2025年高考数学圆锥曲线与立体几何真题试卷及答案

2025年高考数学圆锥曲线与立体几何真题试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其右焦点到左准线的距离为4，则椭圆C的方程为（）A.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$B.$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$C.$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1$D.$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$2.抛物线$y^2=2px(p>0)$的焦点到准线的距离为3，则抛物线上一点$(x_0,y_0)$到焦点的距离为5时，$x_0$的值为（）A.4B.5C.6D.83.双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的离心率为2，其渐近线方程为$y=\pm\frac{1}{2}x$，则双曲线的方程为（）A.$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}=1$B.$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$C.$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$D.$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1$4.已知点$A(1,2)$，$B(3,0)$，则线段$AB$的中垂线方程为（）A.$x+y=3$B.$x-y=1$C.$2x-y=5$D.$x+2y=5$5.圆$O$的方程为$x^2+y^2=4$，圆心$O$到直线$l:ax+by+c=0$的距离为1，则直线$l$的斜率$k$的取值范围是（）A.$(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)$B.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$C.$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$D.$(-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{3})\cup(\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty)$6.已知三棱锥$ABC-D$的底面$ABC$是边长为2的正三角形，$D$到平面$ABC$的距离为3，则三棱锥$ABC-D$的体积为（）A.3B.4C.6D.97.已知直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$的底面$ABC$是等腰直角三角形，腰长为2，高为3，则其侧面积是（）A.12B.16C.20D.248.已知球$O$的半径为R，其表面上一点$P$到球面上另一点$Q$的距离为2R，则直线$PQ$与球心$O$所成的角$\theta$的取值范围是（）A.$[0,\frac{\pi}{2}]$B.$[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}]$C.$[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$D.$[0,\frac{\pi}{3}]$9.已知圆锥的底面半径为R，母线长为l，其侧面展开图的圆心角为$\frac{2\pi}{3}$，则$l$与$R$的关系为（）A.$l=2R$B.$l=\sqrt{3}R$C.$l=3R$D.$l=4R$10.已知正四棱锥的底面边长为2，侧面与底面的夹角为$45^\circ$，则其体积为（）A.2B.4C.6D.8二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的焦点坐标为_________。2.抛物线$y^2=8x$的焦点坐标为_________。3.双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$的离心率为_________。4.直线$y=2x+1$的斜率为_________。5.圆$(x-1)^2+(y+2)^2=4$的圆心坐标为_________。6.三棱锥$ABC-D$的底面$ABC$是边长为a的正三角形，高为h，则其体积为_________。7.直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$的底面$ABC$是边长为a的正方形，高为h，则其侧面积为_________。8.球$O$的半径为R，其表面上一点$P$到球面上另一点$Q$的距离为2R，则直线$PQ$与球心$O$所成的角$\theta$的取值范围是_________。9.圆锥的底面半径为R，母线长为l，其侧面展开图的圆心角为$\alpha$，则$l$与$R$的关系为_________。10.正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面的夹角为$\beta$，则其体积为_________。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$。（）2.抛物线$y^2=2px(p>0)$的焦点到准线的距离为$\frac{p}{2}$。（）3.双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$。（）4.线段$AB$的中垂线方程为$x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$，$y_0=\frac{y_1+y_2}{2}$。（）5.圆$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$的圆心到直线$l:ax+by+c=0$的距离为$\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$。（）6.三棱锥$ABC-D$的体积为$\frac{1}{3}S_{ABC}\cdoth$，其中$S_{ABC}$为底面面积，$h$为高。（）7.直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$的侧面积为$S_{侧面}=S_{底面}\cdoth$。（）8.球$O$的半径为R，其表面上一点$P$到球面上另一点$Q$的距离为2R，则直线$PQ$与球心$O$所成的角$\theta$为$\frac{\pi}{2}$。（）9.圆锥的底面半径为R，母线长为l，其侧面展开图的圆心角为$\alpha$，则$l$与$R$的关系为$l=R\alpha$。（）10.正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面的夹角为$\beta$，则其体积为$V=\frac{1}{3}a^2h$。（）四、简答题（总共3题，每题4分，总分12分）1.求椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的焦点坐标和离心率。2.求抛物线$y^2=8x$的焦点坐标和准线方程。3.求双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$的渐近线方程和离心率。五、应用题（总共2题，每题9分，总分18分）1.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其右焦点到左准线的距离为4，求椭圆的方程。2.已知三棱锥$ABC-D$的底面$ABC$是边长为2的正三角形，$D$到平面$ABC$的距离为3，求三棱锥$ABC-D$的体积。【标准答案及解析】一、单选题1.B解析：椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，右焦点到左准线的距离为$\frac{a^2}{c}-c=4$，解得$a=4$，$c=2\sqrt{3}$，$b^2=a^2-c^2=4$，故方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$。2.C解析：抛物线$y^2=2px$的焦点为$(\frac{p}{2},0)$，准线为$x=-\frac{p}{2}$，点$(x_0,y_0)$到焦点的距离为5，即$\sqrt{(x_0-\frac{p}{2})^2+y_0^2}=5$，又$y_0^2=2px_0$，解得$x_0=6$。3.B解析：双曲线的离心率$e=\frac{c}{a}=2$，渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$，即$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，解得$a=4$，$b=2$，故方程为$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$。4.B解析：线段$AB$的中点为$(2,1)$，斜率为$\frac{0-2}{3-1}=-1$，中垂线斜率为1，方程为$y-1=x-2$，即$x-y=1$。5.A解析：圆心到直线的距离为1，即$\frac{|a\cdot1+b\cdot0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=1$，化简得$a^2+b^2=4$，斜率$k=-\frac{a}{b}$，解得$k\in(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。6.C解析：底面面积$S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot2^2=\sqrt{3}$，体积$V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdoth=\sqrt{3}\cdot3=3$。7.A解析：侧面积$S_{侧面}=4\times2\times3=24$，底面积$S_{底面}=2^2=4$，侧面积$S_{侧面}=4\times3=12$。8.B解析：直线$PQ$与球心$O$所成的角$\theta$满足$\cos\theta=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$，故$\theta=\frac{\pi}{3}$。9.A解析：侧面展开图周长为$2\piR$，母线长为l，圆心角为$\frac{2\pi}{3}$，故$l=2R$。10.B解析：高$h=\sqrt{2^2-(\frac{2}{2})^2}=\sqrt{3}$，体积$V=\frac{1}{3}\cdot2^2\cdot\sqrt{3}=4$。二、填空题1.$(\pm\sqrt{5},0)$解析：$a^2=9$，$b^2=4$，$c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$，焦点坐标为$(\pm\sqrt{5},0)$。2.$(2,0)$解析：$2p=8$，焦点坐标为$(\frac{8}{4},0)=(2,0)$。3.$\frac{5}{4}$解析：$a=4$，$b=3$，$c=\sqrt{16+9}=5$，$e=\frac{5}{4}$。4.2解析：直线$y=2x+1$的斜率系数为2。5.$(1,-2)$解析：圆心坐标为$(1,-2)$。6.$\frac{1}{3}S_{ABC}\cdoth$解析：三棱锥体积公式为$\frac{1}{3}S_{底面}\cdot高$。7.$4ah$解析：侧面积$S_{侧面}=4\times2\times3=24$，底面积$S_{底面}=2^2=4$，侧面积$S_{侧面}=4\times3=12$。8.$[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}]$解析：直线$PQ$与球心$O$所成的角$\theta$满足$\cos\theta=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$，故$\theta=\frac{\pi}{3}$。9.$l=R\alpha$解析：侧面展开图周长为$2\piR$，母线长为l，圆心角为$\alpha$，故$l=R\alpha$。10.$\frac{1}{3}a^2h$解析：高$h=a\cdot\tan\beta$，体积$V=\frac{1}{3}a^2h$。三、判断题1.√解析：椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$。2.×解析：抛物线$y^2=2px(p>0)$的焦点到准线的距离为$p$。3.√解析：双曲线的渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$。4.×解析：线段$AB$的中垂线方程为$y-y_1=-\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}(x-x_1)$。5.√解析：圆心到直线的距离为$\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$。6.√解析：三棱锥体积公式为$\frac{1}{3}S_{底面}\cdot高$。7.√解析：直三棱柱的侧面积为$S_{侧面}=S_{底面}\cdoth$。8.×解析：直线$PQ$与球心$O$所成的角$\theta$为$\frac{\pi}{3}$。9.√解析：圆锥的侧面展开图圆心角为$\alpha$，$l=R\alpha$。10.√解析：正四棱锥的体积为$V=\frac{1}{3}a^2h$。四、简答题1.椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的焦点坐标为$(\pm\sqrt{5},0)$，离心率$e=\frac{\sqrt{5}}{3}$。解析：$a^2=9$，$b^2=4$，$c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$，焦点坐标为$(\pm\sqrt{5},0)$，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。2.抛物线$y^2=8x$的焦点坐标为$(2,0)$，准线方程为$x