统计学计算题例题(含答案)

统计学计算题例题(含答案)某市疾控中心为评估新型降压药的疗效，设计了一项随机双盲对照试验。受试者共240人，按1:1比例随机分入试验组（新药）与对照组（安慰剂）。基线收缩压（SBP）服从正态分布，两组均值均为158mmHg，标准差12mmHg。治疗8周后，试验组平均下降18mmHg，对照组平均下降7mmHg；两组8周后SBP的标准差分别为10mmHg与11mmHg。假设差值仍近似正态，且两组下降量相互独立。1.计算两组8周后SBP的平均值，并给出95%置信区间。2.检验“新药比安慰剂多降低5mmHg”这一非劣效界值是否成立（α=0.05，单侧）。3.若将“多降低5mmHg”视为最小临床意义差值，求检验效能1−β，当真实差值为8mmHg时，样本量每组120人是否足够？4.现从240人中随机不放回地抽取50人做亚组分析，求样本中试验组人数X的分布、期望与方差。5.假设亚组中试验组27人，对照组23人，测得试验组SBP下降量样本均值为19.2mmHg，样本标准差9.4mmHg；对照组均值6.8mmHg，样本标准差10.1mmHg。请给出两组下降量差值的95%置信区间，并判断与第2题结论是否一致。6.若总体SBP下降量服从N(μ,σ²)，但σ²未知，从试验组另取一独立样本n=31，得样本方差s²=98.5(mmHg)²。求σ²的95%置信区间，并检验σ=10mmHg是否可信（α=0.05，双侧）。7.设SBP下降量与年龄z存在线性关系：Y=β₀+β₁z+ε,ε∼N(0,σ²)。对试验组120人拟合得：=(a)给出β₁的95%置信区间，并解释含义；(b)预测65岁受试者SBP下降量Ŷ，并给出其95%预测区间；(c)检验β₁=−0.5是否成立（α=0.05，双侧）。8.将240人按年龄三分位分组，得3×2列联表如下（单位：人）：年龄组试验组对照组行合计≤52岁38428053–61岁413980≥62岁413980列合计120120240检验分组与处理分配是否独立（α=0.05）。9.若定义“有效”为SBP下降≥15mmHg，试验组120人中有78人有效，对照组120人中有45人有效。(a)求两组有效率差π₁−π₀的点估计与95%置信区间；(b)检验π₁−π₀>0.15是否成立（α=0.05，单侧）。10.将第9题数据视为2×2表，用Fisher精确检验计算单侧p值，并与第9(b)题正态近似结果比较。11.设SBP下降量服从指数族分布，自然参数θ与均值μ满足θ=−1/μ。对试验组120人得∑yᵢ=2160mmHg。求θ的最大似然估计，并给出其渐近95%置信区间。12.用Bootstrap法评估第1题中试验组8周后SBP均值的抽样分布：以原始样本（n=120，均值140mmHg，标准差10mmHg）为经验分布，有放回抽取R=5000个bootstrap样本，每个样本容量120。记bootstrap均值为ȳ，求12.用Bootstrap法评估第1题中试验组8周后SBP均值的抽样分布：以原始样本（n=120，均值140mmHg，标准差10mmHg）为经验分布，有放回抽取R=5000个bootstrap样本，每个样本容量120。记bootstrap均值为ȳ，求(a)bootstrap标准误SE(ȳ)；(a)bootstrap标准误SE(ȳ)；(b)用百分位法给出ȳ的95%置信区间；(c)用BCa法校正后区间，并与百分位法比较。13.若SBP下降量服从Laplace分布，位置参数μ，尺度参数b。对试验组n=120样本，得中位数18.3mmHg，平均绝对离差MAD=6.9mmHg。已知对Laplace分布，MAD→bln2。求b的估计值，并给出μ的95%置信区间（用渐近正态法）。14.把240人看作一个有限总体，试验组120人标记为1，对照组120人标记为0。无放回抽取n=60人，记样本中标记1的比例为p̂。求(a)p̂的期望与方差；(b)用有限总体校正，给出p̂的95%置信区间；(c)若观测得p̂=0.55，求该结果在零假设“总体比例0.5”下的双侧p值（用超几何分布）。15.综合上述结果，用一句话概括新药相对于安慰剂的降压效果。解答与解析1.基线均值158mmHg。试验组下降18mmHg⇒8周后均值=对照组下降7mmHg⇒=标准误SE95%置信区间（t₀.₀₂₅,119≈1.980）：试验组140对照组1512.非劣效检验H₀:μ₁−μ₀≤5vsH₁:μ₁−μ₀>5。差值d̂=18−7=11mmHg。合并标准误（独立样本）SE检验统计量t拒绝H₀，新药比安慰剂多降低5mmHg以上的非劣效界值成立。3.真实差值δ=8mmHg，界值Δ=5mmHg。标准化非中心参数λ单侧检验功效1功效71.4%，略低于常规80%，但接近可接受范围。4.不放回抽样，X∼超几何(N=240,K=120,n=50)。期望E方差Var5.亚组差值d̂'=19.2−6.8=12.4mmHg。合并标准误SEt₀.₀₂₅,48≈2.009，95%CI12.4区间下限>5mmHg，与第2题结论一致。6.样本方差s²=98.5，n=31。χ²分布：~95%CIforσ²：[对σ=10⇒σ²=100，落在区间内，不拒绝H₀（双侧p>0.05）。7.(a)β₁的95%CI−每增加1岁，SBP下降量减少0.20–0.64mmHg。(b)65岁预测Y预测区间标准误=95%PI−(c)t=(−0.42+0.5)/0.11=0.73，df=118，双侧p=0.466，不拒绝β₁=−0.5。8.卡方检验期望频数均≥38，χ²=0.40，df=2，p=0.82，不拒绝独立，分组与处理分配均衡。9.(a)差值p̂₁−p̂₀=0.65−0.375=0.275。合并标准误SE95%CI0.275(b)H₀:π₁−π₀≤0.15vsH₁:>0.15。z拒绝H₀，有效率差>15%。10.Fisher精确：单侧p=0.021，与正近似0.019接近。11.指数族似然L信息量I(θ)=120/θ²=38880，SE=1/√I=0.00507。95%CI−12.(a)bootstrapSE为5000个ȳ的标准差，模拟得0.912mmHg，与理论0.913几乎一致。12.(a)bootstrapSE为5000个ȳ的标准差，模拟得0.912mmHg，与理论0.913几乎一致。(b)百分位法取2.5%与97.5%分位，得[138.20,141.82]。(c)BCa校正后区间[138.18,141.80]，差异极小，分布近似对称。13.MAD=6.9⇒b̂=6.9/ln2=9.95。中位数渐近方差Var95%