中学数学函数专题习题集

中学数学函数专题：知识梳理与习题精析函数作为中学数学的核心内容，贯穿于代数、几何乃至后续的概率统计学习中。其思想方法不仅是解决数学问题的工具，更是培养逻辑思维与抽象能力的重要载体。本专题旨在系统梳理中学阶段函数的核心知识点，并通过典型习题的剖析，帮助学习者构建完整的知识体系，提升解题能力。我们将从函数的基本概念出发，逐步深入到各类具体函数的性质、图像及应用，强调概念的理解与方法的迁移。一、函数的基本概念与表示方法（一）核心概念解读函数的本质是两个非空数集之间的一种特殊对应关系。理解函数，首先要抓住三个要素：定义域、值域与对应法则。定义域是函数的“源头”，任何函数问题的求解都必须首先考虑自变量的取值范围，忽略定义域往往是解题失误的根源。对应法则则是函数的“灵魂”，它决定了输入与输出之间的关联方式，可以通过解析式、图像或表格等多种形式呈现。值域作为函数的“结果”，由定义域与对应法则共同确定，求解值域的过程常常需要结合函数的性质进行分析。判断两个函数是否为同一函数，必须同时满足定义域相同与对应法则一致，二者缺一不可。例如，虽然表达式看似相似，但因定义域不同，它们便不是同一函数。（二）表示方法与应用函数的常用表示方法有解析法、图像法和列表法。解析法的优点是严谨精确，便于进行代数运算；图像法直观形象，能清晰反映函数的变化趋势与对称性；列表法则适用于自变量取值离散或需要快速查询函数值的场景。在实际解题中，灵活转换函数的表示形式，尤其是“数形结合”思想的运用，往往能使复杂问题迎刃而解。基础巩固习题1.试判断下列各组函数是否为同一函数，并说明理由：（1）f(x)=x与g(x)=√(x²)（2）f(x)=1(x∈R)与g(x)=x⁰2.已知函数f(x)的定义域为[0,4]，求函数f(x+1)+f(x-1)的定义域。（提示：定义域是自变量x的取值范围，对于复合函数f(g(x))，g(x)的取值需在f(x)的定义域内。）3.某商店销售一种商品，每件成本为a元。若按每件b元（b>a）销售，每天可售出c件。根据市场调查，售价每降低d元，销量可增加e件。试写出每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式，并指出其定义域。（提示：利润=(售价-成本)×销量，注意售价x的取值需保证销量为非负。）二、函数的基本性质函数的性质是研究函数行为的关键，主要包括单调性、奇偶性、周期性和最值。这些性质不仅是函数自身特征的体现，也是解决函数问题的重要依据。（一）单调性单调性描述的是函数在某个区间内的增减趋势。设函数f(x)在区间I上有定义，对于任意的x₁,x₂∈I，若当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)，则称f(x)在I上单调递增；若当x₁<x₂时，都有f(x₁)>f(x₂)，则称f(x)在I上单调递减。证明函数单调性的基本方法是定义法，即通过作差（或作商）比较f(x₁)与f(x₂)的大小。（二）奇偶性奇偶性反映了函数图像的对称性。若对于函数f(x)定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数，其图像关于y轴对称；若都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数，其图像关于原点对称。判断函数奇偶性时，首先要确认定义域是否关于原点对称，这是函数具备奇偶性的前提条件。（三）周期性与最值对于函数f(x)，若存在非零常数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T为其一个周期。函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值，求最值的方法多样，包括利用单调性、二次函数顶点公式、基本不等式、导数（高中阶段）等。性质应用习题4.证明函数f(x)=x+1/x在区间(0,1]上单调递减，在区间[1,+∞)上单调递增。（提示：利用单调性定义，任取x₁<x₂，作差f(x₂)-f(x₁)，通过因式分解判断差的符号。）5.判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x³-x（2）f(x)=√(1-x²)+√(x²-1)（3）f(x)=|x+1|-|x-1|6.已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(2)=1。解不等式f(x-1)<1。（提示：利用奇函数的性质及单调性脱去“f”符号，注意奇函数在对称区间上的单调性一致。）三、基本初等函数中学阶段学习的基本初等函数主要包括一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数与对数函数，以及三角函数（三角函数通常有专门章节重点学习）。掌握这些函数的图像与性质是解决复杂函数问题的基础。（一）一次函数与反比例函数一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，其图像是一条直线，k为斜率，b为y轴截距。当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减。反比例函数的解析式为y=k/x(k≠0)，其图像是双曲线，定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)。当k>0时，图像位于一、三象限，在每个象限内单调递减；当k<0时，图像位于二、四象限，在每个象限内单调递增。（二）二次函数二次函数的一般式为y=ax²+bx+c(a≠0)，顶点式为y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标。其图像是一条抛物线，对称轴为x=-b/(2a)（或x=h）。当a>0时，抛物线开口向上，函数在x=h处取得最小值k；当a<0时，抛物线开口向下，函数在x=h处取得最大值k。二次函数的零点、与一元二次方程及一元二次不等式的关系是学习的重点。（三）指数函数与对数函数指数函数的解析式为y=aˣ(a>0且a≠1)，对数函数的解析式为y=logₐx(a>0且a≠1)，它们互为反函数，图像关于直线y=x对称。指数函数的值域为(0,+∞)，当a>1时单调递增，当0<a<1时单调递减。对数函数的定义域为(0,+∞)，单调性与指数函数一致。掌握指数与对数的运算性质，以及它们的图像特征，是解决相关问题的关键。基本初等函数习题7.已知二次函数f(x)的图像过点(1,-1)，(2,1)，且对称轴为x=3，求f(x)的解析式。（提示：可设顶点式f(x)=a(x-3)²+k，代入已知点求解。）8.比较下列各组数的大小：（1）2.1⁰.³与2.2⁰.³（2）log₂3与log₃4（提示：对于（1），可构造幂函数y=x⁰.³，利用其单调性；对于（2），可与中间值1.5比较，或作差利用对数运算性质。）9.函数f(x)=aˣ(a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a/2，求a的值。（提示：分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的单调性，从而确定最大值与最小值。）四、函数图像的变换函数图像是函数性质的直观体现，掌握函数图像的变换规律，能够快速准确地绘制复杂函数的图像，进而利用数形结合解决问题。常见的图像变换包括平移变换、伸缩变换和对称变换。平移变换：对于函数y=f(x)，向左平移h个单位得到y=f(x+h)，向右平移h个单位得到y=f(x-h)；向上平移k个单位得到y=f(x)+k，向下平移k个单位得到y=f(x)-k。伸缩变换：横向伸缩，y=f(ωx)(ω>0)，将y=f(x)的图像上各点的横坐标变为原来的1/ω倍（纵坐标不变）；纵向伸缩，y=Af(x)(A>0)，将y=f(x)的图像上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变）。对称变换：y=f(-x)与y=f(x)的图像关于y轴对称；y=-f(x)与y=f(x)的图像关于x轴对称；y=-f(-x)与y=f(x)的图像关于原点对称；y=f(|x|)的图像是将y=f(x)在y轴右侧的图像保留，并将其关于y轴对称到左侧；y=|f(x)|的图像是将y=f(x)在x轴下方的图像翻折到x轴上方。图像变换习题10.已知函数y=f(x)的图像如图所示（此处省略图像，实际应用中需配合图像），试画出下列函数的图像：（1）y=f(x-1)+2（2）y=f(2x)（3）y=|f(x)|（提示：描述图像变换过程，如“将y=f(x)的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y=f(x-1)+2的图像”。）11.设函数f(x)=x²-2x，若将其图像先向左平移m个单位，再向上平移n个单位，得到函数g(x)=x²的图像，求m,n的值。五、函数的应用函数的应用广泛，贯穿于数学的各个分支及实际生活中。中学阶段主要涉及利用函数知识解决实际问题（如最值问题、优化问题）、结合方程与不等式解决综合问题，以及简单的函数建模。解决函数应用问题的一般步骤是：审题，明确问题中的数量关系，引入自变量与因变量，建立函数模型；根据实际意义确定函数的定义域；利用函数的性质求解模型；检验结果的合理性，并回归实际问题作答。综合应用与拓展习题12.某工厂生产一种产品，固定成本为C元，每件产品的可变成本为D元，售价为E元。若该产品的年产量为x件，且年产量不超过F件。（1）写出年利润y（元）关于年产量x（件）的函数关系式。（2）当年产量为多少时，工厂可获得最大年利润？最大年利润是多少？（提示：注意x的取值范围为正整数，且不超过F。若利润函数为一次函数，需根据单调性判断；若为二次函数，需考虑顶点是否在定义域内。）13.已知函数f(x)=(x²+ax+b)/(x²+1)的值域为[1,3]，求实数a,b的值。（提示：将函数整理为关于x的二次方程，利用判别式法求值域，进而得到关于a,b的方程。）14.设函数f(x)对任意实数x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)>0。（1）求证：f(x)是奇函数；（2）判断f(x)的单调性，并证明你的结论；（3）若f(1)=k，解不等式f(x²-1)<2k。（提示：抽象函数问题常采用赋值法，结合单调性定义解决。）学习建议函数的学习，概念是基础，图像是工具，性质是核心，应用是目的。建议学习者在以下几个方面多下功夫：1.深刻理解概念：对于函数的定义、三要素、性质等基本概念，要逐字逐句推敲，理解其内涵与外延，避免死记硬背。2.重视图像作用：养成画图、用图的习惯，借助图像理解函数性质，解决函数问题，体会数形结合思想的妙用。3.勤于动手实践：通过适量的习题练习，巩固知识，掌握方法。做题时不仅要关注结果，更要注重解题思路的形成过程和方法的归纳总结。4.构建知识网络：将各类函数的知识系统化，