专接本备考初等数论基础练习试题及答案

专接本备考初等数论基础练习试题及答案考试时长：120分钟满分：100分一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若整数a除以整数b的余数为3，且a=15，则b的所有可能取值为（）A.2,4,6B.3,5,7C.4,6,8D.5,7,92.下列哪个数是素数？（）A.121B.127C.133D.1493.若整数n满足n²是偶数，则n一定是（）A.奇数B.偶数C.负数D.零4.两个互质的整数a和b，其最大公约数记作gcd(a,b)，则gcd(a,b)等于（）A.a·bB.a+bC.1D.a或b5.若x是方程x²-5x+6=0的解，则x的所有可能取值为（）A.2,3B.-2,-3C.1,6D.0,56.下列哪个命题是真命题？（）A.所有的偶数都是合数B.所有的素数都是奇数C.1既不是素数也不是合数D.0是素数7.若整数m能被3和5整除，则m一定能被（）整除A.8B.15C.10D.128.两个连续的整数，若其中一个为素数，则另一个一定是（）A.素数B.合数C.奇数D.偶数9.若a和b是互质的两个正整数，且a=8，则b的所有可能取值中，最小的正整数是（）A.1B.3C.5D.710.下列哪个数不能表示为两个连续整数的乘积？（）A.6B.12C.20D.24二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若整数a除以整数b的余数为2，且a=34，则b的所有可能取值中，最大的正整数是______。2.素数p满足p+2也是素数，这样的素数称为孪生素数，例如(3,5)，则下一个孪生素数对是______。3.若整数n满足n²是奇数，则n一定是______。4.两个互质的整数a和b，其最小公倍数记作lcm(a,b)，若gcd(a,b)=1，则lcm(a,b)等于______。5.方程x²-7x+10=0的解为______和______。6.命题“所有素数都是奇数”的否定是______。7.若整数m能被4和6整除，则m一定能被______整除。8.两个连续的整数，若其中一个为合数，则另一个一定是______。9.若a和b是互质的两个正整数，且a=12，则b的所有可能取值中，最小的正整数是______。10.下列数中，能表示为两个连续整数的乘积的是______（填序号）。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.所有的合数都有至少三个正因数。（×）2.若整数a能被整数b整除，则a一定大于b。（×）3.两个连续的整数中，必有一个是素数。（×）4.若a和b是互质的两个正整数，则a+b也是互质的。（×）5.0是偶数但不是素数。（√）6.两个素数的乘积一定是合数。（√）7.若整数n满足n²是偶数，则n一定是偶数。（√）8.1既不是素数也不是合数。（√）9.两个连续的整数中，必有一个是偶数。（√）10.任何大于1的整数都可以唯一分解为素数的乘积。（√）四、简答题（总共3题，每题4分，总分12分）1.简述什么是素数，并举例说明。2.解释什么是互质整数，并给出两个互质整数的例子。3.什么是最大公约数和最小公倍数？它们之间有什么关系？五、应用题（总共2题，每题9分，总分18分）1.某班级有60名学生，老师要分组进行活动，要求每组人数相同且每组至少有3人。问老师最多可以分成多少组？并说明理由。2.已知两个正整数a和b，满足gcd(a,b)=6，lcm(a,b)=180。求a和b的值。【标准答案及解析】一、单选题1.D解析：a=15，余数为3，则b是15-3=12的约数，12的约数为1,2,3,4,6,12，排除选项A、B、C，选D。2.B解析：127不能被2,3,5,7整除，是素数；121=11²，133=7×19，149不能被2,3,5,7整除，是素数，选B。3.B解析：n²是偶数，则n一定是偶数，否则n²为奇数，矛盾。4.C解析：互质整数的最大公约数为1。5.A解析：因式分解x²-5x+6=(x-2)(x-3)=0，解为x=2,3。6.C解析：1既不是素数（素数定义要求大于1），也不是合数。7.B解析：3和5的最小公倍数为15，m能被3和5整除，则m能被15整除。8.D解析：两个连续整数必有一个是偶数，若其中一个素数为奇数，则另一个为偶数且非素数（如2）。9.D解析：a=8，b需与8互质，8的质因数为2，排除含2的选项，选7。10.D解析：6=2×3，12=3×4，20=4×5，24=4×6，24不能表示为连续整数的乘积。二、填空题1.17解析：34÷b余2，则b是32的约数，32的约数为1,2,4,8,16,32，最大为32。2.(5,7)解析：下一个孪生素数对为5和7。3.奇数解析：n²是奇数，则n为奇数，否则n²为偶数。4.a·b解析：gcd(a,b)=1，则lcm(a,b)=a·b。5.2,5解析：因式分解x²-7x+10=(x-2)(x-5)=0，解为x=2,5。6.有些素数不是奇数解析：否定命题需改变量词并否定结论。7.12解析：4=2²，6=2×3，12=2²×3，m能被4和6整除，则m能被12整除。8.奇数解析：两个连续整数必有一个是偶数，若其中一个合数为偶数，则另一个为奇数且非合数。9.1解析：a=12，b需与12互质，12的质因数为2、3，排除含2或3的选项，选1。10.6解析：6=2×3，是连续整数2和3的乘积。三、判断题1.×解析：4是合数，但只有1,2,4三个因数。2.×解析：a能被b整除，a可能等于b（如6÷3=2）。3.×解析：如8和9，都是合数。4.×解析：如8和9互质，8+9=17也互质；但6和5互质，6+5=11不互质。5.√解析：0是偶数（能被2整除），但素数定义要求大于1。6.√解析：任何大于1的整数若不是素数，必为合数，合数可分解为素数乘积。7.√解析：n²是偶数，则n为偶数，否则n²为奇数。8.√解析：1既不满足素数定义（>1），也不满足合数定义（有>1的因数）。9.√解析：任何两个连续整数必有一个是偶数。10.√解析：根据算术基本定理，任何大于1的整数可唯一分解为素数乘积。四、简答题1.素数定义：大于1的整数，除了1和自身外没有其他正因数。例如2,3,5,7等。2.互质整数定义：两个正整数gcd为1。例如8和9，质因数分别为2²和3，无公共质因数。3.最大公约数：两个整数的最大公共因数；最小公倍数：两个整数的所有公倍数中最小的正整数。关系：gcd(a,b)·lcm(a,b)=a·b。五、应用题1.解：设每组人数为k，则60/k为整数且k≥3。60的约数为1,2,3,4,5,6,10,12,15