研究生入学考试数学高等代数真题解析试题及答案

研究生入学考试数学高等代数真题解析试题及答案考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.行列式等于其任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积之和。（）2.若矩阵A可逆，则其伴随矩阵A也可逆，且A的逆矩阵为|A|A^(-1)。（）3.齐次线性方程组Ax=0一定有非零解当且仅当矩阵A的秩r(A)小于未知数个数n。（）4.若向量组α1,α2,α3线性无关，则向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1也线性无关。（）5.实对称矩阵一定可对角化，且其特征向量可以正交。（）6.若n阶矩阵A满足A^2=A，则A的特征值只能是0或1。（）7.秩为r的矩阵A经过初等行变换后，其秩仍为r。（）8.若向量组α1,α2,α3线性相关，则α1必可由α2,α3线性表示。（）9.特征值相同的两个n阶矩阵一定相似。（）10.若矩阵A的特征值全为正，则A一定可逆。（）二、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.设A为3阶矩阵，|A|=2，则|3A|等于（）A.3^3×2B.3^2×2C.3×2D.2^3×32.矩阵A=(12;34)的逆矩阵A^(-1)等于（）A.(-42;3-1)B.(4-2;-31)C.(-12;3-4)D.(1-2;-34)3.齐次线性方程组x1+x2+x3=0的通解为（）A.k(101)^TB.k(010)^TC.k(111)^TD.k(1-10)^T4.向量组α1=(101)^T,α2=(011)^T,α3=(110)^T的秩为（）A.1B.2C.3D.无法确定5.矩阵P=(100;010;001)的特征值为（）A.1,1,1B.1,0,0C.0,1,1D.3,0,06.若A=(12;34),B=(56;78)，则|AB|等于（）A.40B.20C.10D.07.矩阵A=(10;02)的特征向量为（）A.(10)^TB.(01)^TC.(11)^TD.(1-1)^T8.若向量组α1,α2,α3线性无关，则向量组α1,α2,α3的秩为（）A.1B.2C.3D.49.矩阵A=(10;01)与矩阵B=(11;01)是否相似？（）A.相似B.不相似C.无法判断D.取决于特征值10.若A为n阶可逆矩阵，则A的伴随矩阵A的秩为（）A.0B.1C.n-1D.n三、多选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.下列矩阵中可逆的是（）A.(10;00)B.(12;24)C.(30;01)D.(21;12)2.矩阵A=(12;34)的伴随矩阵A等于（）A.(-42;3-1)B.(4-2;-31)C.(-12;3-4)D.(1-2;-34)3.齐次线性方程组x1+x2+x3=0的解空间维数为（）A.0B.1C.2D.34.向量组α1=(101)^T,α2=(011)^T,α3=(110)^T的线性组合可表示（）A.任意向量B.平面C.空间D.原点5.矩阵P=(100;010;001)的特征向量是（）A.(100)^TB.(010)^TC.(001)^TD.(111)^T6.若A=(12;34),B=(56;78)，则AB等于（）A.(1718;2528)B.(1314;1920)C.(10;01)D.(01;10)7.矩阵A=(10;02)的特征值为（）A.1B.2C.3D.08.若向量组α1,α2,α3线性无关，则向量组α1,α2,α3的线性组合可表示（）A.任意向量B.平面C.空间D.原点9.矩阵A=(10;01)与矩阵B=(11;01)是否相似？（）A.相似B.不相似C.无法判断D.取决于特征值10.若A为n阶可逆矩阵，则A的伴随矩阵A的秩为（）A.0B.1C.n-1D.n四、简答题（总共3题，每题4分，总分12分）1.简述矩阵可逆的充要条件。2.解释向量组线性相关与线性无关的定义。3.说明实对称矩阵的特征值有何性质。五、应用题（总共2题，每题9分，总分18分）1.已知矩阵A=(12;34),B=(56;78)，求AB及BA。2.解齐次线性方程组x1+x2+x3=0的通解。【标准答案及解析】一、判断题1.√行列式按行（列）展开定理。2.√伴随矩阵性质：AA=|A|E，若A可逆则|A|≠0，故A可逆且A=(|A|A^(-1))。3.√齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵秩小于未知数个数。4.√线性无关向量组的线性组合仍线性无关。5.√实对称矩阵可对角化且特征向量正交。6.√A^2=A⇔A(A-E)=0，特征值满足λ^2=λ⇔λ=0或1。7.√初等行变换不改变矩阵秩。8.√线性相关向量组中至少一个向量可由其余向量线性表示。9.×特征值相同的矩阵未必相似（如A=I与B=2I）。10.√矩阵可逆⇔特征值全不为0⇔特征值全为正。二、单选题1.A|kA|=k^n|A|，n=3。2.A逆矩阵公式(A^(-1)=1/|A|adj(A))。3.A齐次方程解空间维数为n-r=3-1=2。4.C秩为向量组中最大无关组向量数。5.A单位矩阵特征值为1。6.B|AB|=|A||B|=2×(-4)=-8。7.A特征值1对应特征向量(10)^T。8.C线性无关向量组秩等于向量个数。9.BB有重复特征值1且不可对角化。10.D伴随矩阵秩为n-1（n阶可逆矩阵）。三、多选题1.CD逆矩阵要求行列式不为0。2.AD伴随矩阵定义。3.B解空间维数为n-r=1。4.BC线性无关向量组生成空间为平面或空间。5.ABC单位矩阵特征向量为其自身。6.A计算矩阵乘法。7.AB特征值为矩阵对角线元素。8.BC线性无关向量组生成空间为平面或空间。9.B不相似（特征值不同）。10.CD伴随矩阵秩为n-1。四、简答题1.矩阵可逆充要条件：①|A|≠0；②A满秩（r=n）；③A行（列）向量线性无关；④A可表示为初等矩阵乘积。2.向量组线性相关：存在不全为0系数使线性组合为0；线性无关：仅全为0系数使线性组合为0。3.实对称矩阵特征值性质：①实数特征值；②特征向量正交；③可对角化（相似于对角矩阵）。五、应用题1.AB=(1×5+2×71