实变函数论考试试题及标准答案(学习资料)

实变函数论考试试题及标准答案(学习资料)一、单项选择题（每题4分，共20分）1．设E⊆ℝ为可测集，且m(A．f在E上几乎处处连续B．f在E上几乎处处有界C．对任意ε>0，存在δ>0，使得对任意可测子集AD．f在E上几乎处处可微【答案】C【解析】绝对连续性是函数的基本性质，C即为积分的绝对连续性。A、B、D均不成立：可积函数不必几乎处处连续或有界，更不必几乎处处可微。2．设{}为[0,1]上一列可测函数，且→f几乎处处。若存在A．→fB．dC．f在[0D．{}在([【答案】B【解析】控制收敛定理直接给出B。A不必成立，C不必成立，D需要额外平方可积条件。3．设f∈(ℝA．F在ℝ上几乎处处可微且=fB．F在ℝ上一致连续C．F在ℝ上有界变差且全变差等于‖D．以上三项均正确【答案】D【解析】A为Lebesgue微分定理结论；B由积分的绝对连续性推出；C中全变差恰为‖f4．设E⊆ℝ可测且m(E)A．fB．f在E上几乎处处连续C．f在E上几乎处处有界D．A、B、C均正确【答案】A【解析】积分对几乎处处零函数必为零，B、C不一定。5．设f∈A．fB．f在[0C．‖D．A与C均正确【答案】D【解析】由Cauchy–Schwarz，‖f≤‖二、填空题（每空5分，共20分）6．设E=[0,1]，函数f(【答案】1【解析】计算得dx7．设(x)=n(【答案】1【解析】积分值为n·=18．若f∈(ℝ)且其Fourier变换f^【答案】f【解析】傅里叶反演定理。9．设E⊆ℝ可测，m(E)=1，函数f:E【答案】1【解析】由Jensen不等式或Cauchy–Schwarz，等号成立当且仅当f为常数，结合积分值得f=三、判断题（每题4分，共20分，正确打“√”，错误打“×”）10．若f∈([0,1]【答案】√【解析】C([0,1])11．存在f∈(ℝ)使得其Fourier变换【答案】√【解析】取三角形脉冲函数，其傅里叶变换为型，属于但不属于。12．若→f在中，则→f【答案】×【解析】收敛不蕴含几乎处处收敛，典型例子为“滑动驼峰”。13．设E⊆ℝ可测且m(E)<∞【答案】√【解析】Lebesgue定理：单调函数几乎处处可微。14．若f∈(ℝ)且f一致连续，则【答案】√【解析】一致连续且可积推出“在无穷远消失”。四、计算与证明题（共90分）15．（15分）设E=((1)求(x(2)证明→0(3)说明控制收敛定理是否可直接应用。【解答】(1)作变量替换y=d故极限为。(2)对任意固定x>0，有(x)=≤→(3)若存在可积控制g使得≤g几乎处处，则gdm≥dm→16．（15分）设f∈(ℝ((1)证明‖=1对所有(2)证明对任意δ>|(3)若additionallyf有紧支集，证明g→g在中对任意g∈(ℝ)。(3)若additionallyf有紧支集，证明g【解答】(1)变量替换y=|(2)同样变量替换，|当t→时δ/t(3)有紧支集时，的支集收缩到原点，形成恒同逼近。标准卷积逼近定理给出‖g−g→0。(3)有紧支集时，17．（20分）设E=f其中为可测子集，且m()(1)证明f∈(2)计算fd(3)证明f不在任何子区间上几乎处处等于常数。【解答】(1)非负可测，逐项积分：f故f∈(2)上式已给出f（利用泰勒级数=−ln((3)反证：假设存在子区间I⊆E使得f=c几乎处处于I。则对任意n，在I上几乎处处为常数，即m(I∩)=0或m(I)。但若m(I)>0，则对足够大的n有<18．（20分）设f∈g(1)证明g(h)(2)若additionally∈(ℝ)，证明g(3)举例说明若仅f∈而无额外光滑性，则g【解答】(1)由的平移连续性：连续函数稠密，对任意ε>0取连续紧支φ使得‖‖当h→0时中间项趋于0，故(2)若∈，则f由Minkowski积分不等式，‖平方得g(h)(3)取f=，则‖f=g故g(h)19．（20分）设E=[0,1((1)证明存在子列在中弱收敛到某f；(2)证明f满足0≤f≤(3)举例说明f可以