作环节中，部分基础薄弱学生参与度较低，需优化分组方式，设计“一