复合梯形公式与复合辛普森公式对比

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作

时间：二O二一年七月二十九日

题目名称：复合梯形公式与复合辛普森公式比较

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目录

1.概述.............................................2

2.问题提出..........................................3

3.算法推导.........................................3

4.算法框图.........................................4

4.1复合梯形公式算法流程图........................4

4.2复合辛普森公式算法流程图......................4

5.MATLAB源法式.....................................4

6.结论与展望.......................................6

图表目录

图4-1复合梯形公式算法流程图4

图4-2复合辛普森公式算法流程图4

图6-1MATLAB计算结果6

表2-1函数计算结果表3

1.概述

梯形求积公式和辛普森求积公式分别是牛顿-科斯特公式中

n=l和n=2时的情形.其中梯形求积公式可暗示为

其公式左端是以［a,b］区间上积分,右端为b-a为高、端点函数

值为上下底的梯形的面积值，故通称为梯形公式，具有1次代数精

确度.

类似的,辛普森求积公式可以暗示为

该公式一般在立体几何中用来求拟柱体的体积，由于偶数n阶

牛顿-科特斯求积公式至少具有n+1次代数精确度，所以辛普森公

式实际上具有3次代数精确度.

由于牛顿-科斯特公式在n28时不具有稳定性,故不成能通过

提高阶的方法来提高求积精度.为了提高精度通常可把积分区间分

成若干子区间（通常是等分），再在每个子区间上用低阶求积公式.

这种方法称为复合求积法.

本文主要讨论复合梯形公式和复合辛普森公式在同一数学问

题中的应用.首先给出了复合梯形公式和复合辛普森公式的推导过

程以及其余项的表达形式，然后用流程图的形式介绍算法思路,再

运用MATLAB编写代码计算结果，最后对结果进行比较讨论.

希望通过两个算法在同一个算例中的应用比较,更好的理解和

掌握复合梯形公式和复合辛普森公式的适用范围和适用条件.而且

能够熟悉MATLAB编程求解问题的流程,掌握编程化的思想方法.同

时对两种方法的计算结果比较分析，讨论两种求积方法的计算精

度.

2.问题提出

对函数f(x)=咚给出的函数表如下，试用复合梯形公式和复合

辛普森公式计算积分I=j：哼公.

表21函数计算结果表

Xf(x)

01

1/80.997397867081822

1/40.989615837018092

3/80.989615837018092

1/20.958851077208406

5/80.936155636704740

3/40.908851680031112

7/80.877192573984031

10.841470984807897

3.算法推导

3.1复合梯形公式

根据梯形公式，

将区间Eb］划分为n等份,分点★=Q+地h=f,k=0,1，…,n,在每个

子区间［xk,x〃+i|(k=0,1，…,n-1)上采纳梯形公式,则得:

记

则又为复合梯形公式.

另外,复合梯形公式的余项可暗示为

3.2复合辛普森公式

根据辛普森公式

将区间［a,b］划分为n等份,在每个子区间因,xk+i］(k=O,l，…,n-l)上采

纳辛普森公式.

若记

则得

记

该公式即为复合辛普森公式.

复合辛普森公式的余项可暗示为

4.算法框图

4.1复合梯形公式算法流程图

开始

/输入网可断点a,b

Z及等分数n

妗山和4U占T”

结束

图4-1复合梯形公式算法流程图

4.2复合辛普森公式算法流程图

图4-2复合辛普森公式算法流程图

37、I一、

外复合梯形公式及复合辛普森积分公式

clearall;

formatlong;

a=0;

b=l;

n=8;

h=(13-@)/口;%步长

fori=l:n+l

x(i)=a+(i-l)*h;

ifisnan(sin(x(i))/x(i))

symst;

tmp=limit(sin(t),/t,t,x(i));%当被积函数在某点值不存在时,

求其极限

y(i)=eval(tmp);

else

y(i)=sin(x(i))/x(i);%被积函数求节点的值

end

end

%复合梯形公式及复合辛普森积分公式

sl=0;

fork=2:n

sl=sl+y(k);

end

T8=h/2*(y(1)+2*sl++y(n+D)

%复合辛普森积分公式

s2=0;

s3=0;

fork=2:2:n

s2=s2+y(k);

end

fork=3:2:n-l

s3=s3+y(k);

end

hl=2*h;%注：此时步长是原来的2倍

S4=hl/6*(y(l)+4*s2+2*s3+y(n+1))

fprintf梯形积分公式：%6.6f\n辛普森公式积

分：%6.6f\n',T8,S4)

6.结论与展望

图61MATLAB计算结果

运行MATLAB法式，获得复合梯形求积公式的积分值为

0.945691,复合辛普森求积公式的积分值为0.946083(四舍五入后

保管6位小数).而实际的积分准确值保管到6位小数的结果为

0.946083.

通过上述结果比较可以得出，虽然复合梯形公式将区间分成了

8等分而复合辛普森公式将区间分成了4等分，但两种计算方法实

际都需要使用9个点上的函数值，计算量基本也相同，然而最终精

度分歧却很年夜.在保管6位小数的前提下，复合辛普森法计算结

果与精确解完全一致，而复合梯形公式的计算结果却只有前两位数

字与精确解相同,误差相比较力年夜.

下面利用余项公式来估计两种算法的误差.首先需要求

f(x)=^的高阶导数.由于

「/、sinxri...

f(x)=------=cos(xt)dt,

x

所以有

/(K)=££(c°sXt)dt=£?cos(At十浮)dt,

于是

则r同"£|cos(x/+手卜力力,力=5•

从而复合梯形公式的误差

同小*W"(刈4(舅=0.434x10-3.

而复合辛普森公式的误差

4-6

|尺(/)|<—(-)-=0.271xlO.

二।288045

从而，比较两者可得，复合辛普森公式在计算该问题时的精度远高

于复合梯形公式.

通过以上分析,本文所得结论如下：

1.复合梯形公式和复合辛普森公式都可以用来作为数值积分估算

的替代公式.

2.在计算量基秘闻同的前提下，复合辛普森公式计算结果的计算

精度要比复合梯形公式计算精度高的多.

3.本算例也验证了辛普森公式作为偶数阶牛顿-柯特斯公式的更

为精确的代数精度.

关于如何开展下一步研究,提出以下构想：

1.对多个算例进行分析，保证计算量基秘闻同的情况下去比刀计

算精度,验证复合辛普森公式具有更高精度的结论.

2.对多个算例进行MATLAB编程分析,在要求相同计算精度的前提

下去比力计算量的年夜小，从而分析复合梯形公式与复合辛普

森公式的优劣.

参考文献

[1]穆耶赛尔•艾合买提，阿布都热西提•阿布都外力.改进复合

梯形求积公式[J].首都师范年