青岛版高中数学竞赛训练题试卷及答案

青岛版高中数学竞赛训练题试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.函数f(x)=ln(x+√(x^2+1))的定义域为（）A.(-∞,+∞)B.[0,+∞)C.(-1,+1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)2.若复数z满足|z-2|+|z+2|=6，则z在复平面内对应的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆3.极限lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2的值为（）A.1/2B.1C.0D.-1/24.抛物线y^2=8x的焦点到准线的距离为（）A.2B.4C.8D.165.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b的值为（）A.1B.√2C.√3D.26.设函数f(x)=x^3-3x+1，则f(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为（）A.8,-4B.4,-4C.8,-8D.4,-87.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_3=5，a_5=9，则S_7的值为（）A.35B.42C.49D.568.在空间直角坐标系中，向量a=(1,2,-1)与向量b=(2,-1,1)的夹角余弦值为（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.-√3/29.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，则点P(2,-1)到圆C的距离为（）A.1B.√2C.√3D.210.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像向左平移π/4个单位后与原函数图像重合，则ω的值为（）A.1B.2C.4D.8二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）11.不等式|x-1|>2的解集为__________。12.已知向量a=(3,-1)，向量b=(1,k)，若a⊥b，则k的值为__________。13.函数f(x)=2^x在区间[1,3]上的最小值与最大值之差为__________。14.在等比数列{a_n}中，若a_2=4，a_4=16，则公比q的值为__________。15.已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则圆心C的坐标为__________。16.若复数z=1+i，则z^4的实部为__________。17.函数f(x)=√(x-1)的定义域为__________。18.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，边a=2，则角C的对边c的值为__________。19.已知直线l的方程为y=2x-3，则直线l的斜率为__________。20.若函数f(x)=x^2-2x+3在区间[1,4]上的最小值为__________。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）21.若函数f(x)是奇函数，则f(x)的图像关于原点对称。22.抛物线y^2=4x的焦点坐标为(1,0)。23.在△ABC中，若边a=3，边b=4，边c=5，则△ABC是直角三角形。24.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}也是等差数列。25.函数f(x)=cos(x)在区间[0,π]上是增函数。26.若复数z满足|z|=1，则z可以表示为1+ti的形式（t为实数）。27.圆(x-2)^2+(y-3)^2=1的半径为1。28.若向量a=(1,0)，向量b=(0,1)，则a与b的夹角为90°。29.函数f(x)=e^x在区间(-∞,+∞)上是增函数。30.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），则{a_n}是等差数列。四、简答题（总共3题，每题4分，总分12分）31.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值与最小值。32.已知等比数列{a_n}的首项a_1=2，公比q=3，求a_7的值。33.求过点P(1,2)且与直线l:2x-y+1=0平行的直线方程。五、应用题（总共2题，每题9分，总分18分）34.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每生产一件产品的可变成本为20元，售价为50元。若生产x件产品的利润为L(x)元，求L(x)的表达式，并求生产多少件产品时利润最大。35.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b和边c的长度。【标准答案及解析】一、单选题1.A解析：x+√(x^2+1)>0恒成立，故定义域为(-∞,+∞)。2.A解析：|z-2|+|z+2|=6表示以(-2,0)、(2,0)为焦点的椭圆。3.A解析：利用洛必达法则，lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2=lim(x→0)(e^x-1)/2x=1/2。4.B解析：焦点为(2,0)，准线为x=-2，距离为4。5.B解析：由正弦定理，b=asinB/sinA=√2。6.A解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-2)=8，f(1)=-4，f(2)=4，最大值为8，最小值为-4。7.B解析：由等差数列性质，a_4=(a_3+a_5)/2=7，S_7=7a_4=49。8.B解析：cosθ=(a·b)/(|a||b|)=1/2。9.A解析：圆心(1,-2)，半径2，点P到圆心距离为√(1+9)=√10，故距离为√10-2=1。10.B解析：平移π/4个单位后f(x)=sin(ω(x+π/4)+φ)=sin(ωx+ωπ/4+φ)，需ωπ/4=2kπ，ω=8k，最小正整数为2。二、填空题11.(-∞,-1)∪(3,+∞)12.-313.614.215.(2,-3)16.017.[1,+∞)18.2√219.220.2三、判断题21.√22.×（焦点为(1,0)）23.√24.×（如a_n=1,2,4,a_n^2=1,4,16，非等差）25.×（在[0,π/2]上增，[π/2,π]上减）26.×（如z=i）27.√28.√29.√30.√四、简答题31.最大值2（x=1），最小值-2（x=-1）。32.a_7=23^6=1458。33.y-2=2(x-1)，即y=2x。五、应用题34.L(x)=50x-20x-10=30x-10，L'(x)=30>0，故x越大利润越大，但需考虑市场限制。35.由正弦定理，b=asinB/sinA=√6，c=asinC/sin