2025-2026学年甘肃省酒泉市部分中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省酒泉市部分中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列的通项公式为，则下列各数是数列的项是（）A.11 B.22 C.24 D.44【答案】B【解析】解得，故A错误；解得，故B正确；解得，故C错误；解得，故D错误．故选:B．2.已知点，，若直线AB的斜率为2，则（）A.7 B.3 C.1 D.9【答案】D【解析】因为点，，所以直线AB的斜率为．由题意得，解得.故选：D．3.已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，则（）A.4 B.6 C.5 D.3【答案】C【解析】由抛物线方程，得，准线方程为．因为点在抛物线上，所以，解得．由抛物线的定义，得，故选：C.4.已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.4 B.3 C.2 D.【答案】C【解析】由题意，设、、，则，，，则，则.故选：C.5.已知椭圆的离心率为，则下列说法错误的是（）A. B.短轴长为6C.焦距为 D.点在椭圆C上【答案】C【解析】因为，所以，结合可知，因为，故，故椭圆C的方程为，，，所以焦距为.因为，所以，所以短轴长为，可知A，B选项正确，C选项错误；将点代入，得，所以点在椭圆C上，故D正确.故选：C．6.双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，得双曲线的渐近线方程为．因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，所以渐近线为，且，解得，所以双曲线的离心率．故选：B．7.已知点为椭圆上一点，直线过：的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】：的圆心为，半径为1.椭圆中，，，，所以，，所以圆心为椭圆的右焦点.由题意，是圆的直径，所以为的中点，且，所以.如图，连接，可得.因为点为椭圆上任意一点，所以，.由，得.故选：B.8.双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，，由，求得，因，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，则由得，由得，则，由双曲线第一定义可得：，，所以双曲线的方程为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知椭圆的焦距大于，则的取值可以为（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】当椭圆的焦点在轴上时，焦距为，由题意得，解得，当椭圆的焦点在轴上时，焦距为，由题意得，解得，所以，实数的取值范围是.故选：ACD.10.数列满足，，，则下列说法正确的有（）A.数列是等比数列B.C.数列的前n项和D.数列是递增数列【答案】ABD【解析】因为，所以，因为，所以，所以数列是首项和公比都为2的等比数列，故A正确；则，所以，故B正确；因为，所以，故C错误；因为，所以，因为，所以，所以，即数列递增数列，故D正确．故选：ABD．11.已知抛物线焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】法一：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点，则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，由抛物线的定义可知，，故A正确；对于B，过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，则，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，显然为的斜边，则，故B错误；对于C，易知直线的斜率不为，设直线的方程为，，联立，得，易知，则，又，，所以，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，在与中，，所以，则，即，同理，又，，所以，则，故D正确.故选：ACD.法二：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点，则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，由抛物线的定义可知，，故A正确；对于B，过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，则，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，显然为的斜边，则，故B错误；对于C，当直线的斜率不存在时，；当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，消去，得，易知，则，所以，综上，，故C正确；对于D，在与中，，所以，则，即，同理，当直线的斜率不存在时，，；所以，即；当直线的斜率存在时，，，所以，则；综上，，故D正确.故选：ACD.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.12.已知圆的圆心在y轴的正半轴上，则实数a的取值范围为________．【答案】【解析】因为圆标准方程为，所以，解得，即实数a的取值范围是．故答案为：.13.已知抛物线的焦点为F，点A在C上，过点A作C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则________．【答案】5【解析】在中，令，解得，所以，因为，所以，解得，所以抛物线C的方程为，其准线方程为，在方程中，令，得，所以，所以点A的纵坐标为4，在方程中，令，解得，所以，由抛物线的定义，得．故答案为：.14.设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________．【答案】【解析】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入得，即，故，，又，得，解得，代入得，故，即，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，过点F与l垂直的直线交C于D，E两点，M，N分别为AB，DE的中点，证明：直线MN过定点．证明：由题意可知：直线l与直线DE的斜率都存在，且均不为0，设直线l的方程为，，，联立方程，消去x化简得，则，，可得，，即，同理可得：，若点M，N的横坐标相等，即，解得，此时直线MN的斜率不存在，直线MN的方程为；若点M，N的横坐标不相等，即，则直线MN的斜率，可得直线MN的方程为，所以直线MN过点．综上所述：直线MN过定点．16.已知椭圆的离心率为，长轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，若的面积为，求．解：（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故，故，故椭圆方程为：.（2）由题设直线的斜率不为，故设直线，，由可得，故即，且，故，解得，故．17.已知圆C的半径为2，圆心在射线上，点在圆C上．（1）求圆C的标准方程；（2）若圆D与圆C关于直线对称，判断x轴与圆D的位置关系，若相交求弦长；（3）判断圆与（2）中圆D的位置关系，并说明理由．解：（1）因为圆C的圆心在射线上，可设圆心，又因为圆C的半径为2，点在圆C上，则，解得，即圆心，所以圆C的标准方程为．（2）因为圆D与圆C关于直线对称，则圆D的半径，圆心与点关于直线对称，可知直线CD的斜率为1，且线段CD的中点在直线上，则，解得，即，因为点D到x轴的距离，可知x轴与圆D相交，所以弦长为．（3）圆E与圆D外切．理由如下，由（2）可知圆D的圆心为，半径，且圆的圆心为，半径．则，所以圆E与圆D外切．18.已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和．（1）求数列的通项公式；（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围；（3）设，求数列的前n项和．解：（1）在数列中，①，又因为②，，所以，得．又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以．当时，，当时，，也满足上式，所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，．因为对于任意，恒成立，所以恒成立．设，则，当时，，；当，时，，所以，所以数列的最大项是，所以，即实数的取值范围为．（3）由（1）知，所以．所以．③．④，得．所以．19.已知双曲线，其右顶点为，右焦点为.（1）求以为焦点的抛物线的标准方程；（2）已知点，设点是双曲线上任一点，求的最小值；（3）设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点到直线距离均为，求的值.解：（1）由双曲线，可得，则右焦点为，所以以为焦点的抛物线的标准方程为；（2）设，则有，=，由，当时，.（3）由题意，直线法向量为，可得直线的斜率为1，设与直线平行的直线方程为，联立方程组，整理得，令，解得，当时，直线与的距离为；当时，直线与的距离为，所以的值或．甘肃省酒泉市部分中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列的通项公式为，则下列各数是数列的项是（）A.11 B.22 C.24 D.44【答案】B【解析】解得，故A错误；解得，故B正确；解得，故C错误；解得，故D错误．故选:B．2.已知点，，若直线AB的斜率为2，则（）A.7 B.3 C.1 D.9【答案】D【解析】因为点，，所以直线AB的斜率为．由题意得，解得.故选：D．3.已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，则（）A.4 B.6 C.5 D.3【答案】C【解析】由抛物线方程，得，准线方程为．因为点在抛物线上，所以，解得．由抛物线的定义，得，故选：C.4.已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.4 B.3 C.2 D.【答案】C【解析】由题意，设、、，则，，，则，则.故选：C.5.已知椭圆的离心率为，则下列说法错误的是（）A. B.短轴长为6C.焦距为 D.点在椭圆C上【答案】C【解析】因为，所以，结合可知，因为，故，故椭圆C的方程为，，，所以焦距为.因为，所以，所以短轴长为，可知A，B选项正确，C选项错误；将点代入，得，所以点在椭圆C上，故D正确.故选：C．6.双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，得双曲线的渐近线方程为．因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，所以渐近线为，且，解得，所以双曲线的离心率．故选：B．7.已知点为椭圆上一点，直线过：的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】：的圆心为，半径为1.椭圆中，，，，所以，，所以圆心为椭圆的右焦点.由题意，是圆的直径，所以为的中点，且，所以.如图，连接，可得.因为点为椭圆上任意一点，所以，.由，得.故选：B.8.双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，，由，求得，因，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，则由得，由得，则，由双曲线第一定义可得：，，所以双曲线的方程为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知椭圆的焦距大于，则的取值可以为（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】当椭圆的焦点在轴上时，焦距为，由题意得，解得，当椭圆的焦点在轴上时，焦距为，由题意得，解得，所以，实数的取值范围是.故选：ACD.10.数列满足，，，则下列说法正确的有（）A.数列是等比数列B.C.数列的前n项和D.数列是递增数列【答案】ABD【解析】因为，所以，因为，所以，所以数列是首项和公比都为2的等比数列，故A正确；则，所以，故B正确；因为，所以，故C错误；因为，所以，因为，所以，所以，即数列递增数列，故D正确．故选：ABD．11.已知抛物线焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】法一：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点，则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，由抛物线的定义可知，，故A正确；对于B，过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，则，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，显然为的斜边，则，故B错误；对于C，易知直线的斜率不为，设直线的方程为，，联立，得，易知，则，又，，所以，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，在与中，，所以，则，即，同理，又，，所以，则，故D正确.故选：ACD.法二：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点，则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，由抛物线的定义可知，，故A正确；对于B，过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，则，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，显然为的斜边，则，故B错误；对于C，当直线的斜率不存在时，；当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，消去，得，易知，则，所以，综上，，故C正确；对于D，在与中，，所以，则，即，同理，当直线的斜率不存在时，，；所以，即；当直线的斜率存在时，，，所以，则；综上，，故D正确.故选：ACD.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.12.已知圆的圆心在y轴的正半轴上，则实数a的取值范围为________．【答案】【解析】因为圆标准方程为，所以，解得，即实数a的取值范围是．故答案为：.13.已知抛物线的焦点为F，点A在C上，过点A作C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则________．【答案】5【解析】在中，令，解得，所以，因为，所以，解得，所以抛物线C的方程为，其准线方程为，在方程中，令，得，所以，所以点A的纵坐标为4，在方程中，令，解得，所以，由抛物线的定义，得．故答案为：.14.设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________．【答案】【解析】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入得，即，故，，又，得，解得，代入得，故，即，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，过点F与l垂直的直线交C于D，E两点，M，N分别为AB，DE的中点，证明：直线MN过定点．证明：由题意可知：直线l与直线DE的斜率都存在，且均不为0，设直线l的方程为，，，联立方程，消去x化简得，则，，可得，，即，同理可得：，若点M，N的横坐标相等，即，解得，此时直线MN的斜率不存在，直线MN的方程为；若点M，N的横坐标不相等，即，则直线MN的斜率，可得直线MN的方程为，所以直线MN过点．综上所述：直线MN过定点．16.已知椭圆的离心率为，长轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，若的面积为，求．解：（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故，故，故椭圆方程为：.（2）由题设直线的斜率不为，故设直线，，由可得，故即，且，故，解得，故．17.已知圆C的半径为2，圆心在射线上，点在圆C上．（1）求圆C的标准方程；（2）若圆D与圆C关于直线对称，判断x轴与圆D的位置关