大学数学公式(全集)

高等数学公式

导数公式:

(arcsin.O^-^J=-

Qgx)'=sec2x

vl-x2

(ctgxY=-escx

(sccx)'=secx・，gx(arccost)'=——1----■‘

(esex)'=-csex•C/gJl

,、，i

(aretgx)=---

1+x~

(lug/)'=——(arcci^y=-1

xlna1+x

基本积分表：

jtgxdx=-ln|cosx|+Cf—7—=[sec2xdx=igx+C

Jcos-xJ

jctgxdx=ln|sinx|+C

f世=[esc2xdx=-etgx+C

jsecxdx=In|secx+/©t|+CJsirrxJ

|secx•tgxdx=secj+C

Jcsexdr=In|csex-ct^4C

Jcsex•ctgxdx=-esex+C

dx1x

——-=-arctg-+C

a+x~aa\axdx=--¥C

dx1,x-a_J\wa

----7=——In----+C

x~-a~2ax+4shxdx=chx+C

rdx1.a+x-J

———r=—In----+Cchxdx=shx+C

Jer-x2aa-x1

rdx.x「J/=In(x+7x2±a2)+C

/=arcsin—+C

J。Jylx2±a2

221

/,

/„=|sinxdx=jeos"xdx=-——In_2

00〃

jdx2+a2dx=\lx2+6Z2+券In0+』f+/)+C

fVx2-a2dx=~\lx2-a2-—Inx+ylx2-a2+C

J22

fyja2-x2dx=—xla2-x2+—arcsin—+C

J22a

三角函数的有理式积分：

2〃\—u~X2du

sinx=----7，cosx=----rdx=

l+〃21+M21+M2

一些初等函数:两个重要极限:

sinx.

双曲正弦:S以="一"lim------=1

2x

双曲余弦:+<lim(]+-)x=e=2.718281828459045...

2EX

x

双曲正切:机”吧chyP—X-p―-

chxex+e'

arshx=\n(x+ylx2+1)

archx=±ln(x+VP-1)

,1,1+x

ai'thx=­In-----

2\-x

三角函数公式：

•诱导公式：

数

sincostgctg

角A\

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

2700+a-cosasina-ctga-tga

3600-a-sinacosa-tga-ctga

3600+asinacosatgactga

和差角公式：•和差化积公式：

sin(a±0=sinacos£±cosasinpsina+sin0=2sin°>cos。】?

cos@±/?)=cosacos+sinasinp

.a+0.a-p

sina-sinp=2cos-^-sin—^―

区9±。)=詈吗

中ga班八ca+6a-fl

COS6Z+COS/?=2cos—^-cos-Y~

ctgp±ctga.a+fi.a-ft

cosa-cosp=2sin---sin---

倍角公式：

sin2a=2sinacosa

cos2cr=2cos~cr-1=l-2sin-a=cos-«-sin-asin3a=3sina-4sin3a

cctg'a-\cos3a=4cos'a-3cosa

c[g2a=--------

2ctga3tga-tgya

依3a=

2fga\-3tg2a

tg?a=1—g2a

・半角公式:

a.l-cos6zl-cos«sina

tg—=±J--------=--------=--------

2V1+cosasina1+cosa

•正弦定理：，一=0一=-^=2&

sinAsinBsinC

・余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC

71

■反三角函数性质：arcsinx=---arccosrarctgx=--arcctgx

2

高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:

*=0

…+〃(”i)..c+i)储…)a

2!k\

中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理：f(h)-f(a}=f'®(b-a)

柯西中值定理:

F(b)-F(a)~F\^)

当F(x)二x时，柯西中值定理就勒立格朗日中值定理。

曲率:

弧微分公式：ds=+y2dx,其中y'=fga

平均曲率灭=四八0:从M点到M，点，切线斜率的倾角妣量；As：弧长。

As

\a_da_|y*|

M点的曲率：K=lim

Av->0xds+y2)3

直线:K=0;

半径为〃的圆：K=-.

a

定积分的近似计算:

矩形法丁/。)=勺0(肾+乂+…+券J

a

梯形法:!/(x)b(%+")+,+…+x,-(]

bi

抛物线法J/(x)=-^[(y0+y”)+2(y2+刃+…+yw.2)+4(»+为+…+y^)]

定积分应用相关公式:

多元函数微分法及应用

全微分：dz=­dx+—dydu=-dx+-dy+—dz

dxdydxdydz

全微分的近似计算：Az»dz=J；(x,y)Ar+fy(x,y)△)，

多元复合函数的求导法

dz_dzdudzdv

z=『[〃"),％)]

dtdudtdvdt

dzczdudzdv

z=/[〃(x,y),y(x,y)]

dxdudxdvdx

当〃=w(x,y),v=u(x,y)时,

.du.du,小包公生

du-——dx+——dy=+

dxdy'dx

隐函数的求导公式:

中*咛)+*5与

隐函数尸(尤y)=(),虫=_&

、

dx~FaxdxF、dyFyax

dzFdz_Fy

隐函数b(x,y,z)=0,率二一左

②F：

竺

必

工

居

F(x,y,u,v)=O」二S(F,G)比

一

隐函数方程组?一3G

G(x,y,M,v)=Od(uv)一r

y投

1G

9

---a(*Fa-v-1a(F,G)

JA&

/

Jd(u9x)

包

NF,G)1°(F,G)

办-

sz\

(24M

5(y,v).x97

微分法在几何上的应用:

x=(p(i)

空间曲线)，〜⑺在点M(Xo，%Zo)处的切线方程上三包二=&二三幺

z=M)檀)〃&)

在点历处的法平面方程：)(x-x0)+甲'《0)()'一%)+〃(，o)(z-Z。)=0

若空间曲线方程为%加切向量了={/耶鬻,}

G(x,),,z)=O

GyGz\\G:GX\\GXGy

曲面尸(x,y9z)=。上一点M(x0,y0,z0),则:

?7，z

1、过此点的法向量：/i={Fv(x0,y0,z0),Fv(x0oo^0),/:Uo»＞o，o))

2、过此点的切平面方程FK(xipy0,z0)(x-x0)+Fv.(x0,y(),z0)(y-y())+F2(x0,y0,z0)(z-z0)=0

一)0

3、过此点的法线方程年)'’

工・(/，)’0,Z。)K.(X。，丁。，Zo)工(x。，为，z°)

方向导数与梯度:

函数z=+和。

其中9为斓倒方向/的转角。

函数Z=/（x、y）在一点7（x,y）的梯度：gradf（x,y）=雪+枣］

oxoy

它与方向导数的关系是红=grad/（x,y）-e,其中E=cos『，4-sin为/方向上的

dl

单位向量。

名是gracjf（x,y）在/上的投影。

多元函数的极值及其求法：

设，为）=fy（xo，%）二°，令：九（/，%）=A，4*0，先）=B,&*0，）’0）二。

4<0,（%,为）为极大值

AC-B->06寸，

A>O,（xo,yQ）为极小值

则:AC-B2<0W,无极值

AC-B2=0fM,不确定

重积分及其应用：

JJf(x,y)dxdy=JJ/(/cos^,rsinO}rdrdO

D

2

dzdz

曲面z=f(xyy)的面积A=JJ+dxdy

Ddx¥

JJxp(x,y)6/cr

平面薄片的重心：无=旦%D

%----------，y=

M\\p{x,y)da

nD

平面薄片的转动惯量：对于x轴/<=JJy2Q（x,y）4b,对于y轴/,.=JJ/QO,y）db

平面薄片（位五。严面）对z轴上质点“（0,0,〃）,（。>0）的引力：/=｛匕，%其中：

产=川夕（什,

3»五=/叮夕(xOydb,£=_见0(2)叱

D（x2+y2+a2）2D(x24-y2+.2)2D(x2+y2+〃2)2

柱面坐标和球面坐标：

x=rcos^

柱而坐标，y-rsin夕，JJj,fQx,N)dxclyclN—j*j*J尸《尸,0、z)rdrd

z=z

其中：产（厂，夕Z）=/（厂cos夕，厂sind,z）

x=7'sin(pcssf)

球而坐标,y=rsinsinO,civ=rd(p•/'sincp-d0-dr=r2sin(pchd(pcl0

z=rcostp

2万/•℃)

JJj*/(x,y,z)dxdydz=JJJF(r、卬、产sin(pclrdcpclO=JueJd(pJF{r^(p^3)r~sincpclr

nnooo

重心：元=—JJJ225=±JJJ匕W=£JJJ2、，其中Af=x=JJJpclv

22/v=JJJ(x?+d)pdv，/==jJJ(x2+/)/

转动惯量：Ix=jff(y+z)pdv，

nQ

曲线戏分:

第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)：

设AM丁)在L上连续，L的参数方程为1"="⑺，(a«Y0,则:

)，="⑺

P____________

J/(x,y)ds=Jfl(p(t)wQ)NO,?⑴+“'2⑺力(a<夕)特殊情况4‘,

Lay=叭t)

第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：

设L的参数方程为则：

P

\P(x,y)dx+Q(x,y)dy=J(P［夕⑺必。］0'⑺+Q［*),〃⑺帕7)}dt

La

两类曲线积分之间的：jPdx+。力=J(Pcoscr+QcosB)ds,其中。和夕分别为

LL

L上积分起止点处切向:ffi勺方向角。

格林公式:JJ(孚-^-)dxdy=|Pdx+Qd)格林公式：jj(^~)dxdy=1Pdx+Qdy

V

D3OvLD

当尸=_y,Q=x，即:8--=2时，得至ijD的面积：A=dxdy=—ixdy-ydx

&6fJ,2{

・平面上曲线积分与路觥关的条件:

1、G是一个单连通区域;

2、户(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数且婴=『。注意奇点，娘0,0),应

oxdy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

・二元函数的全微分求积

在#=半时，Pdx+Qd)才是二元函魏,(x,y)的全微分，其中:

&oy

(x.y)

〃(x,y)=jP(x,y)dx+Q(x,y)dy通常设％=y0=0。

(“•No)

曲面积分:

对面积的曲面积分。y,z)ds=J/f[x,y,z(x,y)巾+z；(*,y)+z：(x,y)dxdy

工％

对坐标的曲面积分，，P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x、y,z)dxdy,其中：

z

JJR(x,y,z)dxdy=±jj/?[x,y,z(x,y)]dxdy\取曲面的上侧时双正号；

£%•

JJP(x,y,z)dydz=±jjP[x(y,z),j,z]dydz,取曲面的前侧时取正号；

I%

JJQ(x，y,z)dzdx=±JJQix,y(z,x\,z[dzds取曲面的右侧时取造"。

x%

两类曲面积分之间的：|JPdydz+Qdzclx+Rdxdy=Jj*(Pcosa+Qcos/?+Rcosy)ds

£

高斯公式:

JJJ+,)dv=BPdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcosa+Qcosp+Rcosy)ds

高斯公式的物理意义——通量与散度：

散度：div丘=2+义+理，即：单位体积内所产生的流体质量，若div丘＜0,则为消失...

dxdydz

通量:JJ••nds=Ands=JJ(Pcosa+Qcosp+Rcosy、ds,

¥¥

因此，高斯公式又可写成：JJJdivZdu=H4A

nZ

斯托克斯公式一曲线积分与曲面积分的关系：

ff(--辿)dvdz+(---)dzdx+(---)dxdy=fPdx+Qdy+Rdz

Ydydzdzexdxdy*

^

dydzdzdxcost?cos/?cos/

do=

上式左端乂可写成g&-geg

dxdvRdxdydz

PQPQR

丝dPdRcQdP^

6/?注

空间曲线积分与路径无关的条件・②

dz.ch.'civdy

ijk

旋度：rotA=aCg

dxdydz

PQR

常数顶级数:

等比数列J+4+/+…+

i-q

等差数歹心+2+3+…+〃=把吻

2

调和级数…是发散的

23n

级数审敛法：

1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西方别法）：

时，级数收敛

设：p=Hm亚,则<夕>1时，级数发散

0=1时，不确定

2、比值审敛法：

|p<l时，级数收敛

设：p=lim则”>1时，级数发散

〃->8TJ

"夕=1时，不确定

3、定义法；

s=M,+u+…+〃〃;lims”存在，则收敛；否则端（。

n2,18

交错级数W],+〃3-〃4+…(或-“1+〃3+…，露〉())的审敛法----莱布尼兹定理:

fw>u.

如果交错级数满用fl嬴%n+那么级数收敛且其和其余项/;的绝对脚上小

绝对收敛与条件收敛：

(1)〃1+〃2+…+/+…，其中〃”为任意实数；

(2)同+网|+同+…++…

如果(2)收敛，财1)肯定收敛，且称为绝对I攵敛级数；

如果(2)发散，而⑴收敛，则的,1)为条件收敛级数。

调和级数》;发散，而Z空]攵敛;

级数：Z*收敛;

P<1时发散

〃〉1时收敛

幕级数：

,।“/国<1时，收敛于一^

1+r++r3+•••+r+••,(\-x

期21时，发散

对于级数(3)劭+%工+〃2/+…+〃/"+…，如果它不是仅在原点|攵敛，也不是在全

/W<R时收敛

数轴上都收敛，则必有生R,使时发靓其中R称为收敛半径。

\k|二R时不定

夕工丽，R=-

夕=0时，R=+8

(p=+co时，R=0

函数展开成幕级数：

函数展开成泰勒级数：/'*)=/(%)(…。)+小匕-0)2+.-+广/。)(一二)〃+…

2!〃！

/(n+l)(+1

余项：R.=^U-xQr,5*)可以展开成泰勒级数版要条件是4imR“=0

(〃+1)!"H

%=00寸即为麦克劳林公式：/(.。=/(0)+/(0M+^^2+...+汇也/+...

2!〃！

一些函数展开成幕级数：

八、，“1-1)•••(/??-/?+1)”.,

(1+x)=l+//tr+------x-+•••+-----------------x+•••(-1<X<1)

2!〃！

YV5尤2，一

sinx=x---+------+(-1)/,~|-------+…(-oo<x<+oo)

3!5!(2H-1)!

欧拉公式:

COSA=

eLt-cosx+zsinx或

sinJV=

三角级数：

8

f⑴=A)+£4〃sin(〃&+/,)=+

+Zcosnx+bnsinnx)

n=l2〃二l

其中，«0=44),a„=Ansin化，b„=4cos内，(ot=xo

正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cOS2JV…sincos〃<…任意两个不同项的乘树E[-;r,乃]

上的积分=0。

傅立叶级数:

8

〃幻=争Z(。〃cosnx+b)tsin周期=2万

〃=1

1开

〃“=—J/(x)cos/mZr(/?=0,1,2•••)

其中一衣

1冗

—Jf(x)sinnxdx(n=1,2,3••■)

2

1•・•二£(相加)

不'6

2

1

L…=--(相减)

12

正弦级数：an=0,/?n=—jf(x)sinnxdx〃=1,2,3…fix)=sin/忧是奇函数

2x

余弦级数：bn=0,an=—\f(x)cosnxdxn=0,1,2…/(x)=?■+£〃”cos/u是偶函数

乃2

周期为2/的周期函数的傅立叶级数:

/(x)=§+fm“cos^+b〃sin^>周期=2/

2gII

an=；J/(x)cos竿dx(〃=(),1,2…)

其中,

j/(x)sin-^^dr(「=1,2,3…)

b„=

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：_/=/(x,y)或P(x,y)c/x+Q(x,y)dy=0

可