2026年线性代数奇异同调类练习试卷及答案

2026年线性代数奇异同调类练习试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，则矩阵AB的秩最大值为（）A.min(m,n)B.max(m,n)C.m+nD.02.若矩阵A可逆，则其奇异值分解（SVD）中非零奇异值的个数等于（）A.行数mB.列数nC.r(A)（矩阵A的秩）D.m+n3.矩阵A的奇异值是（）A.特征值B.奇异向量对应的长度C.对角化后的对角元素D.行列式4.对于矩阵A∈R^(m×n)，其奇异值分解为A=UΣV^T，其中Σ的对角线元素σ₁,σ₂,...,σ_r（r=min(m,n)）是（）A.A的特征值B.A的秩C.A的奇异值D.U或V的元素5.若A为对称正定矩阵，则其奇异值分解与特征值分解的关系是（）A.完全相同B.奇异值等于特征值的平方C.奇异值等于特征值D.无关6.矩阵A的奇异值分解中，U和V分别是（）A.任意矩阵B.正交矩阵C.正定矩阵D.对角矩阵7.奇异值分解主要用于解决（）A.线性方程组求解B.矩阵特征值计算C.低秩逼近D.矩阵对角化8.若A的奇异值分解为A=UΣV^T，则A^T的奇异值分解为（）A.A=UΣV^TB.A^T=UΣV^TC.A^T=VΣU^TD.A^T=UΣ^TV^T9.奇异值分解中，Σ的非对角元素一定为（）A.0B.1C.-1D.任意数10.低秩矩阵逼近中，保留前k个奇异值对应的Σ部分，相当于（）A.保留A中前k行k列的信息B.保留A中前k个最大奇异值的信息C.保留A中前k个最小奇异值的信息D.保留A中所有奇异值的信息二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.矩阵A的奇异值是矩阵A与自身转置乘积的特征值的______。2.奇异值分解中，Σ的对角线元素称为______。3.若A=UΣV^T，则A的秩等于______。4.奇异值分解主要用于矩阵的______。5.对称正定矩阵的奇异值分解与特征值分解的关系是______。6.奇异值分解中，U和V分别是______。7.奇异值分解主要用于解决______。8.若A的奇异值分解为A=UΣV^T，则A^T的奇异值分解为______。9.奇异值分解中，Σ的非对角元素一定为______。10.低秩矩阵逼近中，保留前k个奇异值对应的Σ部分，相当于______。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.奇异值分解适用于所有矩阵。2.奇异值分解中，U和V都是正交矩阵。3.矩阵的奇异值分解唯一。4.奇异值分解可以用于求解线性方程组。5.对称正定矩阵的奇异值分解与特征值分解相同。6.奇异值分解中，Σ的对角线元素一定是正数。7.奇异值分解可以用于矩阵的压缩。8.矩阵的奇异值分解与特征值分解无关。9.奇异值分解中，U和V的维度相同。10.低秩矩阵逼近中，保留前k个奇异值对应的Σ部分，相当于保留A中前k行k列的信息。四、简答题（总共3题，每题4分，总分12分）1.简述奇异值分解的定义及其意义。2.简述奇异值分解在低秩逼近中的应用。3.简述奇异值分解与特征值分解的关系。五、应用题（总共2题，每题9分，总分18分）1.设矩阵A∈R^(3×3)如下，求其奇异值分解：A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}2.设矩阵A∈R^(4×4)如下，求其奇异值分解并解释其意义：A=\begin{bmatrix}4&1&1&1\\1&3&1&1\\1&1&2&1\\1&1&1&1\end{bmatrix}【标准答案及解析】一、单选题1.A解析：矩阵AB的秩最大值为min(m,n)，因为秩不超过行数或列数。2.C解析：奇异值分解中，非零奇异值的个数等于矩阵A的秩。3.B解析：奇异值是奇异向量对应的长度。4.C解析：Σ的对角线元素是A的奇异值。5.C解析：对称正定矩阵的奇异值分解与特征值分解相同。6.B解析：U和V都是正交矩阵。7.C解析：奇异值分解主要用于低秩逼近。8.C解析：A^T的奇异值分解为VΣU^T。9.A解析：Σ的非对角元素一定为0。10.B解析：保留前k个最大奇异值的信息。二、填空题1.平方根解析：奇异值是矩阵A与自身转置乘积的特征值的平方根。2.奇异值解析：Σ的对角线元素称为奇异值。3.r(A)解析：A的秩等于非零奇异值的个数。4.低秩逼近解析：奇异值分解主要用于矩阵的低秩逼近。5.相同解析：对称正定矩阵的奇异值分解与特征值分解相同。6.正交矩阵解析：U和V都是正交矩阵。7.低秩逼近解析：奇异值分解主要用于低秩逼近。8.VΣU^T解析：A^T的奇异值分解为VΣU^T。9.0解析：Σ的非对角元素一定为0。10.保留A中前k个最大奇异值的信息解析：保留前k个奇异值对应的Σ部分，相当于保留A中前k个最大奇异值的信息。三、判断题1.错解析：奇异值分解适用于所有矩阵。2.对解析：U和V都是正交矩阵。3.错解析：奇异值分解不唯一，因为U和V可以任意选择。4.对解析：奇异值分解可以用于求解线性方程组。5.对解析：对称正定矩阵的奇异值分解与特征值分解相同。6.对解析：奇异值分解中，Σ的对角线元素一定是正数。7.对解析：奇异值分解可以用于矩阵的压缩。8.错解析：矩阵的奇异值分解与特征值分解有关。9.错解析：U和V的维度不同。10.错解析：保留前k个奇异值对应的Σ部分，相当于保留A中前k个最大奇异值的信息。四、简答题1.奇异值分解的定义及其意义解析：奇异值分解（SVD）是将任意矩阵A∈R^(m×n)分解为A=UΣV^T的形式，其中U∈R^(m×m)和V∈R^(n×n)是正交矩阵，Σ∈R^(m×n)是对角矩阵，对角线元素为非负实数，称为奇异值。奇异值分解的意义在于它可以用于矩阵的低秩逼近、求解线性方程组、数据压缩等领域。2.奇异值分解在低秩逼近中的应用解析：奇异值分解可以用于矩阵的低秩逼近。通过保留前k个最大奇异值对应的Σ部分，可以得到A的低秩逼近矩阵，即A_k=U_kΣ_kV_k^T，其中U_k和V_k分别是U和V的前k列。低秩逼近可以用于数据压缩、噪声消除、图像处理等领域。3.奇异值分解与特征值分解的关系解析：奇异值分解与特征值分解有关，但并不相同。对于对称正定矩阵，奇异值分解与特征值分解相同。但对于一般矩阵，奇异值分解是更通用的分解形式。奇异值分解中的奇异值是矩阵A与自身转置乘积的特征值的平方根，而特征值分解是矩阵A的特征值分解。五、应用题1.设矩阵A∈R^(3×3)如下，求其奇异值分解：A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}解析：（1）计算A^TA：A^TA=\begin{bmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}66&78&90\\78&93&108\\90&108&126\end{bmatrix}（2）计算A^TA的特征值和特征向量：特征值：λ₁=0,λ₂=15,λ₃=30特征向量：v₁=\begin{bmatrix}-1\\2\\-1\end{bmatrix},v₂=\begin{bmatrix}-2\\1\\0\end{bmatrix},v₃=\begin{bmatrix}-1\\-2\\1\end{bmatrix}（3）构造Σ：Σ=\begin{bmatrix}\sqrt{30}&0&0\\0&\sqrt{15}&0\\0&0&0\end{bmatrix}（4）构造U和V：U=\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{2}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{2}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}&0\\-\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{2}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}V=\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}\\0&\frac{2}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}\end{bmatrix}（5）奇异值分解：A=UΣV^T=\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{2}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{2}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}&0\\-\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{2}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sqrt{30}&0&0\\0&\sqrt{15}&0\\0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}&0&\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{2}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}\\-\frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}\end{bmatrix}2.设矩阵A∈R^(4×4)如下，求其奇异值分解并解释其意义：A=\begin{bmatrix}4&1&1&1\\1&3&1&1\\1&1&2&1\\1&1&1&1\end{bmatrix}解析：（1）计算A^TA：A^TA=\begin{bmatrix}4&1&1&1\\1&3&1&1\\1&1&2&1\\1&1&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4&1&1&1\\1&3&1&1\\1&1&2&1\\1&1&1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7&7&7&7\\7&12&4&4\\7&4&7&4\\7&4&4&4\end{bmatrix}（2）计算A^TA的特征值和特征向量：特征值：λ₁=16,λ₂=4,λ₃=4,λ₄=0特征向量：v₁=\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix},v₂=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\\0\end{bmatrix},v₃=\begin{bmatrix}-1\\0\\1\\0\end{bmatrix},v₄=\begin{bmatrix}-1\\-1\\-1\\3\end{bmatrix}（3）构造Σ：Σ=\begin{bmatrix}4&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}（4）构造U和V：U=\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}V=\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&0&0\\\frac{1}{2}&0&-\frac{1}{2}&0\\\frac{1}{2}&0&0&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}（5）奇异值分解：A=UΣV^T=\be