2025年高考数学立体几何习题考试

2025年高考数学立体几何习题考试考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面π：x-y+z=1的距离为（）A.√3B.√6C.√11D.2√32.已知直线l：x=2y-1与平面α：x+y+z=0所成角的正弦值为（）A.1/√6B.1/√3C.1/√2D.√2/33.若三棱锥P-ABC的体积为8，底面ABC的面积为6，则点P到平面ABC的距离为（）A.4/3B.2C.8/3D.34.过点A（1，0，2）且与直线x=y=z平行的直线方程为（）A.x=1，y=0，z=2B.x-1=y，z-2=yC.x-1=y/z，z=2D.x=y=z-15.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为3，则其侧面与底面所成二面角的余弦值为（）A.3/√10B.1/√2C.2/√5D.1/26.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=AC=1，∠BAC=60°，高为2，则其侧面积等于（）A.2√3B.4√3C.6D.87.已知球O的半径为2，点A（1，1，1）在球面上，则点B（-1，-1，-1）到球面的最短距离为（）A.2√2-2B.2√2+2C.4√2D.08.过点P（1，2，3）且与平面α：x+y+z=0垂直的平面方程为（）A.x+y+z=6B.x-y+z=2C.x+y-z=4D.x-y-z=09.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与平面BC1D所成角的正切值为（）A.1/√2B.√2C.1D.√3/310.已知二面角M-AB-N的平面角为60°，直线a⊂平面M，直线b⊂平面N，且a⊥b，则a与b所成角的余弦值为（）A.1/2B.√3/2C.1/√2D.√3/3二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）11.若直线x=2与平面α：ax+y+z=1相交于点P，则a=_________。12.正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为√3，则其体积为_________。13.过点A（1，1，1）且与直线x=y=z平行的直线方程为_________。14.球O的半径为2，点A（1，1，1）在球面上，则球心O到点A的距离为_________。15.平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+z=0所成角的余弦值为_________。16.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC与平面ABB1A1所成角的正弦值为_________。17.已知正四棱锥的底面边长为4，侧面与底面所成二面角为60°，则其高为_________。18.直线x=1与平面α：x+y+z=0所成角的正弦值为_________。19.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=AC=1，∠BAC=60°，高为2，则其侧面积等于_________。20.过点P（1，2，3）且与平面α：x+y+z=0垂直的平面方程为_________。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）21.若直线l与平面α所成角的正弦值为1/2，则直线l与平面α垂直。（）22.正方体的对角线与各面所成角都相等。（）23.球的半径为R，则球面上任意一点到球心的距离都为R。（）24.若三棱锥P-ABC的体积为V，底面面积为S，则点P到平面ABC的距离为3V/S。（）25.过点A（1，0，2）且与直线x=y=z平行的直线方程为x-1=y=z-2。（）26.正四棱锥的侧面与底面所成二面角都相等。（）27.直三棱柱的侧面积等于底面周长乘以高。（）28.球心到球面上任意一点的距离都相等。（）29.若直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，则a∥b。（）30.二面角的平面角是二面角的大小。（）四、简答题（总共3题，每题4分，总分12分）31.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱CC1的中点，求异面直线AE与B1D所成角的余弦值。32.在正三棱锥P-ABC中，底面边长为2，高为3，求侧面与底面所成二面角的余弦值。33.过点A（1，2，3）作平面α，使平面α与直线x=2y-1平行，且与平面z=0垂直，求平面α的方程。五、应用题（总共2题，每题9分，总分18分）34.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=AC=1，∠BAC=60°，高为2，求三棱柱的体积及表面积。35.已知球O的半径为2，点A（1，1，1）在球面上，求球心O到点A的距离及球心O到平面α：x+y+z=1的距离。【标准答案及解析】一、单选题1.C解析：点A到平面π的距离d=|1-2+3-1|/√(1²+(-1)²+1²)=√11/√3=√11。2.A解析：直线l的方向向量为（1，2，0），平面α的法向量为（1，1，1），两向量的夹角余弦值为|1×1+2×1+0×1|/√(1²+4+0)×√(1+1+1)=√6/6=1/√6。3.B解析：三棱锥体积V=1/3×底面积×高，8=1/3×6×h，h=4/3，但题目问的是点P到平面ABC的距离，需重新计算，正确答案为2。4.B解析：直线x=y=z的方向向量为（1，1，1），过点A（1，0，2）的平行直线方程为x-1=y，z-2=y。5.A解析：正四棱锥侧面与底面所成二面角的平面角为侧面高与底面边长的一半的比值，即√(3²-1²)/2=√8/2=√2，余弦值为3/√10。6.C解析：侧面积=底面周长×高=4×1×2=8，但需考虑三角形面积，实际侧面积为6。7.A解析：点A到球心O的距离为√(1²+1²+1²)=√3，最短距离为√3-2=2√2-2。8.A解析：垂直平面的法向量为（1，1，1），过点P的平面方程为x+y+z=6。9.B解析：AC1与平面BC1D所成角的正切值为BC/√(CC1²-B²)=√2/√2=√2。10.A解析：二面角为60°，a⊥b，则a与b所成角的余弦值为1/2。二、填空题11.1解析：直线x=2代入平面方程得2a=1，a=1/2，但需满足垂直，故a=1。12.√3解析：体积V=1/3×底面积×高=1/3×√3×2×3=√3。13.x-1=y=z-2解析：方向向量为（1，1，1），过点（1，1，1）。14.√3解析：球心O到点A的距离为√(1²+1²+1²)=√3。15.√3/√6解析：法向量夹角余弦值为|2×1-1×(-1)+1×1|/√(4+1+1)×√(1+1+1)=4/√6=√3/√6。16.√2/2解析：AC与平面ABB1A1所成角的正弦值为BC/AC=√2/2。17.2√3解析：侧面高=√(3²-(2/2)²)=√12=2√3。18.√6/√6解析：直线与平面所成角的正弦值为|1×1+1×1+1×1|/√(1+1+1)×√(1+1+0)=√6/√6=1。19.6解析：侧面积=底面周长×高=4×2=8，但需考虑三角形面积，实际侧面积为6。20.x+y+z=6解析：法向量为（1，1，1），过点（1，2，3）。三、判断题21.×解析：正弦值为1/2，则夹角为30°，不垂直。22.√解析：正方体对角线与各面所成角相等。23.√解析：球面上任意点到球心的距离等于半径。24.×解析：正确公式为h=3V/S。25.×解析：正确方程为x-1=y=z-2。26.√解析：正四棱锥各侧面与底面所成二面角相等。27.√解析：直三棱柱侧面积=底面周长×高。28.√解析：球心到球面上任意一点的距离等于半径。29.×解析：a与b可能相交或异面。30.√解析：二面角的平面角即为二面角大小。四、简答题31.解析：设正方体棱长为2，E为CC1中点，坐标为（0，0，1），B1（2，2，2），向量AE=（-1，1，1），B1D=（-2，-2，-2），cosθ=|(-1)×(-2)+1×(-2)+1×(-2)|/√6×√12=2/√72=1/√18=√2/6。32.解析：侧面高=√(3²-(1)²)=√8，二面角余弦值=