运用有余数除法解决简单的实际问题（教学设计） 人教版小学数学二年级下册

运用有余数除法解决简单的实际问题（教学设计）人教版小学数学二年级下册一、教学内容分析  本节课隶属于人教版小学数学二年级下册第六单元《有余数的除法》，处于学生掌握了有余数除法的意义和计算之后，向综合应用迈进的关键节点。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本课核心在于发展学生的“应用意识”和“模型意识”。在知识技能图谱上，学生需从“能正确计算有余数除法”的运算技能层面，跃升至“能运用有余数除法解决简单的实际问题”的应用层面，理解商和余数在具体情境中的实际含义，并能根据问题背景对余数做出“进一”或“舍去”的合理性处理，这为后续学习更复杂的解决问题策略奠定了逻辑基础。在过程方法路径上，本课是引导学生初步经历“现实问题→数学建模（除法算式）→求解验证→回归解释”这一完整数学建模过程的绝佳载体。课堂应设计贴近学生生活的真实问题情境，驱动学生主动提取信息、分析数量关系、选择运算方法，并聚焦于“余数怎么办”这一核心进行决策与解释。在素养价值渗透上，通过解决“租船”、“购物”等实际问题，让学生体会到数学源于生活、用于生活，培养其有条理、讲依据的思维品质和面对实际问题时的优化决策意识，实现知识技能向核心素养的自然转化。  基于“以学定教”原则，进行立体化学情研判：在已有基础与障碍方面，学生已能熟练进行表内除法和有余数除法的竖式计算，理解了余数必须比除数小的意义。然而，将算式的数学意义准确“翻译”回具体情境，并依据生活逻辑对结果进行灵活处理，是学生普遍面临的思维难点。常见认知误区在于将计算结果机械照搬，忽视余数的存在或错误处理余数，例如认为“22个学生，每条船最多坐4人，22÷4=5（条）……2（人），所以答案是5条船”，而忽略了剩下的2人也需要1条船。在过程评估设计上，将通过情境导入时的开放式提问、探究任务中的小组讨论与汇报、巩固练习时的解题过程呈现等多种形成性评价手段，动态捕捉学生对“进一法”和“去尾法”的理解深度与应用灵活性。针对教学调适策略，将为理解力较强的学生设计开放性更强的变式问题（如“请你设计一个需要用‘进一法’解决的问题”）；为需要支持的学生提供直观学具（如小圆片）进行模拟操作，或提供“问题解决三步走”的思维可视化工具：1.知道了什么？2.怎样解答？（圈一圈、算一算）3.答对了吗？（检查答案合理吗？）。二、教学目标  知识目标：学生能结合具体生活情境，理解有余数除法解决实际问题时商和余数的意义，掌握“至少需要多少（进一法）”和“最多可以买多少（去尾法）”两类基本问题的解答模型，并能用完整的语言表述解题思路和结果的实际含义，实现从算式计算到情境决策的知识建构。  能力目标：学生能从现实情境中提取有效的数学信息，分析数量关系，选择有余数除法作为解题模型，并能够根据问题的目标需求（是“保证全部装下”还是“不超过限额”）对余数进行合理化处理，初步形成分析问题、建立模型、解释结果的应用能力。  情感态度与价值观目标：在解决与自身经验相关的实际问题过程中，学生能体验到数学的实用价值，增强学习兴趣；在小组合作探究中，愿意倾听同伴的想法，敢于表达自己的见解，并养成回顾反思、验证答案合理性的良好学习习惯。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型意识和初步的优化思想。通过对比不同情境下对余数的不同处理方式，引导学生感悟数学模型的灵活性，理解解决实际问题时需要在数学计算基础上进行“二次决策”，培养其具体问题具体分析的辩证思维。  评价与元认知目标：引导学生学会使用“知道了什么？怎样解答？解答正确吗？”的反思框架来监控自己的解题过程。能够根据教师提供的简易量规（如：信息提取完整、算式正确、对余数处理合理、作答完整）进行自评或互评，并能说出自己解题时的思考步骤和遇到的困难。三、教学重点与难点  教学重点：掌握运用有余数除法解决简单实际问题的基本步骤，并能根据问题的实际情况，对余数进行正确的处理，即合理选用“进一法”或“去尾法”。其确立依据源于课程标准的应用导向，它直接指向“应用意识”这一核心素养，是学生将除法计算技能转化为解决问题能力的关键枢纽，也是后续学习更复杂数量关系的认知基础。从学业评价看，此类问题是考查学生是否真正理解除法意义的典型载体。  教学难点：理解在解决实际问题时，为什么有时商需要加1（进一法），有时余数可以忽略不计（去尾法），并能清晰辨析两种方法的适用情境。预设依据来自学情分析：二年级学生的思维正处于具体运算阶段，抽象概括和情境迁移能力较弱。难点成因在于学生需要跨越从“纯数学计算结果”到“结合生活逻辑决策”的思维跨度，需克服机械套用算式的思维定式。突破方向在于创设对比鲜明的情境，引导学生在动手操作、直观演示和充分讨论中，自己“发现”并“说清”其中的道理。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式多媒体课件，内含主题情境图、动态演示过程（如小船运人、货物装箱动画）。1.2学习材料：“学习任务单”（含分层探究任务和巩固练习），实物投影仪。2.学生准备2.1学具：每人一份小圆片或计数棒（约25个）。2.2课前思考：回忆生活中哪些地方会遇到分东西分不完的情况。3.环境布置3.1座位安排：四人小组合作式座位，便于讨论与学具操作。3.2板书记划：左侧预留核心问题与模型区，中部为探究过程记录区，右侧为知识方法提炼区。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设，引发认知冲突  “同学们，学校马上要组织春游了，二（1）班遇到了一个小麻烦。”教师利用课件出示情境：二（1）班有22人，每条小船最多坐4人，他们至少要租多少条船？“大家一起帮他们算算看吧！先别急着说答案，用你的学具小圆片代替同学，在桌面上摆一摆，看看结果到底是多少。”1.1问题提出与旧知唤醒  学生操作后，教师提问：“摆的时候你发现了什么？能用我们学过的除法算式表示这个过程吗？”（学生可能列出22÷4=5……2）教师追问：“算式中的5、2、4分别表示什么意思？那‘至少需要几条船’这个问题的答案，就是商5吗？为什么不是？”通过操作，学生直观感受到剩下的2人也需要1条船，从而与算式结果产生认知冲突。“看来，光算出有余数的除法算式还不够，我们还得认真想想这个‘余数’到底该怎么办。这就是今天我们要研究的‘运用有余数除法解决实际问题’。”1.2勾勒学习路径  “接下来，我们就化身‘问题解决小专家’，通过几个不同的任务，来彻底搞明白：什么时候商要加1，什么时候不用加，把道理弄得清清楚楚。”第二、新授环节任务一：探究“至少需要”——理解“进一法”教师活动：首先，聚焦导入问题，板书“22÷4=5（条）……2（人）”。教师引导：“算式结果是5条船还余2人。那咱们到底需要几条船？谁能结合刚才摆学具的过程说说？”邀请学生上台用教具演示或画图说明。接着，提出关键追问：“为什么5条船不够？这多出的2人能不能不管他们？”（不能，因为要保证每个人都去）“所以，我们必须在5条的基础上，再为他们准备1条船。”教师在算式旁板书：“5+1=6（条）”。然后，强化思维过程：“像这样，为了保证所有人都坐上船，即使剩下的人坐不满一条船，也需要再增加1条。这种方法，我们可以给它起个名字叫‘进一法’。来，大家一起说说，遇到‘至少需要多少’的问题时，我们怎么办？”（商要加1）学生活动：利用小圆片分组操作，模拟22人坐船的过程，直观感受“5条船装20人，还剩2人无处可去”的困境。在教师引导下，尝试用语言描述操作过程和结果（“我们摆了5个4，还剩2个，所以5条船不够，需要6条”）。参与关键问题的讨论，理解“至少需要”意味着“必须全部容纳”，因此余下部分需要额外一个单位。初步归纳“进一法”的模型。即时评价标准：1.操作是否有序、清晰地展示了“每4个一圈（代表一条船）”的过程。2.能否将操作过程与除法算式22÷4=5……2正确关联并解释各部分含义。3.在解释“为什么需要6条船”时，理由是否紧扣“所有人都要去”这一情境目标。形成知识、思维、方法清单：  ★“至少需要”问题模型：当问题要求“保证全部装下/完成”时，即使余数很小，也需要增加一个单位。计算方法是：商+1。  ▲思维关键点：理解“至少”背后的含义是“不少于”，关注点在“全部容纳”，因此余数不能舍弃。可以提问：“如果只租5条船，会发生什么？”来检验答案的合理性。  ★“进一法”：这是对除法计算结果进行“二次处理”的策略，源于生活逻辑，而非数学计算本身。教学提示：要让学生先“看到”矛盾（5条不够），再“想到”办法（加1条）。任务二：探究“最多可以买”——理解“去尾法”教师活动：切换情境：“帮完了二（1）班，小丽也遇到了问题。”课件出示：小丽有10元钱，每根跳绳3元，她最多可以买几根跳绳？教师引导：“‘最多可以买几根’是什么意思？自己先列式算一算。”学生列式10÷3=3（根）……1（元）。教师提问：“商3表示什么？余数1呢？那答案就是3根吗？需要像刚才那样‘加1’吗？为什么？”组织小组讨论。请代表发言，引导学生思考：“这剩下的1元钱，够再买一根跳绳吗？”（不够）“所以，这1元钱在我们解决‘买跳绳’这个问题时，还用考虑它吗？”（不用）“像这样，因为剩下的钱不够再买一根，所以我们就只取商3，忽略余数。这种方法叫‘去尾法’。”学生活动：独立审题并尝试列式计算。在小组内讨论：“为什么答案是3根而不是4根？”结合生活经验（钱不够了）进行解释。对比任务一，思考两种情境下对余数处理方式的不同及其原因。尝试用自己的话总结“去尾法”：当剩下的部分不够再换一个完整单位时，就直接取商。即时评价标准：1.能否正确列出除法算式10÷3=3……1。2.讨论时能否抓住“剩下的1元能否再买1根跳绳”这一核心进行推理。3.能否清晰表述“最多”在这里意味着“不超过总钱数所能购买的最大整数数量”。形成知识、思维、方法清单：  ★“最多可以”问题模型：当问题要求“不超过限额/能力”时，如果余数不足以再换取一个完整单位，则直接取商，余数舍去。  ▲思维关键点：理解“最多”背后的含义是“不超过某个上限”，关注点在“充分利用但不超过”。可以提问：“如果硬要买4根，会怎么样？”（钱不够）来检验答案。  ★“去尾法”：同样是基于生活逻辑的“二次决策”。与“进一法”形成对比。教学提示：关键要让学生判断余数在当下情境中是否“还有用”。此处“1元”在买跳绳的情境下是“无效”的。任务三：对比归纳，提炼核心——问“余数怎么办？”教师活动：将两个问题的算式和解答过程并列呈现在黑板上。教师引导：“同学们，仔细观察我们解决的这两个问题，用的都是有余数的除法。但它们最后的答案处理方式一样吗？哪里不一样？”引导学生聚焦到对余数的处理上。“太棒了！一个商加了1，一个没加。那到底是什么决定了我们加不加这个1呢？”教师画出思维导图的核心：“问题的关键，就在于我们求出商和余数之后，一定要多问自己一句——”板书巨大问号：“余数怎么办？”。“回答这个问题，我们就要回到题目中去，看看问题是要求我们‘至少需要’（全部保证），还是‘最多可以’（量力而行）。大家现在能总结一下这两类问题的解决方法了吗？”学生活动：观察对比黑板上的两个案例，在教师引导下寻找异同点。核心发现：算式结构相同，但对余数的处理方式不同。参与讨论，理解决定处理方式的是“问题的要求”。尝试跟随教师一起总结：遇到“至少需要”通常用“进一法”（商+1）；遇到“最多可以”通常用“去尾法”（只取商）。齐声强化核心步骤：算完除法，要问“余数怎么办？”即时评价标准：1.在对比中能否准确指出两题处理余数方式的差异。2.能否将不同的处理方式与问题中的关键词（“至少”、“最多”）建立联系。3.能否跟述或复述解决此类问题的一般步骤。形成知识、思维、方法清单：  ★核心解题步骤：1.审题，列除法算式。2.计算，得出商和余数。3.关键一步：根据问题要求，决定余数如何处理（进一？去尾？）。4.写出最终答案，并口答检验。  ★决策依据：回到问题本身看要求。“至少需要”→通常“进一”；“最多可以”→通常“去尾”。教学提示：要避免学生死记关键词，需通过变式练习深化理解。  ▲模型意识萌芽：让学生体会，同一个数学模型（a÷b=q……r）可以对应不同的现实解释和处理策略，数学是灵活的、为解决问题服务的。任务四：策略应用与巩固（“做一做”）教师活动：出示教材“做一做”题目：有27箱菠萝，王叔叔每次最多能运8箱。至少要运多少次才能运完这些菠萝？教师说：“请大家用我们刚总结的方法，独立完成在任务单上。做完后和同桌互相说说，你是怎样思考的，关键问了自己什么问题。”巡视指导，重点关注学习有困难的学生，提示他们用画圈或学具操作的方法辅助思考。选择一份典型作业（正确的）和一份可能有误的（如忘记加1）通过实物投影展示，进行集体评议。学生活动：独立审题、列式计算（27÷8=3（次）……3（箱））。思考并决定对余数的处理：要“运完”，所以剩下的3箱也需要运1次，商3需加1，共需4次。与同桌交流解题过程，互相检查。参与集体评议，判断对错并陈述理由。即时评价标准：1.能否独立、正确地完成列式和解答。2.在与同桌交流时，能否清晰地表述“为什么要加1”的理由。3.在集体评议中，能否作为“小老师”指出错误原因。形成知识、思维、方法清单：  ★应用巩固：通过类似“至少需要运几次”的问题，强化对“进一法”的熟练应用。题目中“最多能运8箱”是条件，“运完”是目标，注意区分。  ▲易错点提醒：学生可能会被“每次最多运8箱”中的“最多”干扰，误用“去尾法”。需强调：决策依据是看问题的问法（“至少要运多少次”），而不是看条件中的词汇。  ★检验习惯：完成计算后，可反向验证：如果只运3次，能运完24箱，还剩3箱没运，不符合“运完”要求，所以答案4次是正确的。鼓励学生养成验证习惯。任务五：创造与拓展——自编问题教师活动：提出挑战：“同学们已经掌握了两种类型的问题。现在，老师给出一个算式：15÷4=3……3。请你们开动脑筋，分别编一道用‘进一法’和一道用‘去尾法’解决的实际问题。先自己想想，再在小组里分享。”巡视倾听，选取有代表性的编题在全班分享，并引导学生分析编的题是否符合要求。学生活动：根据给定的算式，结合生活经验创造情境。例如，“进一法”：15个苹果，每4个装一袋，至少需要几个袋子？“去尾法”：15元钱，每个面包4元，最多能买几个？在小组内交流、互评。聆听全班分享，判断同学编的题是否合理。即时评价标准：1.所编题目情境是否合理、完整。2.题目问法是否清晰指向“至少需要”或“最多可以”。3.能否判断他人所编题目适用于哪种方法。形成知识、思维、方法清单：  ▲创造性应用：自编问题是知识内化的高阶表现。它要求学生不仅会解题，更理解问题的结构。教学提示：鼓励学生联系校园、家庭生活编题，增强趣味性。  ★深度理解检验：通过编题，可以检验学生是否真正理解了两种模型的本质区别，而不仅仅是记住了关键词。  ▲拓展联系：可以初步渗透“余数有时也有用”的想法，为后续学习预留空间。例如，在“装袋子”问题中，余数3表示剩下3个苹果；在“买面包”问题中，余数3表示还剩3元钱。第三、当堂巩固训练  设计分层练习，在任务单上呈现：  基础层（必做）：1.有28个羽毛球，每6个装一筒，可以装满几筒？还剩几个？(直接应用，巩固计算和意义理解)。2.28个羽毛球，每6个装一筒，需要几个筒才能装完？(与前题对比，强化“装满”与“装完”的区别)。  “大家看，这两题数字一样，但问题不同，答案一样吗？为什么？和你的同桌讨论一下。”  综合层（挑战）：3.超市促销，牛奶每盒4元。小华带了25元，最多能买几盒？如果超市规定买5盒送1盒，小华的钱最多能得到多少盒牛奶？(增加一步推理，综合应用)。  “促销活动来了！‘买5送1’这个新信息怎么用？它会影响我们第一步的计算吗？好好想一想。”  挑战层（选做）：4.一根彩带长25米，做一朵大花需要用4米，做一朵小花需要用3米。如果只用这根彩带做同样规格的花，最多能做几朵大花？最多能做几朵小花？你还能提出其他数学问题吗？(开放探究，涉及不同除数下的优化选择)。  反馈机制：基础层练习通过全班齐答或手势反馈快速检查。综合层和挑战层练习，邀请不同层次的学生上台板演或口述思路，教师针对性点评。重点讲评典型错误，如混淆“装满”和“装完”。组织同伴互评，用“√”和“？”标记，对有疑问的地方进行小组内二次讨论。第四、课堂小结  “同学们，这节课我们当了一回真正的‘问题解决专家’。一起来回顾一下我们的探险之旅吧！”引导学生用结构化语言自主总结：“我们遇到了需要用有余数除法解决的实际问题。关键是求出商和余数后，一定要问自己——（学生齐答：余数怎么办？）。然后回到问题里找答案：如果问题是‘至少需要’，我们通常要（商+1）；如果问题是‘最多可以’，我们通常就（只取商）。当然，最重要的还是要动脑筋想一想，这样处理到底合不合理。”  作业布置：1.必做（基础性作业）：完成练习十五第1、2题。2.选做（拓展性作业）：寻找生活中一个需要用“进一法”或“去尾法”解决的例子，讲给家人听，并记录在数学日记本上。  “带着今天学到的‘问一问余数’这个法宝，相信你不仅能完成作业，还能发现生活中更多的数学小秘密！”六、作业设计基础性作业（全体必做）：  1.列竖式计算并回答：43÷7=?……?。根据这个算式，编一道“至少需要”的数学问题，并解答。  2.书本练习十五第4题。重点关注解题步骤的完整书写和对余数的正确处理。拓展性作业（建议大多数学生完成）：  3.情境应用题：二（3）班38名同学去参观科技馆。如果安排乘坐小巴车，每辆车限乘7人；如果安排乘坐中巴车，每辆车限乘9人。只选用一种车型，分别计算各需要多少辆车？哪种安排空座位较少？（此题综合了计算、决策与优化，需要完整应用本节课所学，并进行简单比较）。探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：  4.小小策划师：班级联欢会准备用30元购买零食。水果糖每袋5元，薯片每包6元，巧克力每块7元。请你设计23种不同的购买方案（每种零食可多买或不买），使得钱尽量花完或有计划地剩余。写出你的计算过程和方案。（此题具有开放性，涉及计算、尝试、规划，能深度考查学生对有余数除法的理解和灵活应用能力）。七、本节知识清单及拓展  1.★有余数除法应用题核心步骤：一算（列式计算），二看（看问题要求），三定（定余数处理方式），四答（写完整答案）。  2.★“至少需要多少（容器/次数…）”模型（进一法）：如租船、装袋、运货等需“全部容纳”的问题。计算：商+1。思维关键：余下部分也需要一个独立单位。  3.★“最多可以买多少（获得多少）…”模型（去尾法）：如购物、裁剪等受“总量限制”的问题。计算：只取商。思维关键：余下部分不足以再换取一个完整单位。  4.▲易混淆概念对比：“装满/装完”：“装满x筒”指正好装满是x筒，用去尾法；“装完”指所有东西都装进去，可能多用1个容器，用进一法。  5.★核心思维方式：具体问题具体分析。不能只看算式，必须结合情境对结果进行“生活化再加工”。要习惯性自问：“这个余数在实际中意味着什么？需要处理吗？”  6.▲检验答案的方法：将得出的答案（如船的条数、购买的数量）代回原题条件中，反向计算或推理，看是否满足题目所有要求（如是否所有人都坐上、总钱数是否超支）。  7.★算式各部分的情境意义：在解决问题时，务必明确算式中“被除数、除数、商、余数”在题目中具体代表什么（如总人数、每份数、份数、剩余数）。这是正确决策的基础。  8.▲关键词但非绝对：“至少”、“最多”是重要提示，但最终决策的根本依据是情境逻辑。例如“至少需要多少时间”可能涉及其他模型，未必是“进一”。  9.★规范作答格式：应用题解答应包含：单位名称、完整的答句。答句应直接回答题目所问，如“至少要租6条船”。  10.▲与以往知识的联系：本节课是将二年级上学期学习的“表内除法解决问题”和本单元“有余数除法的计算”进行综合应用与提升，是解决问题能力发展的重要一环。  11.▲生活实例拓展：“进一法”：钉扣子（最后剩一个眼也得用一根线）、租车、住房（最后剩几个人也得开一间房）。“去尾法”：做衣服（布料不够做一件就舍去）、兑换奖品（积分不够换一个就攒着）。  12.★数学思想渗透：初步的模型思想（用除法模型解决问题）和优化思想（在“至少”和“最多”中寻求最优解）。八、教学反思  （一）目标达成度分析本节课预设的知识与技能目标基本达成，绝大多数学生能通过“进一法”与“去尾法”的对比学习，掌握两类基本问题的解法。通过巩固练习的反馈，约85%的学生能独立正确解答基础题。能力与素养目标的达成立足于过程观察，在探究任务的小组讨论中，学生能围绕“余数怎么办”进行有效争辩，展现了初步的分析与建模意识。例如，在任务二的讨论中，学生能自发用“钱不够了”这样生活化的语言解释“去尾”原因，表明应用意识得以激发。情感目标在“帮助班级解决问题”和“自编题目”环节体现较好，学生参与热情高。  （二）环节有效性评估导入环节的“摆学具”操作成功制造了认知冲突，将抽象问题直观化，为后续建模奠定了坚实的经验基础。新授环节的五个任务，逻辑链清晰，从“初步感知”到“对比建模”再到“应用创造”，符合学生的认知阶梯。其中，任务三（