2025-2026学年福建省宁德市第三教研共同体高二上学期11月期中质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省宁德市第三教研共同体2025-2026学年高二上学期11月期中质量检测数学试题一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.其中每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线经过两点，则的倾斜角为（）A B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，设的倾斜角为，则，所以.故选：B.2.已知等差数列的前项和为，若，则（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】，解得.故选：D.3.三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（）A.B.且C.且D.且【答案】B【解析】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可.由，解得，所以，解得；不与平行时，；不与平行时，；综上，的取值范围是且；故选：B.4.在数列中，若，.是数列的前项和，则等于（）A. B.1015 C.2029 D.2030【答案】A【解析】因为，，所以，，，所以数列是以为周期的周期数列，因为，所以，即.故选：A.5.已知随机事件满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，.故选：A.6.已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的三倍，则直线的方程为（）A.B.C.或D.或【答案】C【解析】若直线l经过原点，满足条件，可得直线l的方程为，即；若直线l不经过原点，可设直线l的方程为，把点代入可得，解得，直线l的方程为，即，综上可得直线l的方程为或；故选：C.7.意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子从它出生的第三个月开始，每月又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：.这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中.若从该数列的前2025项中按照奇数和偶数这两种类型用分层随机抽样的方法抽取6项，再从这6项中抽出2项，则这两个数的和为奇数的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知数列从第一项起，每三项的最后一项为偶数，而，则该数列的前2025项中奇数有个，偶数有个，则用分层随机抽样的方法抽取6项，其中包含个奇数，个偶数，设奇数为，偶数为，从这6项中随机抽出2项共有，，共个，其中这两个数的和为奇数的有，共个，则这两个数的和为奇数的概率为.故选：C.8.记为等比数列的前项和，若，则（）A.85 B.15 C. D.【答案】D【解析】由题意得成等比数列，设，则成等比数列，即，解得或，若，则，，设公比为，则，舍去；若，则，，，则，满足要求，由于成等比数列，故成等比数列，故，解得，故选：D.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）9.下列说法中，正确的有（）A.直线必过定点B.点到直线的距离为7C.直线的倾斜角为D.直线的一个方向向量为【答案】AC【解析】A选项：，易知过定点：，故A正确；B选项：点到直线的距离为：，故B错误；C选项:直线的斜率为，而斜率等于倾斜角的正切值，故直线的倾斜角为，故C正确；D选项：由直线的一般式，可知该直线的一个方向向量为，易知本选项的一个直线方向向量为，与向量不共线，故D错误.故选：AC.10.柜子里有3双手套，3双手套的颜色分别为红色､黄色､蓝色，如果从中随机地取出2只，设事件“取出的手套颜色不相同”，事件“取出的手套都是左手的”，事件“取出的手套是同侧手的”，事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是同一双手套”，则下列关系正确的有（）A.事件与事件相互独立B.事件与事件互斥C.D.【答案】BCD【解析】记三双不同的手套为：黄1，黄2；红1，红2；蓝1，蓝2，（1为左，2为右）从中随机取出2只共有：黄1黄2，黄1红1，黄1红2，黄1蓝1，黄1蓝2，黄2红1，黄2红2，黄2蓝1，黄2蓝2，红1红2，红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，红2蓝2，蓝1蓝2，共15种情况，事件A包括：黄1红1，黄1红2，黄1蓝1，黄1蓝2，黄2红1，红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，红2蓝2，黄2红2，黄2蓝1，黄2蓝2，共12种情况；事件B包括：黄1红1，黄1蓝1，红1蓝1，共3种情况；事件C包括：黄1红1，黄1蓝1，红1蓝1，黄2红2，黄2蓝2，红2蓝2，共6种情况；事件D包括：黄1红2，黄1蓝2，黄2红1，黄2蓝1，红1蓝2，红2蓝1，共6种情况.对于A选项：由上述各个情况可知：事件与事件的积事件概率为0，故，所以A错误；对于B选项：，故事件与事件互斥，B正确；对于C选项：由上述各个情况易知C正确；对于D选项：，故D正确；故选：BCD.11.数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，则下列结论正确的是（）A.B.若，则且C.若存在正整数，使，则D.数列的前项和【答案】ABC【解析】由，当时，，所以，故A正确；根据数列的各项的排列规律，分母相同的项可以看作为一组，可知当时，应为第组的最后一项，为第组的第一项，则，故B正确；由于，则，当时，，当时，，所以，则，即此时的，故C正确；由，故D错误；故选：ABC.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第13题，第一个空2分，第二个空3分.请将答案填在答题卡相应位置.）12.在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.6，则这段时间内线路正常工作的概率为__________.【答案】【解析】由题可知这段时间内线路不正常工作的情形就是两个开关都不能够闭合，此时的概率为，根据对立事件概率可知：这段时间内线路正常工作的概率为，故答案为：.13.已知是等差数列的前项和，，则的通项公式为__________，的最小值为__________.（用数字作答）【答案】①.②.【解析】由可得，解得，所以，，可知当或时，取最小值，即.故答案为：，.14.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________.【答案】【解析】如图，设点关于直线的对称点为，与直线的交点为，所以直线的斜率，则直线的方程为，联立，解得，即，所以点的坐标为，在直线上取点，由对称性可得，所以，当且仅当三点共线时，等号成立，所以“将军饮马”最短总路程为.故答案为：.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知等差数列的公差不为，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求.解：（1）设等差数列的公差为，由成等比数列，得，即，化简得，又，所以，解得或，因为，所以，所以.（2）因为是等差数列，则构成以为首项，公差为的等差数列，又由（1）知，则，所以.16.甲､乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.（1）求甲恰好比赛2局后获胜的概率；（2）求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率；（3）求甲赢得比赛的概率.（本题结果都用化简后的分数作答）解：（1）记“甲在第局获胜”为事件，记“甲恰好比赛2局后获胜”为事件，，即甲恰好比赛2局后获胜的概率为.（2）记“甲在4局以内（包含4局）赢得比赛”事件，，，，，，.故甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率为.（3）记“甲比赛5局后赢得比赛”为事件，“甲赢得比赛”为事件，，，.故甲赢得比赛的概率为.17.已知数列的前项和为是首项为3，公差为1的等差数列.（1）求的值；（2）求的通项公式；（3）若数列满足，且，求数列的前项和.解：（1）由题意可得，即，所以，解得.（2）由是首项为3，公差为1的等差数列，得，则.当时，；当时，，因为满足上式，所以的通项公式为.（3）因为，且，所以当时，.当时，也符合上式，所以，所以.18.已知点分别是两射线和上的点，点.（1）若点是线段的中点，求线段的长；（2）设点在直线上，为坐标原点.①若直线垂直于轴，求的面积；②求面积的最小值，并求取到最小值时直线的方程.解：（1）方法一：若直线的斜率不存在，即的方程为，易得，此时的中点坐标为，与点不符，不合题意.可知直线的斜率存在，不妨设为，依题意得或，此时直线的方程为，由可得，由可得，因为的中点为，所以解得，则，则；方法二：设，由是线段的中点可得所以，所以，则.（2）方法一：①当直线的斜率不存在时，由（1）的结论，可得.②当直线的斜率存在时，设为，依题意得或，则直线的方程为，由（1）可得..设，则且，令，则且，即且，可得且不等于，因为，所以当，即时，取得最小值6，此时直线的方程为.方法二：①当直线的斜率不存在时，由①的结论，可得.②设，由三点共线可得，即，整理得，即，所以，当且仅当时取到等号.，即时，取得最小值6，此时直线的方程为.19.数学教材人教A版选择性必修第二册第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如，.其中“互素”是指两个或多个整数的最大公因数为1，即这些整数除了1之外没有其他公因数.（1）求的值；（2）已知数列满足.①求的前项和；②记数列的前项和为，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（1）因为不超过正整数6且与6互素的正整数只有1，5，所以，因为不超过正整数10且与10互素的正整数只有，所以.（2）①所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，共个，所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为，即，所以，所以，，两式相减得，所以.②由①可知，所以，所以由不等式得恒成立，令，则，所以可得，当时，，即，所以的最大值为，故.福建省宁德市第三教研共同体2025-2026学年高二上学期11月期中质量检测数学试题一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.其中每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线经过两点，则的倾斜角为（）A B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，设的倾斜角为，则，所以.故选：B.2.已知等差数列的前项和为，若，则（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】，解得.故选：D.3.三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（）A.B.且C.且D.且【答案】B【解析】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可.由，解得，所以，解得；不与平行时，；不与平行时，；综上，的取值范围是且；故选：B.4.在数列中，若，.是数列的前项和，则等于（）A. B.1015 C.2029 D.2030【答案】A【解析】因为，，所以，，，所以数列是以为周期的周期数列，因为，所以，即.故选：A.5.已知随机事件满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，.故选：A.6.已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的三倍，则直线的方程为（）A.B.C.或D.或【答案】C【解析】若直线l经过原点，满足条件，可得直线l的方程为，即；若直线l不经过原点，可设直线l的方程为，把点代入可得，解得，直线l的方程为，即，综上可得直线l的方程为或；故选：C.7.意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子从它出生的第三个月开始，每月又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：.这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中.若从该数列的前2025项中按照奇数和偶数这两种类型用分层随机抽样的方法抽取6项，再从这6项中抽出2项，则这两个数的和为奇数的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知数列从第一项起，每三项的最后一项为偶数，而，则该数列的前2025项中奇数有个，偶数有个，则用分层随机抽样的方法抽取6项，其中包含个奇数，个偶数，设奇数为，偶数为，从这6项中随机抽出2项共有，，共个，其中这两个数的和为奇数的有，共个，则这两个数的和为奇数的概率为.故选：C.8.记为等比数列的前项和，若，则（）A.85 B.15 C. D.【答案】D【解析】由题意得成等比数列，设，则成等比数列，即，解得或，若，则，，设公比为，则，舍去；若，则，，，则，满足要求，由于成等比数列，故成等比数列，故，解得，故选：D.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）9.下列说法中，正确的有（）A.直线必过定点B.点到直线的距离为7C.直线的倾斜角为D.直线的一个方向向量为【答案】AC【解析】A选项：，易知过定点：，故A正确；B选项：点到直线的距离为：，故B错误；C选项:直线的斜率为，而斜率等于倾斜角的正切值，故直线的倾斜角为，故C正确；D选项：由直线的一般式，可知该直线的一个方向向量为，易知本选项的一个直线方向向量为，与向量不共线，故D错误.故选：AC.10.柜子里有3双手套，3双手套的颜色分别为红色､黄色､蓝色，如果从中随机地取出2只，设事件“取出的手套颜色不相同”，事件“取出的手套都是左手的”，事件“取出的手套是同侧手的”，事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是同一双手套”，则下列关系正确的有（）A.事件与事件相互独立B.事件与事件互斥C.D.【答案】BCD【解析】记三双不同的手套为：黄1，黄2；红1，红2；蓝1，蓝2，（1为左，2为右）从中随机取出2只共有：黄1黄2，黄1红1，黄1红2，黄1蓝1，黄1蓝2，黄2红1，黄2红2，黄2蓝1，黄2蓝2，红1红2，红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，红2蓝2，蓝1蓝2，共15种情况，事件A包括：黄1红1，黄1红2，黄1蓝1，黄1蓝2，黄2红1，红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，红2蓝2，黄2红2，黄2蓝1，黄2蓝2，共12种情况；事件B包括：黄1红1，黄1蓝1，红1蓝1，共3种情况；事件C包括：黄1红1，黄1蓝1，红1蓝1，黄2红2，黄2蓝2，红2蓝2，共6种情况；事件D包括：黄1红2，黄1蓝2，黄2红1，黄2蓝1，红1蓝2，红2蓝1，共6种情况.对于A选项：由上述各个情况可知：事件与事件的积事件概率为0，故，所以A错误；对于B选项：，故事件与事件互斥，B正确；对于C选项：由上述各个情况易知C正确；对于D选项：，故D正确；故选：BCD.11.数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，则下列结论正确的是（）A.B.若，则且C.若存在正整数，使，则D.数列的前项和【答案】ABC【解析】由，当时，，所以，故A正确；根据数列的各项的排列规律，分母相同的项可以看作为一组，可知当时，应为第组的最后一项，为第组的第一项，则，故B正确；由于，则，当时，，当时，，所以，则，即此时的，故C正确；由，故D错误；故选：ABC.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第13题，第一个空2分，第二个空3分.请将答案填在答题卡相应位置.）12.在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.6，则这段时间内线路正常工作的概率为__________.【答案】【解析】由题可知这段时间内线路不正常工作的情形就是两个开关都不能够闭合，此时的概率为，根据对立事件概率可知：这段时间内线路正常工作的概率为，故答案为：.13.已知是等差数列的前项和，，则的通项公式为__________，的最小值为__________.（用数字作答）【答案】①.②.【解析】由可得，解得，所以，，可知当或时，取最小值，即.故答案为：，.14.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________.【答案】【解析】如图，设点关于直线的对称点为，与直线的交点为，所以直线的斜率，则直线的方程为，联立，解得，即，所以点的坐标为，在直线上取点，由对称性可得，所以，当且仅当三点共线时，等号成立，所以“将军饮马”最短总路程为.故答案为：.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知等差数列的公差不为，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求.解：（1）设等差数列的公差为，由成等比数列，得，即，化简得，又，所以，解得或，因为，所以，所以.（2）因为是等差数列，则构成以为首项，公差为的等差数列，又由（1）知，则，所以.16.甲､乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.（1）求甲恰好比赛2局后获胜的概率；（2）求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率；（3）求甲赢得比赛的概率.（本题结果都用化简后的分数作答）解：（1）记“甲在第局获胜”为事件，记“甲恰好比赛2局后获胜”为事件，，即甲恰好比赛2局后获胜的概率为.（2）记“甲在4局以内（包含4局）赢得比赛”事件，，，，，，.故甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率为.（3）记“甲比赛5局后赢得比赛”为事件，“甲赢得比赛”为事件，，，.故甲赢得比赛的概率为.17.已知数列的前项和为是首项为3，公差为1的等差数列.（1）求的值；（2）求的通项公式；（3）