全等三角形考点突破及训练题详解集

全等三角形考点突破及训练题详解集在初中几何的学习旅程中，全等三角形无疑是一座重要的里程碑。它不仅是后续学习相似三角形、四边形等内容的基础，其蕴含的“对应”思想和严谨的逻辑推理方法，更是培养同学们几何直观与逻辑思维能力的关键。本文将带你系统梳理全等三角形的核心考点，剖析解题思路，并通过精选例题的详细解析，助你真正攻克这一几何难关，做到融会贯通，灵活运用。一、核心概念与判定定理回顾要熟练掌握全等三角形，首先必须对其基本概念和判定方法有清晰且准确的认识。1.全等形与全等三角形能够完全重合的两个图形叫做全等形。特别地，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。这里的“完全重合”意味着它们的形状和大小完全一致，这是理解全等的精髓。当两个三角形全等时，它们的对应边相等，对应角相等。这个性质是我们证明线段相等和角相等的重要依据。2.全等三角形的判定定理判定两个三角形全等，是解决几何问题的核心技能。我们学过的判定方法有：*SSS（边边边）：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。*SAS（边角边）：如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。这里务必注意“夹角”的重要性，不可误用成“边边角”。*ASA（角边角）：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。*AAS（角角边）：如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。*HL（斜边、直角边）：仅适用于直角三角形。如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。这些判定定理是我们进行推理证明的“利器”，必须深刻理解其条件，能够准确识别和运用。在书写证明过程时，要注意对应顶点的字母写在对应的位置上，以清晰表达对应关系。二、全等三角形常见考点剖析与突破策略全等三角形的考查形式多样，但万变不离其宗。以下是一些常见的考点及相应的突破策略：考点一：直接判定三角形全等这类题目通常会给出若干个三角形，或在复杂图形中识别出可能全等的三角形，并给出部分条件，要求判断能否判定全等，或补充一个条件使其全等。*突破策略：1.明确已知条件：仔细审题，找出题目中给出的边、角相等的条件。2.锁定目标三角形：确定要判断全等的两个三角形。3.对照判定定理：将已知条件与五个判定定理逐一比对，看是否符合某一定理的条件。特别注意SAS中的“夹”角，以及SSA不能判定全等的情况。4.补充条件：若需补充条件，应根据现有条件和图形特征，思考需要补充什么样的边或角（位置关系）才能符合某个判定定理。考点二：利用全等三角形证明线段或角相等这是全等三角形最直接、最常见的应用。要证明两条线段相等或两个角相等，若它们分别在两个三角形中，通常考虑证明这两个三角形全等。*突破策略：1.确定待证结论：明确要证明相等的线段（或角）。2.寻找“宿主”三角形：找到这两条线段（或角）所在的两个三角形。3.分析已知与所需：分析已知条件中是否有这两个三角形全等的直接或间接条件，还需要哪些条件才能判定全等。4.证明全等：利用已有条件和图形性质（如对顶角、公共边、公共角、角平分线、中线、高的定义等）推导出所需条件，进而证明三角形全等。5.得出结论：由全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）得出待证结论。考点三：利用全等三角形证明线段的和差倍分关系此类问题通常需要证明一条线段等于另两条线段的和（或差），或一条线段是另一条线段的几倍（或几分之一）。*突破策略：1.“截长”或“补短”：这是解决此类问题的常用辅助线添加方法。*截长法：在较长的线段上截取一段等于其中一条较短的线段，然后证明剩下的部分等于另一条较短的线段。*补短法：延长其中一条较短的线段，使延长部分等于另一条较短的线段，然后证明延长后的总线段等于较长的线段。2.构造全等三角形：通过“截长”或“补短”，构造出一对全等三角形，将分散的线段关系集中起来，从而实现证明目标。考点四：利用全等三角形证明两条直线的位置关系（平行或垂直）证明两条直线平行，可通过证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补；证明两条直线垂直，可通过证明它们的夹角为直角（90°）。这些角的关系往往可以通过证明三角形全等来实现。*突破策略：1.明确位置关系的判定依据：如平行需证角相等或互补，垂直需证角为90°。2.转化为证角相等或角的度数：将位置关系问题转化为角的数量关系问题。3.利用全等证角：通过证明相关的三角形全等，得到对应角相等，进而推出所需的角的关系。考点五：结合尺规作图考查全等近年来，尺规作图与几何证明的结合成为一个热点。利用尺规作图得到的图形，其蕴含的相等关系（如半径相等）常常是证明三角形全等的关键条件。*突破策略：1.理解作图步骤与依据：明确每一步尺规作图的目的和能得到的相等关系（如作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角平分线，作垂直平分线等）。2.提取全等条件：从作图痕迹中提取出证明三角形全等所需的边或角相等的条件。3.规范证明过程：结合作图依据和全等判定定理进行证明。解题通用技巧与思想方法：*“对应”意识：时刻牢记“对应”二字，找准对应顶点、对应边、对应角，是避免出错的关键。*图形分解与组合：复杂图形往往是由几个基本图形组合而成，学会从复杂图形中分离出要研究的基本图形（如全等三角形）。*辅助线添加：辅助线是解决几何问题的“桥梁”。除了上述提到的“截长补短”，常见的辅助线还有：连接某两点、作高、作平行线、延长某线段等。添加辅助线的目的是构造全等三角形、创造已知条件。*执果索因（分析法）与由因导果（综合法）结合：从待证结论出发，倒推需要什么条件（分析法）；同时从已知条件出发，看能推出什么结论（综合法），两者结合，找到解题路径。*分类讨论思想：当题目条件不唯一或图形具有多种可能性时，要注意分类讨论，避免漏解。三、训练题详解集接下来，我们通过几道典型例题的详细解析，来具体运用上述考点知识和解题策略。例题1：基础判定与性质应用已知：如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：(1)△ABC≌△DEF；(2)∠A=∠D。分析与解答：(1)要证△ABC≌△DEF，我们先看已知条件：AB=DE（一组边），AC=DF（另一组边）。已知两边，我们可以考虑SSS或SAS。题目中还有BE=CF。观察图形，B、E、C、F在同一直线上，那么BE+EC=BC，EC+CF=EF。因为BE=CF，所以BC=EF（等式性质：等量加等量，和相等）。现在，在△ABC和△DEF中：AB=DE(已知)AC=DF(已知)BC=EF(已证)所以△ABC≌△DEF(SSS)(2)由(1)知△ABC≌△DEF，根据全等三角形的对应角相等，可得∠A=∠D。点评：本题直接考查SSS判定定理的应用及全等三角形性质。关键在于通过线段的和差关系，由BE=CF推导出BC=EF，从而凑齐SSS的三个条件。这是非常基础且重要的题型。例题2：利用SAS判定及证明线段相等已知：如图，AD与BC相交于点O，OA=OD，∠A=∠D。求证：AB=DC。分析与解答：要证AB=DC，观察它们分别在△OAB和△ODC中。考虑证明△OAB≌△ODC。已知条件：OA=OD（一组边），∠A=∠D（一组角）。图形中，∠AOB和∠DOC是对顶角，根据对顶角相等的性质，可得∠AOB=∠DOC。现在，在△OAB和△ODC中：∠A=∠D(已知)OA=OD(已知)∠AOB=∠DOC(对顶角相等)所以△OAB≌△ODC(ASA)因此，AB=DC(全等三角形对应边相等)点评：本题也可看作是ASA判定的应用。在有对顶角、公共角等隐含条件的题目中，要善于发现这些“天然”的相等角，为证明全等提供条件。例题3：证明角相等与辅助线添加（构造全等）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上。求证：∠ABE=∠ACE。分析与解答：要证∠ABE=∠ACE，这两个角分别在△ABE和△ACE中。我们可以尝试证明△ABE≌△ACE。已知AB=AC（一组边），AE是公共边（第二组边）。若能证明∠BAE=∠CAE，或BE=CE，则可用SAS或SSS证明全等。题目中，AB=AC，点D是BC的中点，即AD是等腰△ABC底边BC上的中线。根据等腰三角形“三线合一”的性质（等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相重合），可知AD平分∠BAC，即∠BAE=∠CAE。现在，在△ABE和△ACE中：AB=AC(已知)∠BAE=∠CAE(已证，由等腰三角形三线合一)AE=AE(公共边)所以△ABE≌△ACE(SAS)因此，∠ABE=∠ACE(全等三角形对应角相等)点评：本题巧妙利用了等腰三角形的性质来获取证明全等所需的角相等条件。对于含有等腰、等边、直角等特殊条件的三角形，要记得运用它们的特殊性质。例题4：证明线段和差关系（截长法/补短法）已知：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC交BC于点D。求证：AB+BD=AC。分析与解答：要证AB+BD=AC，这是典型的线段和差问题。我们可以采用“截长法”或“补短法”。方法一：截长法在AC上截取AF=AB，连接DF。因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠FAD。在△ABD和△AFD中：AB=AF(已作)∠BAD=∠FAD(已证)AD=AD(公共边)所以△ABD≌△AFD(SAS)所以BD=FD(全等三角形对应边相等)∠B=∠AFD(全等三角形对应角相等)已知∠B=2∠C，所以∠AFD=2∠C。又因为∠AFD是△DFC的外角，所以∠AFD=∠FDC+∠C。即2∠C=∠FDC+∠C，所以∠FDC=∠C。因此，FD=FC(等角对等边)因为AC=AF+FC，且AF=AB，FC=FD=BD，所以AC=AB+BD，即AB+BD=AC。方法二：补短法（同学们可自行尝试）延长AB至点G，使BG=BD，连接DG。利用等腰三角形性质和角的关系证明△AGD≌△ACD。点评：“截长法”和“补短法”是解决线段和差问题的常用技巧。通过构造全等三角形，将分散的线段“搬”到一起，从而使问题得证。本题中，利用角平分线构造全等是关键一步。例题5：综合应用与开放探究已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是AB的中点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD。求证：(1)AD+BC=CD；(2)CE⊥DE。分析与解答：(1)要证AD+BC=CD，依然考虑截长或补短。在CD上截取CF=CB，连接EF。因为CE平分∠BCD，所以∠BCE=∠FCE。在△BCE和△FCE中：CB=CF(已作)∠BCE=∠FCE(已证)CE=CE(公共边)所以△BCE≌△FCE(SAS)所以BC=FC，∠B=∠CFE(全等三角形对应边、对应角相等)因为AD∥BC，所以∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）。又因为∠CFE+∠DFE=180°（平角定义），且∠B=∠CFE，所以∠A=∠DFE。因为DE平分∠ADC，所以∠ADE=∠FDE。点E是AB的中点，所以AE=BE。又因为△BCE≌△FCE，所以BE=FE，因此AE=FE。在△ADE和△FDE中：∠A=∠DFE(已证)∠ADE=∠FDE(已证)AE=FE(已证)所以△ADE≌△FDE(AAS)所以AD=FD(全等三角形对应边相等)因为CD=FD+FC，且FD=AD，FC=BC，所以CD=AD+BC，即AD+BC=CD。(2)由(1)中△ADE≌△FDE，可得∠AED=∠FED。由△BCE≌△FCE，可得∠BEC=∠FEC。因为∠AED+∠FED+∠FEC+∠BEC=180°（平角定义），所以2∠FED+2∠FEC=180°，即∠FED+∠FEC=90°。而∠DEC=∠FED+∠FEC，所以∠DEC=90°，即CE⊥DE。点评：本题综合考查了角平分线的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质以及平角的定义等多个知识点。辅助线的添加（截长法）是解